力學(xué)的變分原理PPT課件

1、而變分原理則不同。它提供一種準(zhǔn)則，根據(jù)這種準(zhǔn)則，可以把力學(xué)系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動與相同條件下約束所允許的一切可能運(yùn)動區(qū)別開來，從而確定系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動。如果準(zhǔn)則是對某一瞬時狀態(tài)而言的，則該原理稱為微分變分原理（如虛位移原理，它提供了區(qū)別非自由質(zhì)點(diǎn)系的真實(shí)平衡位置和約束所允許的鄰近的可能平衡位置的準(zhǔn)則。動力學(xué)普遍方程也是微分變分原理）。如果準(zhǔn)則是對一有限時間過程而言的，則該原理稱為積分變分原理（哈密頓原理和拉格朗日最小作用量原理）哈密頓原理是分析力學(xué)的基本原理。它潛藏著經(jīng)典力學(xué)的全部內(nèi)容并把這門學(xué)科的所有命題統(tǒng)一起來。也就是說，由它出發(fā)，也可得到經(jīng)典力學(xué)的整個框架。變分原理的思想，不僅在力學(xué)中，而且在物理

2、學(xué)科的其他領(lǐng)域中，都具有重要的意義和應(yīng)用價值。力學(xué)的變分原理是變分法在力學(xué)中的應(yīng)用。先介紹泛函和變分法的基本知識。第1頁/共25頁變分法簡介變分法簡介1.泛函的概念（1）函數(shù)的概念設(shè) 和 是兩個變量， 是一個給定的數(shù)集。如果對 中的每一個數(shù) ，變量 按確定關(guān)系總有一個確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱 是 的函數(shù)，記作 ， 稱為自變量， 稱為 因變量。對于多元函數(shù)，記作 。xyDDxyyx)(xfy xy),(21nxxxfy（2）泛函的概念xyDDx)(xFy xy 給定一個由任何對象組成的集合 ，這里所說的任何對象可以是數(shù)、數(shù)組、幾何圖形，也可以是函數(shù)或某系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)等。設(shè)集合 中的元素用 表示，

3、如果對于集合中的每一個元素 對應(yīng)一個數(shù) ，則稱 是 的泛函，記作 。有時泛函可以看做函數(shù)，函數(shù)也可以看做泛函。函數(shù)表示的是數(shù)與數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，而泛函表示的是函數(shù)與數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系。函數(shù)概念可作為泛函概念的特殊情況。 第2頁/共25頁2.變分法簡介（1）變分法的研究對象222 ( ) : 2,()()1 ,ABABvy xvgydxdyydsvdxdtdtdt最速落徑問題鉛直平面內(nèi)在所有聯(lián)結(jié)二個定點(diǎn)和的曲線中，找出一條曲線來，使得初速度為零的質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下，自點(diǎn)沿它無摩擦地下滑時，以最短時間到達(dá)點(diǎn)。解：這是泛函極值問題。速度與坐標(biāo)的關(guān)系而變分法是研究求泛函的極值的方法。凡有關(guān)求泛函極值的

4、問題都稱作變分問題。oxyAB第3頁/共25頁2222()() 1 1 2( )( )BBAAxxxxdxdydsvdtdtydxdtyTdtdxgytyf xyfx最速落徑問題質(zhì)點(diǎn)自沿曲線自由滑下到點(diǎn)所需的時間為上式中，時間 是用定積分（函數(shù)的集合）來表示的，這種關(guān)系即泛函，其數(shù)值取決于式中未知函數(shù)和。顯然求此泛函的極小值就是求( )tyf x所用的最小時間 ，也就是求出函數(shù)中的哪個函數(shù)表示的曲線是最速降線。如何求泛函的極值？先介紹變分的概念。oxyAB第4頁/共25頁（2）變分的概念變分分等時變分和全變分兩種，全變分又稱非等時變分。我們這里主要介紹等時變分。( ),Dqq ttqtdtqd

