剪切應(yīng)力計算

1、 拉伸、壓縮與剪切1 基本概念及知識要點1.1 基本概念軸力、拉（壓）應(yīng)力、力學(xué)性能、強度失效、拉壓變形、胡克定律、應(yīng)變、變形能、靜不定問題、剪切、擠壓。以上概念是進行軸向拉壓及剪切變形分析的基礎(chǔ)，應(yīng)準(zhǔn)確掌握和理解這些基本概念。1.2 軸向拉壓的內(nèi)力、應(yīng)力及變形1橫截面上的內(nèi)力：由截面法求得橫截面上內(nèi)力的合力沿桿的軸線方向，故定義為軸力，符號規(guī)定：拉力為正，壓力為負。工程上常以軸力圖表示桿件軸力沿桿長的變化。2軸力在橫截面上均勻分布，引起了正應(yīng)力，其值為正應(yīng)力的符號規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。常用的單位為mpa、pa。3強度條件強度計算是材料力學(xué)研究的主要問題之一。軸向拉壓時，構(gòu)件的強度條件

2、是可解決三個方面的工程問題，即強度校核、設(shè)計截面尺寸及確定許用載荷。4胡克定律線彈性范圍內(nèi)，桿的變形量與桿截面上的軸力、桿的長度l成正比，與截面尺寸a成反比；或描述為線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力應(yīng)變成正比，即式中的e稱為材料的彈性模量，ea稱為抗拉壓剛度。胡克定律揭示在比例極限內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比，是材料力學(xué)最基本的定律之一，一定要熟練掌握。1.3 材料在拉壓時的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能的研究是解決強度和剛度問題的一個重要方面。材料力學(xué)性能的研究一般是通過實驗方法實現(xiàn)的，其中拉壓試驗是最主要、最基本的一種試驗，由它所測定的材料性能指標(biāo)有：材料抵抗彈性變形能力的指標(biāo)；材料的強度指標(biāo)；材料的塑性指標(biāo)。低碳鋼的

3、拉伸試驗是一個典型的試驗。詳見教材，應(yīng)理解本部分知識。1.4 簡單拉壓靜不定問題1 未知力的個數(shù)超過靜力平衡方程個數(shù)的問題為靜不定問題，其中未知力可以是結(jié)構(gòu)的約束反力或構(gòu)件的內(nèi)力。2 解決靜不定問題，除列出靜力平衡方程外，還需列出一定數(shù)量的補充方程，這些補充方程可由結(jié)構(gòu)各部分變形之間的幾何關(guān)系以及變形和力之間的物理關(guān)系求得，將補充方程和靜力平衡方程聯(lián)立求解，即可得出全部未知力。3 靜不定結(jié)構(gòu)還有一個特性，即由于桿件在制造中的誤差，將引起裝配應(yīng)力；由于溫度變化會引起溫度應(yīng)力。1.5 應(yīng)力集中的概念工程實際中，由于結(jié)構(gòu)上和使用上的需要，有些零件必須有切口、切槽和螺紋等。在構(gòu)件尺寸的突變處，發(fā)生局部

4、應(yīng)力急劇增加的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中現(xiàn)象。1.6 剪切和擠壓的實用計算1 工程中經(jīng)常使用到聯(lián)接件，如鉚釘、銷釘、鍵或螺栓等。聯(lián)接件一般受剪切作用，并伴隨有擠壓作用，因而聯(lián)接件應(yīng)同時滿足剪切強度和擠壓強度。有時還要考慮被聯(lián)接部分的拉伸強度問題。2 兩作用外力之間發(fā)生相互錯動的面稱為剪切面。剪切面上的切應(yīng)力為，其中為剪力，a為剪切面的面積，即假設(shè)切應(yīng)力在剪切面上均勻分布。剪切強度條件3 產(chǎn)生相互擠壓的表面稱為擠壓面。擠壓面上的擠壓應(yīng)力為，式中f為擠壓力，abs為擠壓面積，即假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓面上均勻分布。擠壓強度條件為2 重點與難點及解析方法2.1 軸向拉壓的應(yīng)力、強度計算及變形計算強度計算是本章的重

5、點內(nèi)容，它能夠解決三類工程問題。而胡克定律是聯(lián)系力與變形的基本定律，應(yīng)重點掌握。解析方法：1 對等截面直桿，橫截面上的正應(yīng)力最大，強度計算時必須明確在哪個截面進行強度計算；而縱向截面上的應(yīng)力等于零。2應(yīng)用胡克定律計算變形時，內(nèi)力應(yīng)以代數(shù)值代入。求解結(jié)構(gòu)上節(jié)點的位移時，設(shè)想交于該節(jié)點的各桿，沿各自的軸線自由伸縮，從變形后各桿的終點作各桿軸線的垂線，這些垂線的交點即為節(jié)點新的位置。2.2 簡單拉壓靜不定問題解靜不定問題的關(guān)鍵是列出正確的變形幾何關(guān)系。在列幾何關(guān)系時，注意假設(shè)的變形應(yīng)是桿件可能的變形。解析方法：1 列靜力平衡方程；2根據(jù)變形協(xié)調(diào)關(guān)系列出變形的幾何關(guān)系；3 列出力與變形之間的物理關(guān)系；

