二項(xiàng)式定理的高考常見題型及解題對策

1、1二項(xiàng)式定理： ，2基本概念： 二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù):展開式中各項(xiàng)的系數(shù).項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng)，是關(guān)于與的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用表示。3注意關(guān)鍵點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有項(xiàng)。順序：注意正確選擇,其順序不能更改。與是不同的。指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。4常用的結(jié)論：令 令 5性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，···二項(xiàng)式系數(shù)

2、和：令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為， 變形式。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。高考試題中常見的二項(xiàng)式定理題目類型：題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；1：解：與已知的有一些差距， 練：解：設(shè)，則題型二：求單一二項(xiàng)式指定冪的系數(shù)2（2010重慶）的展開式中的系數(shù)為（a）4 （

3、b）6 （c）10 （d）20解析：由通項(xiàng)公式得3（2011天津）在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為a b c d 【答案】c4（2011湖北）的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】175（2011全國）（1）20的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為: 【答案】06（安徽理12）設(shè)，則 .【答案】07（2009北京卷文）若為有理數(shù)），則 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a33b29c23d19.w【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. ， 由已知，得，.故選b.8（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+a3x3

4、,則b= . 【解析】因?yàn)?.解得9（2009全國卷文）的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于_.解: 因所以有10(2009湖南卷理)在的展開式中，的系數(shù)為_7_(用數(shù)字作答)【解析】由條件易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是11（2009陜西卷文）若,則的值為 （a）2（b）0 （c） (d) w.k.s.5.u.c.o.m 解析:由題意容易發(fā)現(xiàn),則, 同理可以得出,亦即前2008項(xiàng)和為0, 則原式= 故選c.題型三：求兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式指定冪的系數(shù)12（廣東理10）的展開式中，的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【答案】8413（2011全國）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （

5、a）40 （b）20 （c）20 （d）40 【答案】d14（2010全國卷1文數(shù)）(5)的展開式的系數(shù)是(a)-6 (b)-3 (c)0 (d)3a. 【命題意圖】本小題主要考查了考生對二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力.【解析】 的系數(shù)是 -12+6=-615（2010全國卷1）(5)的展開式中x的系數(shù)是(a) -4 (b) -2 (c) 2 (d) 4題型四：求可化為二項(xiàng)式的三項(xiàng)展開式中指定冪的系數(shù)16（04安徽改編）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是 ；解：上述式子展開后常數(shù)項(xiàng)只有一項(xiàng)，即 本小題主要

6、考查把“三項(xiàng)式”的問題通過轉(zhuǎn)化變型后，用二項(xiàng)式定理的知識(shí)解決，17（2009江西卷理）展開式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對值的和為，不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對值的和為，則的值可能為 a b c d w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】，則可取，選d題型五：求中間項(xiàng)18（00北京）求（的展開式的中間項(xiàng)；解：展開式的中間項(xiàng)為 即：。 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的展開式的中間項(xiàng)是和；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的展開式的中間項(xiàng)是題型六：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；19（2011全國8）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （a）40 （b）20 （c）20 （d）40 【答案】d20（2011陜西4）（xr）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

7、a-20 b15c15 d20 【答案】c21（2011山東）若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)的值為 . 【答案】422（2011浙江）設(shè)二項(xiàng)式（x-）6（a>0）的展開式中x的系數(shù)為a,常數(shù)項(xiàng)為b，若b=4a，則a的值是 ?！敬鸢浮?題型七：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；23（00北京）求的展開式中有理項(xiàng)共有 項(xiàng)；解：當(dāng)時(shí)，所對應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開式中有理項(xiàng)有4項(xiàng)。 當(dāng)一個(gè)代數(shù)式各個(gè)字母的指數(shù)都是整數(shù)時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是有理式； 當(dāng)一個(gè)代數(shù)式中各個(gè)字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說是不可約分?jǐn)?shù)）時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是無理式。題型八：利用“賦值法”及二項(xiàng)式性質(zhì)3求部分項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和24

8、（2010江西理數(shù)）6. 展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為（ ）高考資源*網(wǎng)a.-1 b.0 c.1 d.2【答案】b【解析】考查對二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識(shí)和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反。采用賦值法，令x=1得：系數(shù)和為1，減去項(xiàng)系數(shù)即為所求，答案為0.25（99全國）若， 則的值為 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= = =26（04天津）若， 則 ；解：， 令，有 令，有故原式= 在用“賦值法”求值時(shí)，要找準(zhǔn)待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，一般而言：特殊值在解題過程中考慮的比較多。 27設(shè)， 則 ；分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的符號(hào)；第二步是用賦值法求的化

9、簡后的代數(shù)式的值。 解： = =0題型八：求系數(shù)最大或最小項(xiàng)（1） 特殊的系數(shù)最大或最小問題28（00上海）在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是 ；解：要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則必為奇數(shù)，且使為最大，由此得，從而可知最小項(xiàng)的系數(shù)為（2） 一般的系數(shù)最大或最小問題29求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)； 解：記第項(xiàng)系數(shù)為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有 又，那么有 即 解得，系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)。（3） 系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)30在（的展開式中，系數(shù)絕對值最大項(xiàng)是 ；解：求系數(shù)絕對最大問題都可以將“”型轉(zhuǎn)化為型來處理，故此答案為第4項(xiàng)，和第5項(xiàng)。題型九：利用二項(xiàng)式定理求近似值 31求的近似值，使誤差小于； 分析：因

10、為=，故可以用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算。 解：= ， 且第3項(xiàng)以后的絕對值都小于， 從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。 = 小結(jié)：由，當(dāng)?shù)慕^對值與1相比很小且很大時(shí)，等項(xiàng)的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此可以用近似計(jì)算公式：，在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項(xiàng)的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：。 利用二項(xiàng)式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現(xiàn)題目，但是按照新課標(biāo)要求，對高中學(xué)生的計(jì)算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個(gè)能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項(xiàng)式定理來求近似值。 題型十：利用二項(xiàng)式定理證明整除問題 32（02濰坊模擬）求證：能被7整除。 證明： = = =49p+（） 又