揚州中學高一數(shù)學下學期5月月考試卷(含解析)蘇教版

1、2012-2013學年江蘇省揚州中學高一（下）5月月考數(shù)學試卷一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1. （5分）m為任意實數(shù)時，直線（m-1） x+ （2m- 1） y=m- 5必過定點（9, - 4）考點：恒過定點的直線.專題：直線與圓.分析：對于任意實數(shù)m,直線（m-1）x+ （2m-1）y=m- 5恒過定點，則與m的取值無關，則將方程轉化為（x+2y-1） m+ （x+y-5） =0.讓m的系數(shù)和常數(shù)項為零即可.解答： 解：方程（m 1） x+ （2m- 1） y=m- 5 可化為（x+2y 1） m+ （x+y5） =0ifs+2y * l二口,對于任意實數(shù) m,當q時，直

2、線（mr 1） x+ （2m- 1） y=m- 5恒過定點x+y - 5=0p42y-l=0田.）付.故定點坐標是（9, - 4）.故答案為（9, - 4）.點評：本題通過恒過定點問題來考查學生方程轉化的能力及直線系的理解.2. (5 分)函數(shù) y=sin 2x+2cosx (jlwxw3）的最小值為 一2考點：復合三角函數(shù)的單調性.專題： 分析： 解答:計算題；三角函數(shù)的圖像與性質.先將y=sin 2x+2cosx轉化為y= - cos2x+2cosx+1 ,再配方，利用余弦函數(shù)的單調性求其最小值.解：y=sin 2x+2cosx=一cos2x+2cosx+1=-(cosx - 1) 2+2

3、,71t< x<2'( cosx t ) 2<4, - 4< - ( cosx - 1)阿，-2w2 - ( cosx - 1) 2w_z.42< . .函數(shù) y=sin 2x+2cosx）的最小值為-2.故答案為：-2.點評：本題考查余弦函數(shù)的單調性，考查轉化思想與配方法的應用，屬于中檔題.3. （5分）已知數(shù)列的前 n項和5刊二門2 四，第k項滿足5<ak<8,則k的值為 8考點：等差數(shù)列的前n項和.專題：計算題.分析：根據(jù)數(shù)列的第n項與前n項和的關系可得 a i=si=- 8,當n>2 a n=s - s1=2n - 10,由5v2

4、k-10 v 8求得正整數(shù)k的值.解答：解：數(shù)列的前n項和網(wǎng)二門2-知， 11=s1=1 9= 8.當 n>2 a n=$ - $ 1=n2 - 9n - （n - 1） 2- 9 （nt） =2n - 10,由5vak<8可得5 <2k- 10<8,解得必vkv9,故正整數(shù) k=8,2點評：本題主要考查數(shù)列的第 n項與前n項和的關系，解一元一次不等式，屬于基礎題.4. (5 分)設直線 li： x+my+6=0和 l 2： (m- 2) x+3y+2m=0,當 m= - 1 時,l i / 12.考點：直線的一般式方程與直線的平行關系.專題：直線與圓.分析：由平行的條

5、件可得： -=叫,應，解后注意驗證.m-2 3 2nl解答：解：由平行的條件可得：mi - 2 3由一上m - 2 3解得：m=- 1或m=3;而當m=3時，l i與12重合，不滿足題意，舍去，故m=- 1.故答案為：-1.點評：本題考查直線平行的充要條件，其中平行的不要忘記去掉重合的情況，屬基礎題.c=2a,則cosb的值為5. （5分）若 abc的內角a, b, c的對邊分別為a, b, c,且a, b, c成等比數(shù)歹u,考點：余弦定理. 專題：計算題.分析：由a, b, c,且a, b, c成等比數(shù)列且c=2a可得，b=%亞r，c=2a ,結合余弦定理 比二相2ac解答:可求解：a, b

6、, c,且a, b, c成等比數(shù)歹u且 c=2a b2=ac=2a2,b=-72 a, c=2a2a.c點評:故答案為:4本題主要考查了等比中項的定義的應用，余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎試題6. (5分)若函數(shù)f (x) =sin wx (> 0)在區(qū)間0 ,三上單調遞增，在區(qū)間工，工上單調遞減，則323co= 一 .t考點：由y=asin （x+（）的部分圖象確定其解析式.專題：計算題.分析：由題意可知函數(shù)在 x0時確定最大值，就是 一2女冗+工，求出的值即可. 532解答：解：由題意可知函數(shù)在 x=f時確定最大值，就是 片工工命介+今，kcz,所以co=6kw；只有k=0時，