6、4 聯(lián)立解方程組求出未知力。2.3材料在拉壓時的力學(xué)性能力學(xué)性能是材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。是通過實驗研究的方法來實現(xiàn)的，這種方法對我們以后的工程設(shè)計有一定的指導(dǎo)作用。應(yīng)理解力學(xué)性質(zhì)中涉及到的幾個強度指標(biāo)及塑性指標(biāo)。2.4 剪切和擠壓的強度計算聯(lián)接件的強度計算，關(guān)鍵在于正確判斷剪切面和擠壓面。剪切面積為受剪面的實際面積，當(dāng)擠壓面為半圓柱面時，一般取圓柱的直徑平面面積為擠壓面面積，以簡化運算。3 典型問題解析3.1 軸向拉壓的強度、變形計算例題2.1：已知ac桿為直徑d25mm 的a3圓鋼，材料的許用應(yīng)力141mpa，ac、ab桿夾角30°，如圖21（a）所示，

7、a處作用力f20kn，求：1 校核ac桿的強度；2 選擇最經(jīng)濟的直徑d；3 若用等邊角鋼，選擇角鋼型號。（b）（a） 圖21解：1校核ac桿的強度用一截面將ac、ab桿截開，取a節(jié)點作為研究對象，如圖21（b）所示，利用平衡方程計算。代入強度條件，校核ac桿的強度 滿足強度要求,安全。2 選擇最佳截面尺寸，根據(jù)強度條件ac桿的直徑取為20mm，即可滿足強度要求。3選擇等邊角鋼型號 a284mm2 ，查表可選50×3號等邊角鋼。解題指導(dǎo)：桿件軸力方向未知時，可使用設(shè)正法，即假設(shè)軸力為正，由平衡方程求解出的結(jié)果為正，說明是拉力；結(jié)果為負，說明是壓力。例題2.2：零件受力如圖22所示，其中

8、fp50 kn。求零件橫截面的最大正應(yīng)力，并指出發(fā)生在哪一橫截面上。圖22解：用截面法分析零件各橫截面上的軸力，得軸力都是相同的，即 又因為開孔使截面積減小，所以最大正應(yīng)力可能發(fā)生在孔徑比較小的兩個橫截面上i一i或iiii上。對于i一i截面，其橫截面積 對于ii一ii截面，其橫截面積 則最大正應(yīng)力發(fā)生在i一i截面,，其上之正應(yīng)力 解題指導(dǎo)：由于開孔，在孔邊形成應(yīng)力集中，因而橫截面上的正應(yīng)力并不是均勻分布的。嚴(yán)格地講，不能采用上述方法計算應(yīng)力。上述方法只是不考慮應(yīng)力集中時的應(yīng)力，稱為“名義應(yīng)力”。如果將名義應(yīng)力乘上一個應(yīng)力集中系數(shù)，就可得到開孔附近的最大應(yīng)力。應(yīng)力集中系數(shù)可從有關(guān)手冊中查得。 例

9、題2.3圖23（a）所示鉸接正方形結(jié)構(gòu)，各桿的橫截面面積均為30cm2，材料為鑄鐵，其許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷。解：1 求各桿軸力取b節(jié)點作為研究對象，如圖23（b）所示，代平衡方程， （拉）即ab、bc桿軸力為取a節(jié)點作為研究對象，如圖23（c）所示，代平衡方程， （壓）即ad、dc桿軸力為，ac桿軸力為。圖232 求許可載荷由斜桿的拉伸強度條件 由ac桿的壓縮強度條件 故結(jié)構(gòu)的許可載荷為解題指導(dǎo)：盡管拉力要比壓力小約40%，但結(jié)構(gòu)的許可載荷還是受拉伸強度所限制,這是因為鑄鐵的抗拉強度要比其抗壓強度低得多。在工程實際中，受壓構(gòu)件通常選用鑄鐵等脆性材料，而受拉構(gòu)件一般選用低碳