5、q設(shè)集合 中的元素是表示某一力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動的函數(shù)其中 為自變量， 為力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，此函數(shù)關(guān)系如圖中曲線所示。當(dāng)自變量有微小增量 時，對應(yīng)的函數(shù) 的微小增量的線性主部稱為函數(shù)的微分，記為q=q(t)+(t)t+dtotdqpdt,pqqtq=q(t)( )(1)dqq t dt或或: :dtdqtq)( 第5頁/共25頁如果自變量如果自變量t t保持不變，而函數(shù)保持不變，而函數(shù)q=q(t)本身形式發(fā)生微小變本身形式發(fā)生微小變化，則得另一條曲線化，則得另一條曲線 ，如圖中虛線所示，顯然這種曲線有，如圖中虛線所示，顯然這種曲線有無數(shù)條。令無數(shù)條。令式中式中 是一個參數(shù)，為無窮小量。是一個參數(shù)，為

6、無窮小量。如果如果 ，即得函數(shù)，即得函數(shù) ；如果??；如果取其他值，即得一些與其他值，即得一些與 非常相近的非常相近的函數(shù)。因此上式表示的是一族依賴于函數(shù)。因此上式表示的是一族依賴于參數(shù)參數(shù) 的函數(shù)的函數(shù) ，相應(yīng)的是一族非常，相應(yīng)的是一族非常接近的曲線。式中，接近的曲線。式中， 是是t t的連續(xù)可微函數(shù)。的連續(xù)可微函數(shù)。在瞬時在瞬時t t，由函數(shù)本身形式的微小變化而得的微小增量的主，由函數(shù)本身形式的微小變化而得的微小增量的主部部 稱為函數(shù)的變分：稱為函數(shù)的變分：由于是在瞬時由于是在瞬時t t，不考慮時間，不考慮時間t t的變化，這種變分稱為等時的變化，這種變分稱為等時變分。圖中的變分。圖中的 和

7、和 表示了函數(shù)的變分與微分的區(qū)別。表示了函數(shù)的變分與微分的區(qū)別。 ( )( , )( )( )(2)q tqtq tt)(tqq=q(t)+(t)t+dtotdqpdt,pqqtq=q(t)( )q t0( )q t( )q t( )q t( )(3)qqqtqdq第6頁/共25頁變分：自變量不變，僅由于函數(shù)本身形式變分：自變量不變，僅由于函數(shù)本身形式 的微小改變而得到的函數(shù)的改變；的微小改變而得到的函數(shù)的改變；微分：由于自變量的微分：由于自變量的 微增量而引起微增量而引起 的函數(shù)的微增的函數(shù)的微增 量。量。 q=q(t)+(t)t+dtotdqpdt,pqqtq=q(t)第7頁/共25頁 由

8、于函數(shù)取等時變分時，自變量由于函數(shù)取等時變分時，自變量t t保持不變，變分運(yùn)算與保持不變，變分運(yùn)算與時間無關(guān)，則時間無關(guān)，則(a)(a)任一連續(xù)函數(shù)任一連續(xù)函數(shù) q=q(t)的變分與微分可以交換：即的變分與微分可以交換：即(b) (b) 在積分的上、下限不變的條件下，函數(shù)對自變量的積分的在積分的上、下限不變的條件下，函數(shù)對自變量的積分的變分，等于該函數(shù)的變分對該自變量的積分。變分，等于該函數(shù)的變分對該自變量的積分。 總之，變分的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的變分；變分的積分等于積分總之，變分的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的變分；變分的積分等于積分的變分。的變分。 )()(qdtddtdq2121ttttqdtqdt第8頁/共

9、25頁（3）變分法211122=( , , )(4)( ,)( ,)( ),( )( , )=( , )( )( )2ttJJF q q t dtA t qB tqqq tJA Bq tqtqtq tqq t設(shè)泛函 為定積分現(xiàn)欲求通過固定兩點(diǎn)和的一條曲線，如圖中實(shí)線所示，這條曲線使泛函 具有極值。為了表示通過兩固定點(diǎn)的與非常接近的一族函數(shù)，我們按式（2）將這族函數(shù)表示為依賴于參數(shù) 的函數(shù)；當(dāng)0時，,就是欲求的函數(shù)。對式（ ）積分，因 可為不同的值，因此泛21( )( , ), ( , ),ttJJF qtqtt dt函 也是 的函數(shù)，這樣，泛函的極值問題就轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的極值問題。A(k+1)維空