7、3= e滿足選項. 2故答案為：點評：本題是基礎題，考查三角函數(shù)的性質，函數(shù)解析式的求法，也可以利用函數(shù)的奇偶性解答，?？碱} 型.7. (5分)過點a (1, 4)且在x、y軸上的截距相等的直線共有2條.考點：直線的截距式方程.專題：探究型；分類討論.分析：分直線過原點和不過原點兩種情況求出直線方程，則答案可求.解答：解：當直線過坐標原點時，方程為 y=4x,符合題意；當直線不過原點時，設直線方程為x+y=a,代入a的坐標得a=1+4=5.直線方程為x+y=5.所以過點a (1, 4)且在x、y軸上的截距相等的直線共有 2條.故答案為2.點評：本題考查了直線的截距式方程，考查了分類討論的數(shù)學思

8、想方法，是基礎題.8. (5分)已知以x, y為自變量的目標函數(shù) z=kx+y (k>0)的可行域如圖陰影部分(含邊界)，且a (1,2), b (0, 1), c(,，0), d(e, 0), e (2, 1),若使z取最大值時的最優(yōu)解有無窮多個，則 k= 1.22考點:專題：分析：簡單線性規(guī)劃的應用.圖表型.由題設條件，目標函數(shù)z=kx+y ,取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個知取得最優(yōu)解必在邊界上而不是在頂點上，目標函數(shù)最大值應在右上方邊界ae上取到，即2=卜乂+丫應與直線ae平行；進而計算可得答案.解答:解：由題意，最優(yōu)解應在線段ae上取到，故z=kx+y應與直線ae平行k ae= 1

9、嚏-1,2-1. . 一 k= 1 ).k=1,故答案為：1.點評：本題考查線性規(guī)劃最優(yōu)解的判定，屬于該知識的逆用題型，知最優(yōu)解的特征，判斷出最優(yōu)解的位置 求參數(shù).9. (5分)(2005?胡北)設等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為sn,若s+1,sn,sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 -2 .考點：等差數(shù)列的性質；等比數(shù)列的性質. 專題：壓軸題；分類討論.分析：首先由sn+1,$+2成等差數(shù)列，可得2sn=sn+1 + sn+2,然后利用等比數(shù)列的求和公式分別表示sn+1, s,sn+2,注意分q=1和qwi兩種情況討論，解方程即可.解答：解：設等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為sn,且$+1

10、,sn,$+2成等差數(shù)列，則2sn=sn+1+sn+2,若q=1,則sn=na1,式顯然不成立，若qw1,貝u為二一.4.lq1 - q1 - q故 2qn=qn+1+qn+2,即 q2+q- 2=0,因此q= 2.故答案為-2.點評：涉及等比數(shù)列求和時，若公比為字母，則需要分類討論.10. (5分)若三直線x+y+1=0, 2x - y+8=0和ax+3y - 5=0相互的交點數(shù)不超過 2,則所有滿足條件的 a組成的集合為2 3, - 6考點：兩條直線的交點坐標. 專題：計算題；直線與圓.分析:首先解出直線 x+y+1=0與2x- y+8=0的交點，代入 ax+3y - 5=0求解a的值；然

11、后由ax+3y - 5=0分 別和已知直線平行求解 a的值.解答:x4y+l=0-六8二q" 3 y=2所以直線x+y+1=0與2x - y+8=0的交點為(-3, 2), 若直線 ax+3y 5=0 過(3, 2),貝u 3a+6- 5=0,解得 -=- 1， a=3； 3ax+3y - 5=0 過定點(0,g), 3ax+3y 5=0 與 x+y+1=0 平行，得ax+3y - 5=0 與 2x y+8=0 平行，得 一會_1所以滿足條件的a組成的集合為, 3, - 6 .3故答案為二，二-6.,-1點評:本題考查了兩條直線的交點坐標，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是基礎題.(5

12、 分)設 sn=1+2+3+-+n,nc n,則函數(shù)f (n)二(口十32)的最大值為工50考八、等差數(shù)列的前n項和；函數(shù)的最值及其幾何意義.計算題.題: 分 析：由題意求出s的表達式，將其代入f (n)(n+3" 與/代簡后求其最值即可.解答:解：由題意 s=1+2+3+n=n cn+1)f (il)二snrr+32)£什1(h32) 乂_ 1="64n-f34+ n占八、評:34+16故答案為=50等號當且僅當5。本題考查等差數(shù)列的前n項公式以及利用基本不等式求最值，求解本題的關鍵是將所得的關系式轉化為可以利用基本不等式求最值的形式，利用基本不等式求最值是最值