10、鋼等塑性材料，以合理地利用各種材料的力學(xué)性能。 例題2.4：圖24（a）所示之結(jié)構(gòu)中，ab和ac均為q235鋼制成的圓截面桿，直徑相同d20mm，許用應(yīng)力160 mpa。試確定該結(jié)構(gòu)的許用載荷。圖24解：1 由平衡條件計算各桿軸力，設(shè)ab桿軸力為，ac桿軸力為，如圖24（b）所示。對于節(jié)點a，由得 （1）由得 （2）將（1）、（2）式聯(lián)解 可見ab桿比ac桿受力大，而兩者的材料及橫截面尺寸都是相同的。因此，兩根桿的危險程度不同。如果ab桿的強度得到滿足，ac桿的強度也一定安全。2 根據(jù)強度條件計算許用載荷有據(jù)此解得 因而得kn若改為，由強度條件計算許用軸力 由于ab、ac桿不能同時達到最大許用

11、容許軸力，則將，代入（2）式，解得這個解顯然是錯誤的。解題指導(dǎo)：上述錯誤解法，實際上認(rèn)為兩根桿同時達到了危險狀態(tài)。但實際上，兩根桿的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而應(yīng)力不同，其中受力較大的桿中應(yīng)力達到許用應(yīng)力時，另一根的應(yīng)力必然小于許用應(yīng)力。因而二者不可能同時到達危險狀態(tài)。例題2.5：1、2桿均為圓截面鋼桿，桿端為鉸接。兩桿長度l、直徑d、材料e均相等，a處作用力f，如圖25所示，試求節(jié)點a在力f作用下的位移。解：圖25在力f作用下，桿1、2為軸向拉伸，由靜力平衡關(guān)系得：代入胡克定律解得1、2桿的變形量但兩桿鉸接在一起，不能自由伸長，可判斷出變形后節(jié)點a位移向下。分別以b、c為圓心，、為半

12、徑作圓弧，所作圓弧的交點a1就是桿件變形后節(jié)點a的位置。在實際工程中，為了便于計算，從桿件變形后的端點作桿件的垂線，用垂線代替圓弧線，近似認(rèn)為其交點a2為變形后a的位置，aa2為節(jié)點a的位移。這種求位移的方法稱為圖解法。a點的位移：解題指導(dǎo)：理論上計算節(jié)點位移時，應(yīng)由兩桿伸長后的長度為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點即為節(jié)點新的位置。但由于桿件的變形是小變形，實際上是用切線代替圓弧來簡化運算。作圖法簡單易行，計算結(jié)果滿足工程要求。3.2 簡單拉壓靜不定問題例題2.6：已知1桿的抗拉壓剛度e1a1， 2、3桿的抗拉壓剛度相等e2a2e3a3 。三桿鉸接在一起，l 1l 2 l 3l 。試求在力f作用下各

13、桿的內(nèi)力。解：圖26用截面同時截開1、2、3桿，取節(jié)點a為研究對象，由靜力平衡關(guān)系： （1）三個未知數(shù)，兩個獨立平衡方程，為一次靜不定問題。根據(jù)圖解法，作節(jié)點a的位移圖，得變形關(guān)系： （2）代物理關(guān)系： （3）（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得 解題指導(dǎo)：由此例題可知,靜不定結(jié)構(gòu)各桿件受力與桿件剛度比有關(guān)，這是靜不定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的顯著特征之一。例題2.7：已知正方形截面組合桿，由兩根截面尺寸相同、材料不同的桿1和桿2組成，二者的彈性模量為e1和e2（e1e2），若使桿1和桿2均勻受壓，求載荷f的偏心距e。解：圖27靜力平衡關(guān)系： （1）為一次靜不定問題。變形關(guān)系； 物理關(guān)系： （2）（1）、

14、（2）、（3）聯(lián)立解得 （3）代入（1）中第二式解得偏心距e為例題2.8：已知桿1為鋼桿e1210gpa, ， a1 =30cm2。桿2為銅桿，e2105gpa, ，a 2=30cm2。載荷f50kn。若ab為剛桿且始終保持水平，試問溫度升高還是降低？求溫度的改變量t。解： 圖28設(shè)由f、t引起的總的內(nèi)力為、， 靜力平衡關(guān)系： （1）為一次靜不定問題。變形關(guān)系： （2）物理關(guān)系： （3）（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得即溫度降低26.5，可保證ab剛桿始終保持水平。解題指導(dǎo)：裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力同屬于靜不定問題，求解簡單靜不定問題的關(guān)鍵是列出正確的變形幾何關(guān)系。3.3 剪切和擠壓例題2.9：如圖所

