九年級下冊數(shù)學(xué)《垂徑定理》課件

1、 它是它是13001300多年前我國隋代建造的石拱橋多年前我國隋代建造的石拱橋, , 是我國古代人是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對弧所對的弦的長的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離) )為為7.2m7.2m， 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你知道趙州橋嗎你知道趙州橋嗎? ? 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能

2、得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是圓是軸對稱軸對稱圖形，任何一條圖形，任何一條直徑直徑所所在直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸在直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動動 一一（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑C

3、D所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE?。?，?。?，把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，兩側(cè)的兩個半圓重合，點點A與點與點B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直徑平分弦，并且直徑平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧思考：思考：平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？即即，如圖如圖: ABAB是是OO的一條弦的一條弦，直徑，直徑CDCD交交ABAB于于MM，

4、AM=BMAM=BM垂徑定理的推論OABCDM連接連接OA,OB,OA,OB,則則OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAM OBM.AMO= BMO.CDAB O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對稱對稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對折時對折時,點點A與點與點B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所對的兩條弦所對的兩條弧弧. .AM=BM,n由由 CD是是直徑直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是

5、是直徑直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧推論：推論：平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂垂直直于弦于弦, ,并且并且平分平分弦所對的兩條弦所對的兩條弧弧. .（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）討論討論（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）過圓心（）過圓心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所對優(yōu)弧分弦所對優(yōu)弧 （5）平分）平分弦所對的劣弧弦所對的劣?。?）（5）（3）（4）

6、（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）OABCDM每條推論如何用語言表示？（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧的兩條弧（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條?。?） （5） （6） （7） （8） （9）根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和根據(jù)垂

7、徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備一條直線來說。如果具備（1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧 （5）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊∩鲜鑫鍌€條件中的任何兩個條件都可以上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論推出其他三個結(jié)論結(jié)論結(jié)論AM=BM,AB是是 O的一條弦的一條弦. 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說與同伴說說你的想法和理由說你的想法和理由.作作直徑直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.O右圖是軸對稱圖形嗎右圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱

8、軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.例例1 1 ：如圖，已知在：如圖，已知在O O中，弦中，弦ABAB的長為的長為8 8厘米，圓心厘米，圓心O O到到ABAB的距離的距離為為3 3厘米，求厘米，求O O的半徑。的半徑。解：連結(jié)解：連結(jié)OA。過。過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則OE3厘米，厘米，AEBE。 AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有中，根據(jù)勾股定理有OA5厘米厘米 O的的半徑為半徑為5厘米厘米。.AEBO例例2：已知：如圖，在以：已知：如圖，在以O(shè)為圓為圓心的兩個同

9、心圓中，大圓的弦心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點。兩點。求證：求證：ACBD。證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBDE.ACDBO一、判斷下列說法的正誤一、判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條

10、弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 3 3半徑為半徑為2cm2cm的圓中，過半徑中點且的圓中，過半徑中點且 垂直于這條半徑的弦長是垂直于這條半徑的弦長是 。cm32cm328cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半徑為半徑為4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圓心那么圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。2 O的直徑為

11、的直徑為10cm，圓心，圓心O到弦到弦AB的的 距離為距離為3cm，則弦，則弦AB的長是的長是 。二、填空：二、填空：OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)4 4、O O的半徑為的半徑為10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，則，則ABAB、CDCD間的間的 距離是距離是_ _ . .2cm或或14cm1.13001.1300多年前多年前, ,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋的橋拱是圓弧形拱是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對是弦的長弧所對

12、是弦的長) )為為 37.437.4 m, m,拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.27.2m,m,求求橋拱的半徑橋拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).RDOABC37.4m7.2m解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2解：因為解

13、：因為如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點，的中點，C是是 的中點，的中點，CD 就是拱高就是拱高7.218.7說出你這節(jié)課的收獲和體驗，讓大家說出你這節(jié)課的收獲和體驗，讓大家與你一起分享！與你一起分享！圓是圓是軸對稱圖形軸對稱圖形, ,經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸. .垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧. . 垂徑垂徑定理定理: :在在解決有關(guān)圓的問題時，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化解決有關(guān)圓的問題時，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化為為解直角三角形解直角三角形的問題的問題 。根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線