13、的一個比較常用的技巧,是否具備：一正，二定，三相等.其特征是看12. （5分）直線l : x=my+n （n>0）過點a （4, 46），若可行域的外接圓直徑為工兔3,則3實數(shù)n的值是 2或6考點:專題： 分析：解答:簡單線性規(guī)劃的應用.不等式的解法及應用.令直線l : x=my+n （n>0）與x軸交于b點，則得可行域是三角形 oab根據(jù)正弦定理可構造一個關于n的方程，解方程即可求出實數(shù)n的值解：設直線l : x=my+n （n>0）與x軸交于b （n, 0）點，,.直線 x=my+n (n>0)經(jīng)過點 a (4, 4，直線 x=my+n （n>0）經(jīng)過一、四象

14、限仃），直線 jgx-y=0也經(jīng)過點a （4, 4 j3）,m< 0可行域是三角形 oab且/aob=60可行域圍成的三角形的外接圓的直徑為由正弦定理可得,2r- -；2r 二. abe %in /60。=8= 3.n=2 或 6點評:本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，其中根據(jù)已知條件，結合正弦定理，構造關于 程，是解答本題關鍵.n的方考點:專題： 分析：代入點（a, 0）可得不=1 a b解答:求出滿足該式的整數(shù)對解：由題意可得直線a, b,則答案可求.l的表達式為y=-上（x-1） +3因為直線l經(jīng)過（a,a0）,可得上+3=b變形得a=1 ，13. （5分）過點（1, 3）作

15、直線l ,若l經(jīng)過點（a, 0）和（0, b）,且a, bc n*,則可作出的l的個數(shù)為 2條.直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系.探究型；直線與圓.由l經(jīng)過點（a, 0）和（0, b）求出l的斜率，寫出直線方程的點斜式,因為a, b都屬于正整數(shù)，所以只有 a=2, b=6和a=4, b=4符合要求所以直線l只有兩條，即 y=- 3 (x-1) +3和y=- (x-1) +3.故答案為2.點評：本題考查了直線的圖象特征與直線的傾斜角和斜率的關系，訓練了代入法，關鍵是確定整數(shù)解，是 基礎題.14. (5分)若a, b, ccr,且滿足,:-b° 2ah10一0,則a的取值范圍是口 ,用

16、.lb2+bc+ c2_ 1,2a- 15=0考點：函數(shù)與方程的綜合運用.專題：應用題.分析：根據(jù)條件，利用基本不等式，可將問題轉化為關于 a的不等式，解之，即可得到a的取值范圍.解答： 解：:a 2-bc-2a+10=0,bc=a2- 2a+10,.b2+bc+c2- 12a- 15=0.b 2+bc+c2=12a+15.b 2+bc+c2 > bc+2bc=3bc.-12a+15>3 ( a22a+10)2 a - 6a+5w 01 1 w a w 52 .a的取值范圍是1 , 5故答案為：1 , 5點評：本題以等式為載體，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，利用

17、基本不等式，將 問題轉化為關于a的不等式是解題的關鍵.二、解答題(共6小題，滿分90分)15. (14 分)已知函數(shù) f (莖)=sin (行工+cos(,冗一,x c r.44(1)求f (x)的最小正周期和最小值；(2)已知匚口5 (b - 仃)4 皿(b 十口)二一春求 f(3)的值.考 三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法；復合三角函數(shù)的單調性.點' 專計算題.題：j (1)由輔助角公式對已知函數(shù)化簡可得，f (x)=-(芯,結合正弦函數(shù)的性質可求周期、函數(shù)的最大值(2)由已知利用和角與差角的余弦公式展開可求得cos a cos 3=0,結合已知角a, 3的范圍可

18、求3,代入可求f (3)的值.斛 解：(1) - f ( k)=3in (肝衛(wèi)l(k-)答：'_ .7兀,t冗3n. .3八=sinxc0s 二二 j 十-一二3 r -i 二一-史.一返 一迎 工迪.simcosu+-sirntf (冗)=f1sinx-=2sin (五一,t=2 兀,f ( x) max=2(2)83 ( p 一 口 j =gos口 gos f +510 sin 3 =3 gob ( p + 口- j =g03匹 gos b 曰 1門口 sin 片二一. cos a cos 3 =0.士 . 二一一 cos p =0= 3 = r2.2f (p)二&正弦函數(shù)

