余弦定理教學案例

1、余弦定理教學案例天印高級中學 張梅一、       教材分析及設計思路1、教材分析  “余弦定理”是全日制普通高級中學教科書（數學必修5）第一章第一節(jié)的主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節(jié)課是“正弦定理、余弦定理”教學的第二節(jié)課，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。布魯納指出，學生不是被動的、

2、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。2、設計思路    根據“情境 -問題”教學模式，沿著“設置情境-提出問題-解決問題-反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發(fā)點，以“問題”為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境-問題”學習鏈，使學生真正成為

3、提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：（1）創(chuàng)設一個現實問題情境作為提出問題的背景（2）啟發(fā)、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊（3）為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗，通過作邊bc的垂線得到兩個直角三角形，

4、然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在于啟發(fā)、引導學生如何將向量關系轉化成數量關系（4）由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題教學目標：1、掌握余弦定理及其證明方法；2、會運用余弦定理解三角形；能力目標： 培養(yǎng)學生推理探索數學規(guī)律和歸納總結的思維能力，以及觀察、分析、類比、計算能力；德育目標： 通過知識間的聯系，體現事物的普遍聯系與辯證統(tǒng)一；教學重難點： 余弦定理的推導、證明及應用；教法學法： 教師的“引導式教學”和學生的“研究性學習”相結合二、教學過程、設置情境  

5、  自動卸貨汽車的車箱采用液壓機構。設計時需要計算油泵頂桿 bc的長度（如下圖），已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點b與車箱支點a之間的距離為1.95m，ab與水平線之間的夾角為6°20，ac的長為1.40m，計算bc的長（保留三個有效數字）。 、提出問題師：大家想一想，能否把這個實際問題抽象為數學問題？（數學建模）能，在三角形 abc，已知ab1.95m,ac1.40m，bac60°6°2066°20，求bc的長。師：能用正弦定理求解嗎？為什么？不能。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角；已知三

6、角形的兩角與一邊，求角的對邊。師：這個問題的實質是什么？在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。（一般化）三角形 abc，知acb，bca，角c，求ab。iii、解決問題師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？先從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現解法。（特殊化）可以先在直角三角形中試探一下。直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2 （勾股定理角c為直角）斜三角形abc中（如圖3），過a作bc邊上的高ad，將斜三角形轉化為直角三角形。（聯想構造）師：垂足 d一定在邊bc上嗎？不一定，當角 c為鈍角時，點d在bc的延長線上。（分類討論，培養(yǎng)學生從不同的角度研究問題）在銳角三角

7、形 abc中，過a作ad垂直bc交bc于d，在直角三角形adb中，ab 2 ad 2 bd 2 ，在直角三角形adc中，adacsinc, cdaccosc 即adbsinc, cdbcosc又 bdbc-cd,即bda-bcosc c 2 =(bsinc) 2 +(a-bcosc) 2=b 2 sin 2 c+a 2 -2abcosc+b 2 cos 2 c=a 2 +b 2 -2abcosc同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosab 2 =a 2 +c 2 -2accosb在鈍角三角形 abc中，不妨設角c為鈍角，過a作ad垂直bc交bc的延長線于d，在直角三角形 adb中，ab

8、 2 ad 2 bd 2 ，在直角三角形adc中，adacsin（-c）,cdaccos（-c），即adbsinc, cd-bcos c，又bdbccd,即bda-bcosc c 2 =(bsinc) 2 +(a-bcosc) 2=b 2 sin 2 c+a 2 -2abcosc+b 2 cos 2 c=a 2 +b 2 -2abcosc同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosab 2 =a 2 +c 2 -2accosb同理可證 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosab 2 =a 2 +c 2 -2accosb師：大家回想一下，在證明過程易出錯的地方是什么？iv、反思應用師：同

9、學們通過自己的努力，發(fā)現并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關系，請大家考慮一下，余弦定理能夠解決哪些問題？知三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。師：請同學們用余弦定理解決本節(jié)課開始時的問題。（請一位同學將他的解題過程寫在黑板上）解：由余弦定理，得bc1.89(m)答：頂桿bc約長1.89m。師：大家回想一想，三角形中有六個元素，三條邊及三個角，知道其中任意三個元素，是否能求出另外的三個元素？不能，已知的三個元素中，至少要有一個邊。師：解三角形時，何時用正弦定理？何時用余弦定理？已知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊，解三角形時，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解三角形時，利用余弦定理。鞏固練