10、間BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )jjj第9頁/共25頁=0=0=0=0=0JJJ由函數(shù)的極值條件即可得說明，泛函的極值條件是泛函的變分等于零。第10頁/共25頁212121=0(t) : ()=0 ( , ), ( , ),=0=()0ttttttJJqJJF q,q,t dtJJF qt qt t dtFFFqqqqFFJqq dtqqF那么，要使泛函 取極值，或者說使，函數(shù)應(yīng)該滿足什么條件呢？泛函的普遍形式為，即可表示為又故，(5)，按照運(yùn)算規(guī)則，變分的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的變分，上式括號中的第二項(xiàng)為=F dqdtqdtqq dt， 用分部積分公式第11頁/共25頁22211112

11、21(),60665()0, ()077ttttttttttFFdFqdtqqdtqqdtqABqqFdFJqdtqqdtqFdFqdtqJ（ ）因兩端點(diǎn) 、 固定，所以 因此，式（ ）右邊第一項(xiàng)等于零，把式（ ）代入（ ），得由于的任意性，上式成立的條件是（ ）式（ ）就是使泛函 取極值時函( )( )( ) , : q tq tq tFtFF - qq數(shù)應(yīng)滿足的條件。它是關(guān)于函數(shù)的二階微分方程，稱為歐拉微分方程，解之便得欲求的函數(shù)。如果 不顯含自變量則歐拉方程有初積分常數(shù)第12頁/共25頁2122222211. ( )2 , .11 22122(1 )2(1 ) (1 ) yFgyfFxF

12、 - yCyyyygyygyyyygygyygyyyyCyctgy例：求最速落徑方程已知解： 因不顯含則有即：常數(shù)常數(shù)常數(shù)引入?yún)?shù)，使112(1cos2 )21CCctg第13頁/共25頁旋旋輪輪線線方方程程程程為為所所以以最最速速落落徑徑的的參參數(shù)數(shù)方方而而， )2cos1(2CyC)2sin2(2Cx :C)2sin2(2Cd)2cos1(Cdxx d)2cos1(CdsinC2 ctgdcossin2Cctgd2sinCydydx )2cos1(2Cyctgy 121211121111第14頁/共25頁哈密頓原理 提出了質(zhì)點(diǎn)系的真實(shí)運(yùn)動與在質(zhì)點(diǎn)系真實(shí)運(yùn)動鄰近，且提出了質(zhì)點(diǎn)系的真實(shí)運(yùn)動與在

13、質(zhì)點(diǎn)系真實(shí)運(yùn)動鄰近，且為約束所能允許的可能運(yùn)動的區(qū)分準(zhǔn)則。為約束所能允許的可能運(yùn)動的區(qū)分準(zhǔn)則。212112 () ()=0,ttttNJL q,q,t dtJL q,q,t dtq qq將前面定義的泛函積分J中的變量F更換為拉格朗日函數(shù)L，便得到泛函： 以及泛函極值條件：下面具體說明之。先介紹增廣位形空間的概念。設(shè)一完整系有N個自由度，其廣義坐標(biāo)為,由這些坐標(biāo)所確定的空間稱為N維位形空間。這個空間中的一個點(diǎn)表示系統(tǒng)在某一時刻的位置，這一點(diǎn)包含N個不同值的廣義坐標(biāo)。為了形象而簡潔+地表示系統(tǒng)的運(yùn)動，設(shè)想由N個廣義坐標(biāo)和時間t組成N 1維空間，這樣，增廣位形空間的一個點(diǎn)就表示了系統(tǒng)在任一瞬時的位置

14、。第15頁/共25頁(, )(, ),kAkBkkkA qtB qtAMBAM BtqMq tMq設(shè)系統(tǒng)在起始和終止的時間和位置分別用和兩個點(diǎn)表示，系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動用圖中的實(shí)線表示，此曲線稱為系統(tǒng)的真實(shí)路徑。在相同的始末條件下，系統(tǒng)為約束所允許的與真實(shí)運(yùn)動非常鄰近的任一可能運(yùn)動用虛線表示，此曲線稱為系統(tǒng)的可能路徑。 在任一瞬時 ，可能路徑對真實(shí)路徑的偏離用等時變分表示，真實(shí)路徑的點(diǎn)坐標(biāo)為(),而可能路徑對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(, () (+)kkkkkkkq tLL q ,q ,tLqq ,qq ,tL)，則真實(shí)運(yùn)動和可能運(yùn)動的拉氏函數(shù)分別為 和函數(shù) 的等時變分則為A(k+1)維空間BM(q ,t)j

