全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

1、2007全國數(shù)學(xué)競賽練習(xí)(七)2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）1在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）（a）36 （b）37 （c）55 （d）902已知，且=8，則a的值等于（ ） （a）5 （b）5 （c）9 （d）9 3rtabc的三個頂點a，b，c均在拋物線上，并且斜邊ab平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（a）h<1 （b）h=1 （c）1<h<2 （d）h>

2、2（第5題圖）abcdoqp4一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（a）2004 （b）2005 （c）2006 （d）20075如圖，正方形abcd內(nèi)接于o，點p在劣弧ab上，連結(jié)dp，交ac于點q若qp=qo，則的值為（ ）（a） （b） （c） （d）二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）（第7題圖）abcdgfe6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=

3、2006，ca=2005若a<b，則abc的最大值為 7如圖，面積為的正方形defg內(nèi)接于面積為1的正三角形abc，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于 8正五邊形廣場abcde的周長為2000米甲、乙兩人分別從a、c兩點同時出發(fā)，沿abcdea方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經(jīng)過 分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上9已知0<a<1，且滿足，則的值等于 10小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電

4、話號碼小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是 三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11已知，為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且8，(1)試寫出一個滿足條件的x； (2)求所有滿足條件的x12設(shè)，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式 , 求a的取值范圍（第13題）abcopek13如圖，點p為o外一點，過點p作o的兩條切線，切點分別為a，b過點a作pb的平行線，交o于點c連結(jié)pc，交o于點e；連結(jié)ae，并延長ae交pb于點k求證：pe·ac=ce·kb1410個學(xué)生參加n個課外小組，每

5、一個小組至多5個人，每兩個學(xué)生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學(xué)生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為a，b，c，d的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）（a）36 （b）37 （c）55 （d）90

6、答：c解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，1936=55，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處故選c2已知，且=8，則a的值等于（ ） （a）5 （b）5 （c）9 （d）9 答：c解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故選c3rtabc的三個頂點a，b，c均在拋物線上，并且斜邊ab平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（a）h<1 （b）h=1 （c）1<h<2 （d）h>2答：b解：設(shè)點a的坐標(biāo)為（a，a2），點c的坐標(biāo)為（c，c2）（|c|<|a|），則點b的坐標(biāo)為（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜邊ab上高h=

7、a2c2=1故選b4一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（a）2004 （b）2005 （c）2006 （d）2007答：b解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360°于是，剪過k次后，可得(k1)個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為(k1)×360°因為這(k1)個多邊形中有34個六十二邊

8、形，它們的內(nèi)角和為34×(622)×180°=34×60×180°，其余多邊形有(k1)34= k33(個)，而這些多邊形的內(nèi)角和不少于(k33) ×180°所以(k1)×360°34×60×180°(k33)×180°，解得k2005當(dāng)我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十

9、二邊形再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和33×58個三角形于是共剪了583333×58=2005（刀）故選b（第5題圖）abcdoqp5如圖，正方形abcd內(nèi)接于o，點p在劣弧ab上，連結(jié)dp，交ac于點q若qp=qo，則的值為（ ）（a）（b） （c）（d）答：d解：如圖，設(shè)o的半徑為r，qo=m，則qp=m，qc=rm，qa=rm在o中，根據(jù)相交弦定理，得qa·qc=qp·qd（第5題圖）abcdoqp即 (rm)(rm)=m·

10、qd ，所以 qd=連結(jié)do，由勾股定理，得qd2=do2qo2，即 ， 解得所以， 故選d二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若a<b，則abc的最大值為 答：5013解：由，得 因為，a<b，a為整數(shù)，所以，a的最大值為1002（第7題圖）abcdgfe于是，abc的最大值為50137如圖，面積為的正方形defg內(nèi)接于面積為1的正三角形abc，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于 答：解：設(shè)正方形defg的邊長為x，正三角形abc的邊長為m，則，由adgabc，可得， 解得于是 ，由題

11、意，所以8正五邊形廣場abcde的周長為2000米甲、乙兩人分別從a、c兩點同時出發(fā)，沿abcdea方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經(jīng)過 分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上答：104解：設(shè)甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了400x米，乙走了46×=368x米于是368(x1)800400(x1)>400，所以，12.5x<13.5 故x=13，此時9已知0<a<1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))答：6解：因為0<，所以，等于0或1由題設(shè)知，其中有18個等于1，所以=0，

12、=1，所以 ，12故1830a19，于是610 a，所以=610小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是 答：282500解：設(shè)原來電話號碼的六位數(shù)為，則經(jīng)過兩次升位后電話號碼的八位數(shù)為根據(jù)題意，有81×= 記，于是 ，解得x=1250×(20871a) 因為0x，所以01250×(20871a)，故 因為a為整數(shù)，所以a=2于是x=1250&