15、示沖床，沖頭，沖剪鋼板mpa，設(shè)計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。 解：圖291 按沖頭壓縮強度計算2按鋼板剪切強度計算解題指導(dǎo)：對于剪切的強度計算，關(guān)鍵是確定剪切面和擠壓面?？梢韵日易冃芜^程中相互壓緊的面即為擠壓面，可能產(chǎn)生剪切破壞的面即為擠壓面。例題2.10：如圖210所示連接，d、t、d均已知，材料的許用應(yīng)力分別為、bs。試確定許用載荷。解：圖2101由強度條件2由剪切強度條件：3由擠壓強度條件：許用載荷為三個力中較小者，即例題2.11：木榫接頭如圖所示。，。試求榫接頭的切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力。圖211解：先分析木榫接頭的剪切面和擠壓面例題2.11： 圖示傳動軸，齒輪與軸用平鍵聯(lián)接，傳遞轉(zhuǎn)矩

16、kn×m。若鍵的尺寸mm、mm，材料的mpa，mpa，試求鍵的長度。解：1 受力分析鍵的受力如圖212（b）、（c）所示2 求鍵的長度由剪切強度條件所以由擠壓強度條件則mm故鍵的長度應(yīng)取 mm。在工程實際中，鍵為標(biāo)準(zhǔn)件，應(yīng)按有關(guān)規(guī)定選用。解題指導(dǎo)：從上述計算可見，當(dāng)平鍵的擠壓應(yīng)力達到許用值時，鍵的工作剪應(yīng)力遠低于許用剪應(yīng)力。對于標(biāo)準(zhǔn)鍵（或花鍵），其擠壓強度是主要矛盾，而其剪切強度一般都是足夠的；對于鉚釘、螺栓等聯(lián)接件，其剪切強度往往是主要的，擠壓強度通常都能得到滿足。4 自我測試?yán)?壓1. 軸向拉伸桿，正應(yīng)力最大的截面和切應(yīng)力最大的截面（ ）。(a）分別是橫截面、45°斜截

17、面； （b）都是橫截面，（c）分別是45°斜截面、橫截面； （d）都是45°斜截面。正確答案是 。2. 軸向拉壓桿，在與其軸線平行的縱向截面上（ ）。（a） 正應(yīng)力為零，切應(yīng)力不為零；（b） 正應(yīng)力不為零，切應(yīng)力為零；（c） 正應(yīng)力和切應(yīng)力均不為零；（d） 正應(yīng)力和切應(yīng)力均為零。正確答案是 。3. 應(yīng)力應(yīng)變曲線的縱、橫坐標(biāo)分別為fn /a，l / l，其中（ ）。（a）a 和l 均為初始值； （b）a 和l 均為瞬時值； （c）a 為初始值，l 為瞬時值； （d）a 為瞬時值，l 均為初始值。正確答案是 。4. 進入屈服階段以后，材料發(fā)生（ ）變形。（a） 彈性； （b）線

18、彈性； （c）塑性； （d）彈塑性。正確答案是 。5. 鋼材經(jīng)過冷作硬化處理后，其（ ）基本不變。(a) 彈性模量；（b）比例極限；（c）延伸率；（d）截面收縮率。正確答案是 。6. 設(shè)一階梯形桿的軸力沿桿軸是變化的，則發(fā)生破壞的截面上 （ ）。（a）外力一定最大，且面積一定最??；（b）軸力一定最大，且面積一定最?。唬╟）軸力不一定最大，但面積一定最?。唬╠）軸力與面積之比一定最大。正確答案是 。7. 一個結(jié)構(gòu)中有三根拉壓桿，設(shè)由這三根桿的強度條件確定的結(jié)構(gòu)許用載荷分別為f1、f2、f3，且f1 > f2 > f3，則該結(jié)構(gòu)的實際許可載荷 f 為（ ）。（a） f1 ； （b）f2

19、； （c）f3； （d）（f1f3）/2。正確答案是 。8. 圖示桁架，受鉛垂載荷f50kn作用，桿1、2的橫截面均為圓形，其直徑分別為d1=15mm、d2=20mm，材料的許用應(yīng)力均為150mpa。試校核桁架的強度。9. 已知直桿的橫截面面積a、長度l及材料的重度、彈性模量e，所受外力p如圖示。求：（1）繪制桿的軸力圖； （2）計算桿內(nèi)最大應(yīng)力； （3）計算直桿的軸向伸長。 剪 切1在連接件上，剪切面和擠壓面分別（ ）于外力方向。 （a）垂直、平行； （b）平行、垂直； （c）平行； （d）垂直。正確答案是 。2. 連接件應(yīng)力的實用計算是以假設(shè)（ ）為基礎(chǔ)的。（a） 切應(yīng)力在剪切面上均勻分布；（b） 切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限；（c） 剪切面為圓形或方行；（d） 剪切面面積大于擠壓面面積。正確答案是 。3.在連接件剪切強度的實用計算中,剪切許用力是由( )得到的