15、q,M (q +q ,t )jjj第16頁/共25頁22211121221111111()()()()()NkkkkkNtttkktttkkkNtkktkkkktNNtkktkkkkktLLLLLqqqqLLLdtLdtqq dtqqdLdLLqq dtdtqdtqqLdLLqq dtqdtqq泛函變分為由于始末兩點(diǎn)122211100=()kkttNttkttkkkqqdLLLdtq dtdtqq固定，因此變分，所以上式右邊第一項(xiàng)為零，則上式變?yōu)榈?7頁/共25頁2121=0=08=0kkkttttqdLLdtqqLdtSLdtS根據(jù)泛函極值條件，此式應(yīng)為零。由于各是相互獨(dú)立的，故只有： 這恰

16、是真實(shí)運(yùn)動的拉格朗日方程。因此保守系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律可由 （ ）得出。這就是哈密頓原理。令，稱為哈密頓作用量。式（8）可簡寫為哈密頓原理敘述為：在完整的保守系統(tǒng)中，具有相同時間間隔和始末位置的一切可能運(yùn)動與真實(shí)運(yùn)動相比較，對于真實(shí)運(yùn)動，哈密頓作用量具有極值。第18頁/共25頁上式僅僅適用于保守系統(tǒng)，將上式僅僅適用于保守系統(tǒng)，將L=T-V L=T-V 代入該式則得：代入該式則得： 對于非保守系統(tǒng)：式中還應(yīng)包括作用于體系上的非對于非保守系統(tǒng)：式中還應(yīng)包括作用于體系上的非保守力保守力( ( 包括阻尼力及任一外荷包括阻尼力及任一外荷) )所作的功，即：所作的功，即： ( ( 為由非保守力決定的廣義力為由非

17、保守力決定的廣義力) ) 0)()(212121ttttttdtVTdtVTLdtjrjncqQW1jQ第19頁/共25頁 (1-4) (1-4)式中：式中：T體系的總動能；體系的總動能； V體系的位能，包括應(yīng)變能及任體系的位能，包括應(yīng)變能及任 何保守外力的勢能；何保守外力的勢能； Wnc作用于體系上的非保守力作用于體系上的非保守力( (包括阻尼包括阻尼 力及任一外荷力及任一外荷) )所作的功；所作的功； 在指定時間區(qū)間內(nèi)所取的變分在指定時間區(qū)間內(nèi)所取的變分 0)(2121dtWdtVTttnctt應(yīng)用該原理可以直接導(dǎo)出任何給定體系的運(yùn)動方程。應(yīng)用該原理可以直接導(dǎo)出任何給定體系的運(yùn)動方程。第2

18、0頁/共25頁 應(yīng)用哈密頓原理推導(dǎo)體系的運(yùn)動方程， 不明顯使用慣性力和彈性力，而分別被動能和位能的變分項(xiàng)所代替。 優(yōu)點(diǎn)：它只與純粹的標(biāo)量能量有關(guān) 虛功法中：功本身是標(biāo)量，但計算功的 力和位移都是矢量。 第21頁/共25頁 應(yīng)用于靜力學(xué)中時，式應(yīng)用于靜力學(xué)中時，式(1-4)(1-4)中的動能中的動能項(xiàng)消失，剩余的項(xiàng)是不隨時間變化的，于是項(xiàng)消失，剩余的項(xiàng)是不隨時間變化的，于是方程簡化為：方程簡化為： (1-5)(1-5) 廣泛應(yīng)用于靜力分析中的，著名的最小廣泛應(yīng)用于靜力分析中的，著名的最小位能原理位能原理0)(ncWV第22頁/共25頁221121 (, )(, ) (, )(, )(, )(, )(, ) jjjjjjjjjjjjttjjjjjjtttjjjjtjjjjjjjjH pq tp qL qq