矢量微積分(修改版)

1、矢量微積分矢量微分直角坐標(biāo)系中的矢量微分 曲線坐標(biāo)系中的矢量微分矢量微分應(yīng)用舉例矢量積分直角坐標(biāo)系中的矢量積分 曲線坐標(biāo)系中的矢量積分直角坐標(biāo)系中的矢量微分任何一個(gè)矢量，都可以表示成A = Aa的形式，其中A= A, &是g的單位矢量。從而dA = dAa + Ada在直角坐標(biāo)系中，由于基失是常矢量，不難得到dA dAxi + dAy j + dAzk在曲線坐標(biāo)系中，由于基矢方向可變，故曲線坐標(biāo)系中的矢量微分比 起直角坐標(biāo)系來相對(duì)要復(fù)雜些。曲線坐標(biāo)系中的矢量微分1在極坐標(biāo)系（三維即為柱坐標(biāo)系）中，應(yīng)用幾何知識(shí)，可以得出。設(shè)柱坐標(biāo)系中的任意矢量為2在球坐標(biāo)系中，同樣應(yīng)用幾何知識(shí)可得e申微

2、分的結(jié)果，已無法在球坐標(biāo)系中表述。在理論力學(xué)中，為研究 方便起見，引入輔助基矢k ,它相當(dāng)于直角坐標(biāo)系中的k ,是 球坐標(biāo)系中0 = 0時(shí)的乙，于是der = d6ee + d(pk x er dee = d6er + dq x ee de d(pk x兀=4耳+ A鳳+ Ag®dA - dAg + Ard0ee + Ard(pk x er + dAeee + 每(d甌.+ d旗 x 0J + dA代 + A甲d荻 x 召 =(4 - A&d")卸 + (% + AMO)% + dA扎 + d(p(A* xer + Aok ><ee + Ak xgj矢量

3、微分的應(yīng)用舉例求地球表面物體的運(yùn)動(dòng)受力情況。解：地球時(shí)刻不停地在自轉(zhuǎn),因此在地球表面的物體,無論是其運(yùn)動(dòng) 狀況還是其受力狀況,都不可避免地受地球自轉(zhuǎn)的影響。我們不妨 把地球視為理想球體,并把所求的問題放在以球心為坐標(biāo)原點(diǎn),以地 球自轉(zhuǎn)軸為0 = 0的球坐標(biāo)系中來處理。設(shè)地球半徑為R ,自轉(zhuǎn)角速度為，任意時(shí)刻A物體的位置矢量 顯然是r,速度v二df/dt Rdejdt,根據(jù)球坐標(biāo)中的微分表達(dá)式有：v =Rd0/dtee +Rd(p/dtkxer矢量微分的應(yīng)用舉例令 d0/dt = O, d（pjdt = co 而 o）k = co，貝Uv = RQe0 +Ra> x er這里，Q中包含CO

4、q,把血o分離出來，則物體相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)的分 速度為即使物體相對(duì)于地球表而靜止，0"仍然存在，這就是所謂的“坐地 日行八百里” o物體的加速度a為矢量微分的應(yīng)用舉例歷xp)dvdtrd。-do)drREq + RG1x r + x dtdt dtdtdS)+xdt+ 2R0qcos&+ co2R cos OkIdt=Re0 一RQ2er + RCla)x為 + 三二xr + d)x(7?G爲(wèi) + 歷x產(chǎn)) =R(02 + q2)豕+ r 字為從而F = ma = mRQ2 + co1 er + mRC-<dee0 + m 2/?GqcosO + /?sin。+ mRco

5、1 cos Ok 力丿這個(gè)結(jié)論在理論力學(xué)中很重要，可用來解釋許多自然現(xiàn)象。這里討論兩種特殊情況：當(dāng)物體相對(duì)于地面靜止時(shí)Q = d0/dt = O f從而dQ/dt = Qr 又e = eo=C故dco/dt = 0 o此時(shí)物體所受的力為：F = -mRcoer + mRco cos Ok由于mRco cos Ok的存在，致使物體受力（重力）不指向地心 （乙的反方向）,并隨地球緯度的改變而不同。（2）當(dāng)物體做緯向運(yùn)動(dòng)時(shí),（d = cdq=C , dco/dt = 0 ,此時(shí)物體所受力中有一個(gè)徑向分力ImRQlco cosOe。令7?Q = v / veQ = v /COQk =久。則此徑向分力可

6、改寫為2md?0xv,這個(gè)力就是科里奧利力,用科氏力可以解釋河流沖刷右岸等自然現(xiàn)象。矢量微分直角坐標(biāo)系中的矢量微分 曲線坐標(biāo)系中的矢量微分矢量微分應(yīng)用舉例矢量積分直角坐標(biāo)系中的矢量積分 曲線坐標(biāo)系中的矢量積分直角坐標(biāo)系中的矢量積分在直角坐標(biāo)系中,由于基矢方向恒定,矢量積分可以直接進(jìn)行。例：求載流直導(dǎo)線周圍的磁感強(qiáng)度解：設(shè)直角坐標(biāo)系如圖,即原點(diǎn)在導(dǎo)線中心軸上,讓y軸與導(dǎo)線中心軸重合,y軸方向與電流同向,讓x軸通過場(chǎng)點(diǎn)p ,則于是,dl dyj.r xi-yj = Jx2 + y2.dl xr = -xdyk.dy fdio直角坐標(biāo)系中的矢量積分(1)如果導(dǎo)線長(zhǎng)為L(zhǎng)，且y = 丁2，即求導(dǎo)線中垂直

7、面上的磁感強(qiáng) 度，則5 =k2xy4x2 + Z?(2) 如果導(dǎo)線無限長(zhǎng)(厶 >>兀),則2ttx曲線坐標(biāo)系中的矢量積分在曲線坐標(biāo)中f由于基矢方向可變,矢量積分應(yīng)慎重。這個(gè)答案明顯是錯(cuò)誤的f因?yàn)楸环e矢量中基矢石本身是一個(gè)會(huì)隨著 積分變量而改變的變矢量。曲線坐標(biāo)系中的矢量積分如果將兮表示成某一定點(diǎn)基矢的函數(shù)案就不會(huì)錯(cuò)了。爲(wèi)=cos)+sin如答亦 /Zq/ r dT xrjlLqIB 4n=山Iir(/?2 + Z2)3/2- 心2總l r3r 2tt cr 2ttJ(R2d(pez + R 如(cos cpepQ + sin cpe曲線坐標(biāo)系中的矢量積分而在有些情況下 < 曲線坐標(biāo)系中進(jìn)行矢量積分,