19、的性質的應用，兩角和與差的余弦公點本題主要考查了輔助角公式在三角函數(shù)的化簡中的應用, 評：式的應用.16. (14分)如圖，要測量河對岸兩點 a b之間的距離，選取相距 gkm的c、d兩點，并測得/ acb=75 , /bcd=45 , /adc=30 , / adb=45 ,求 ab之間的距離.ab考點：解三角形的實際應用.專題：計算題；應用題._分析：先在4acd中求出/ cad /adc的值，從而可得到 ac=cd=可,然后在 bcd中利用正弦定理可求出bc的長度，最后在 abc中利用余弦定理求出 ab的長度即可.解答： 解：在4acd 中，/acd=120 , / cadw adc=3

20、0 ac=cd=3km在 bcd 中，/ bcd=45 / bdc=75 / cbd=60 一 1：-1. . bc_i：-1 . -_ bcm =(sinzbdc) (sinzcbd) (幻口60" )2在 abc中，由余弦定理得：一ae2v32+ ('五+匹)2-2/5* '旄+近) -cos75° =3+2+舍-百=522.ab= !，km答：a、b之間距離為“km.點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的綜合運用.解三角形在高考中是必考內容，而且 屬于較簡單的題目，一定要做到滿分.17. (15分)過點p (2, 1)的直線l與x軸正半軸交

21、于點 a,與y軸正半軸交于點 b.(1)求u=|oa|+|ob|的最小值，并寫出取最小值時直線l的方程；(2)求v=|pa|?|pb|的最小值，并寫出取最小值時直線l的方程.考直線和圓的方程的應用. 點' 專直線與圓.題：分 (1)設出直線方程的截距式，用含有一個字母的代數(shù)式表示出u,然后利用基本不等式求最小值；析：(2)由兩點間的距離公式求出|pa| , |pb| ,代入v=|pa|?|pb|后取平方，然后利用基本不等式求最值.解 解：(1)設點 a (a, 0), b (0, b),則直線 l :冬g=l (協(xié) b>0)答：h b- p (2, 1)在直線 l 上，.-+=1

22、，a, b>0, /.a> 2. a b a - 2 |0a | +1qe | =a-hb=a+-ur 一 "旨3>2/-幻.高仔2點地當且僅當a-2= 2rl (a>2),即a=2+&時等號成立.此時 b=1+x歷. a - 2丹血+3,此時l :而二"揚一"后。；(2)由(1)知，y=|pa| |pb|=j ) 。+1 7 (b 1 ) ，+4，指（口-2）（2a- 22+s(a- 2 )(a- 2 )-（a>2）,即a=3時等號成立，此時b=3.，umin=4,此時 l :占 八、評:本題考查了直線方程的應用， 訓練了利

23、用基本不等式求最值，解答的關鍵在于利用基本不等式求最值的18.（15分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品每千克的產(chǎn)值分別為600元和400元，已知每生產(chǎn) 1條件，是中檔題.千克甲產(chǎn)品需要 a種原料4千克，b種原料2千克；每生產(chǎn)1千克乙產(chǎn)品需要 a種原料2千克，b種原料3千克.但該廠現(xiàn)有 a種原料100千克，b種原料 產(chǎn)值.120千克.問如何安排生產(chǎn)可以取得最大產(chǎn)值，并求出最大考點：簡單線性規(guī)劃. 專題：應用題.分析:先設生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為 x千克,件畫出可行域，設 z=600x+400y ,再利用y千克，其利產(chǎn)值為z元，列出約束條件，再根據(jù)約束條z的幾何意義求最值，只需求出直線z=6

24、00x+400y過可行解答:域內的點時，從而得到 z值即可.解析：設生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克，y千克，其利產(chǎn)值為 z元,根據(jù)題意，可得約束條件為工肝2y<100、2x+3/c120（3分）(5分)4x+2y=l002i+3y=120點評:所以有 z 最大=600x 7.5+400x35=18500 (元)(13 分)18500 元.(14 分)本題是一道方案設計題型，考查了列次不等式組解實際問題的運用及兀法的運用，解答時找到題意中的不相等關系是建立不等式組的關鍵.次不等式組的解作出可行域如圖：.目標函數(shù)z=600x+400y作直線10： 3x+2y=0,再作一組平行于 10的直線l