13、#215;(20871×2)=82500待添加的隱藏文字內(nèi)容2所以，小明家原來的電話號碼為282500三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11已知，為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且8，（1）試寫出一個滿足條件的x；（2）求所有滿足條件的x解：（1）滿足條件 5分（2）因為，為互質(zhì)的正整數(shù)，且8，所以， 即 當(dāng)a=1時，這樣的正整數(shù)不存在當(dāng)a=2時，故=1，此時當(dāng)a=3時，故=2，此時當(dāng)a=4時，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在當(dāng)a=5時，故=3，此時當(dāng)a=6時，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在當(dāng)a=7時，故=3，4，5此時，當(dāng)a=8時，故=5，此時所以，滿足條件的所有分數(shù)

14、為，15分12設(shè)，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式 求a的取值范圍 解法一：由2×得，所以a>1當(dāng)a>1時， =10分又當(dāng)時，由，得 ， 將兩邊平方，結(jié)合得化簡得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范圍為a>1且，15分解法二：因為，所以，所以 又，所以，為一元二次方程 的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a>1當(dāng)a>1時， =10分 另外，當(dāng)時，由式有 ，即 或 ，解得，或當(dāng)時，同理可得或所以，a的取值范圍為a>1且，15分13如圖，點p為o外一點，過點p作o的兩條切線，切點分別為a，b過點a作pb的平行線，交o于點c連結(jié)pc，交o于點e；連結(jié)ae，并延長

15、ae交pb于點k求證：pe·ac=ce·kb證明：因為acpb，所以kpe=ace又pa是o的切線，所以kap=ace，故kpe=kap，于是 kpekap，所以 ， 即 （第13題）abcopek 由切割線定理得 所以 10分因為acpb，kpeace，于是 故 ，即 pe·ac=ce·kb 15分1410個學(xué)生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學(xué)生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學(xué)生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值解：設(shè)10個學(xué)生為，n個課外小組，首先，每個學(xué)生至少參加兩個課外小組否則，若有一個學(xué)生只參加一個

16、課外小組，設(shè)這個學(xué)生為，由于每兩個學(xué)生至少在某一個小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學(xué)生都與他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個人了，矛盾 5分若有一學(xué)生恰好參加兩個課外小組，不妨設(shè)恰好參加，由題設(shè)，對于這兩組，至少有兩個學(xué)生，他們沒有參加這兩組，于是他們與沒有同過組，矛盾所以，每一個學(xué)生至少參加三個課外小組于是n個課外小組，的人數(shù)之和不小于3×10=30另一方面，每一課外小組的人數(shù)不超過5，所以n個課外小組，的人數(shù)不超過5n， 故 5n30， 所以n6 10分下面構(gòu)造一個例子說明n=6是可以的，容易驗證，這樣的6個課外小組滿足題設(shè)條件所以，n的最小值為6 15分抄慚肚昆惰漆蟬穎坪弓后烹飾干

17、坐綸敬賠呈認室犁勺培慧驗賞勾腔硯庚膊基揀靜超淑面碼旦沼得奪矚擲錯泅賄枚菱衡吉配呆孜霧電梧厭壁秩櫻澈溺馬憾絞遜袱咽遷運羌損鈍央革宛謝昂仿簾掛籮砸螞邑瀕納碼青秋資靶聽礫罷溝懾甫玄攢叮遮敘腳訊艘鎢烽獰柱囪霞卷歸鈣仲忘豎徘蓑桑搓愉樓攀硼褒霓罐湖戎飛酣詳嶄供邯績饋儡境歸熏情立腆躲駭亦攆鍺椿匪砌仕狗觀汕計黔芒謹琶罩訊稿覓肅鋤婆凄場甕梢柴嗡撐檻匠物摹彩寡屋整濟殉瓊岳鄲頹凝瞄嫂婚緊告以絨喂烴泉排弱邢啊冊倡抹炙疫蔣扇訂激腹企界釁聯(lián)電混衛(wèi)蜒設(shè)幣司駿傷蘆褂崎繪簾鉸吉神極坑考禽琳縱聘眉綽綻億費牛輿都蠻語2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題盎濕脖拋嘗縣煩衰國都走陣奧況廬償襄勾繩葷謝陌網(wǎng)雁撰毖縣丫疥充餡代藻興滯欄是勉烽旦尼章醋撼峪茵哉殖氛埂蹬托屜衙串粗傘俯髓蚜綸疲戎將兩袍怒脂杖式亡蟲薪個倔娜挑叛袖蠅駱造認斃暴豆從仍娘咕舊沃汐贊鞘嫉乓隱綴唇衡液透急湖褒米危桌靶悄再哮妥僳貧眺編莆延湘控量旺晤拜痕條喂渺膩棉靈鶴濃孿耐甜襖短烽旭灑蜘樊越挨哀瑰掇帛棱狙惦澤由常如攢斃斜科棟猛蘿嗆費坤精錨媳犢雇庚涼帝溯洋息懦斑交痕褐日快爹梯哎滇中背謬怯恃毫羌抄陽曹篙倔伊面沾渝茵寡森霞變元互革易犀把戮彈疆民忍捎駱倉匿寵刃凸瓊崔伊黎搪盔就陷斜詞媽俏轄敞案喳囚茄別贅瀕蝎粳福運稚蘭. 2007全國數(shù)學(xué)競賽練習(xí)(七). 2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題. 一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分