25、 : 3x+2y=z ,當直線l經(jīng)過p點時z=600x+400y取 得最大值，.（9分）,解得交點p ( 7.5 , 35).(12分)19. (16分)已知二次函數(shù) f (x)滿足f (-1) =0,且xwf (x) <1 (x2+1)對一切實數(shù)x恒成立.2(1)(2)求 f (1);求f (x)的解析表達式;(3)證明:f co £ c2)>2.考點：二次函數(shù)的性質.專題：函數(shù)的性質及應用.分析:解答:(1)利用不等式的求f 等式.解：(1)因為 xwf (x)(1)的值.(2)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.(x2+1)對一切實數(shù)x恒成立.(3)利用放縮法證明不所以當

26、x=1時，有iwf1 (1+1) =1,所以(2) 因為所以f (1) =1.設二次函數(shù)f (x)=ax2+bx+c, aw0,因為f (1) =1f (t) =0,a+c=b=_.2f (x) >x對一切實數(shù)x恒成立,即 ax2+ (b - 1)x+c>0,所以必有,解得a>0因為羨二與，當且僅當a=c-m4所以(3)因為所以f +f (z)+ 一f tn)>4>4乂梟.z n十/z故不等式+f (n)>2成立.點評:本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質以及利用放縮法證明不等式，綜合性較強.20. (16分)(2011?朝陽區(qū)一模)有 n個首項都是1的等差數(shù)列

27、，設第 m個數(shù)列的第 3,，n, n>3),公差為dm,并且am, a2n, a3n,，ann成等差數(shù)列.(i)證明 dm=p1d1+p2d2 (3wmc n, p1, p2 是 m 的多項式)，并求 p1+p2 的值；k 項為 amk (m, k=1 , 2,(n)當 d1=1, d2=3 時, 數(shù)構成等差數(shù)列).設前將數(shù)列dm分組如下：(d1), m組中所有數(shù)之和為(cm) 4(d2, d3, d4), (d5, d6, d7, d8,d9),(每組數(shù)的個n(cm> 0),求數(shù)列2 m dm)的前n項和$(出)設n是不超過20的正整數(shù)，當n>n時，對于(n)中的求使得不等

28、式言(與-6) 成a1n,a2n , a3n,hnn 中的第項減第 差都相等, 通項，令(ii)由立的所有n的值.考點：等差數(shù)列的性質；數(shù)列與不等式的綜合.專題：綜合題；壓軸題.分析：(i)先根據(jù)首項和公差寫出數(shù)列的通項公式，利用通項公式表示出數(shù)列2項，第3項減第4項，第n項減第n-1項，由此數(shù)列也為等差數(shù)列，得到表示出的進而得到 dn是首項d1,公差為d2-d1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式表示出dm的pi=2 - m, p2=m 1,得證，求出 p1+p2 即可；d1=1, d2=3,代入dm中，確定出dm的通項，根據(jù)題意的分組規(guī)律，得到第 m組中有2m- 1個奇數(shù)，所以得到第 1組到

29、第m組共有從1加到2m- 1個奇數(shù)，利用等差數(shù)列的前 n項和公式表示 出之和，從而表示出前 m2個奇數(shù)的和，又前 m組中所有數(shù)之和為（cm） 4（cm> 0）,即可得到cm=m,代入/er中確定出數(shù)列產(chǎn)d.j的通項公式，根據(jù)通項公式列舉出數(shù)列記作，兩邊乘以 2得到另一個關系式，記作，-即可得到前n項和s的通項公式;（出）由（n）得到 dn和sn的通項公式代入已知的不等式中，右邊的式子移項到左邊，合并化簡后 左邊設成一個函數(shù)f（n）,然后分別把n=1,2,3,4, 5代人發(fā)現(xiàn)其值小于0,當n>6時，其值大于0即原不等式成立，又 n不超過20,所以得到滿足題意的所有正整數(shù)n從5開始到2

30、0的連續(xù)的正整數(shù).解答:解：(i)由題意知 amn=1+ (n-1) dm.貝u a2n ain=1+ (n1) d2 1+ (n1) di= (n-1) (d2di),同理，a3n -a2n=( n - 1) ( d3 d2), a4n - a3n= (n-1) ( d4 d3),，ann- a (n-1) n=( n 1) (dn dn-1).又因為 a1n,a2n , a3n , ann成差數(shù);列，所1 以 a2n a1n=a3n a2n='" ' =ann a(n- 1) n .故d2 d1=d3 d2=-=dn dn 1 ,即dn是公差為d2- d1的等差數(shù)列.所以，dm=d1+ (m- 1) (d2 d。= ( 2 mj) d1+ (m 1) d2.令 p1 =2- m, p2=m- 1,則 dm=p1d