王少卓調(diào)研報告

1、畢業(yè)(設計)論文調(diào)研報告 學生姓名 王少卓 專業(yè)班級 R計算111 所在院系 理學院 指導教師 鄭成德 職稱 講師 所在單位 信息與計算科學教研室 完成日期 2016年4月28日推薦精選調(diào)研報告一 課題的來源及意義震蕩函數(shù)作為一大類函數(shù)，在工程領域都有重要的應用。但由于這些函數(shù)的震蕩性，使得對這類函數(shù)在某一區(qū)間上的數(shù)值積分積分變得異常困難。其主要是積分的誤差的控制問題，或是收斂性的討論。例如對于一簡單的震蕩函數(shù)f(x)=sin(1/x)，在任一包含原點附近的區(qū)間上的積分，經(jīng)典的數(shù)值積分公式例如梯形公式、辛普森法則、牛頓科茨公式等，對它的收斂性難以保證，或是誤差難以控制。這類函數(shù)的特點是函數(shù)值在

2、積分區(qū)間上急劇震蕩，無法找到一個確且的點使得這類函數(shù)的函數(shù)值在這個值附近的波動都比較小，或是這個點太難找了，或是即就是找到了，最終的誤差也難以把握，可能我的會得到一個不收斂的函數(shù)值。 因此，我們有必要對這類函數(shù)另行討論，針對其中一部分找到較好的方法。二.國內(nèi)外起源以及發(fā)展狀況 目前，對振蕩函數(shù)數(shù)值積分公式進行的研究已取得一些成果。對這一問題的解決最早要歸功于Fillon，其后在此基礎上出現(xiàn)了很多解決這一問題的方法。比如我國著名數(shù)學家徐利治先生提出了漸進展開的徐氏公式。另外還有Lobatto法和Price法等，但它們都或多或少存在一些弊端，有的方法需要計算大量的一階或高階導數(shù)，這樣會使得問題更加

3、復雜化，而且高階導數(shù)的計算會降低最終結果的精度；另外，有的需要大量復雜的計算，這就使得算法的時間效率和空間效率有所降低。因此在實際應用中，對于被積函數(shù)含有振蕩的積分以及廣義積分的計算中，需對被積函數(shù)作適當?shù)奶幚碓龠M行近似計算，才能提高計算結果的精度。三.本課題的研究目標，研究內(nèi)容，研究方法，研究手段3.1 目的與內(nèi)容 直觀上，函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上震蕩，也就是說函數(shù)沒有斷點，在這個區(qū)間上函數(shù)多次回到y(tǒng)=b這條直線上，又多次遠離y=b這條直線。但函數(shù)與y=b任意相鄰的兩交點距離不一定相同，同時函數(shù)和y=b的最遠點的縱坐標也不一定相同。即我們可以看到所謂的震蕩函數(shù)只是函數(shù)值在急劇波動，對函數(shù)本身

4、的要求較廣。如f(x)=1/x*sin(x)這類函數(shù)，或是類似于f(x)=sin(k/x2)（k不等于0）這類。如此看來，任一連續(xù)的周期函數(shù)也是震蕩函數(shù)，且任一震蕩函數(shù)可以視為振幅和周期不斷隨位置變化的周期函數(shù)。又由魏爾斯特拉斯第二逼近定理，我們知道任一區(qū)間上的周期函數(shù)可以由一個三推薦精選角多項式函數(shù)進行逼近。由此我們在此只討論三角性或是由其經(jīng)過有限次的運算構成的函數(shù)，便可以解決一大類問題了。3.2 方法與手段積分運算是微積分學的一個重要的分支。在加速度已知的情況下，積分運算用來求它的速度；或者通過速度求出位移，計算圖形面積，預測人口增長等其他許多重要的應用。在微積分課程中已經(jīng)學過許多求函數(shù)f

5、(x)的不定積分的方法（給定函數(shù)f(x)，它的不定積分是滿足條件F(x)=f(x)的函數(shù)F(x)）。在實際計算中常常遇到求定積分的問題，根據(jù)積分學的基本定理，只要求出原函數(shù)便可求出定積分的值。也學過定積分的計算方法：牛頓-萊布尼茲公式，可以利用不定積分計算定積分的值。然而有些被積函數(shù)的不定積分無法用普通的函數(shù)表示，求原函數(shù)往往是困難的，有時甚至是不可能的。當被積函數(shù)的不定積分未知時，我們就用到了數(shù)值積分方法。所以我們要討論數(shù)值積分方法，即用數(shù)值方法求積分的近似值。（1） Newton-Cotes求積公式設(a,b)為有限或無窮區(qū)間，用被積函數(shù)f(x)的以a=x0<x1<x2<

6、<xn=b為節(jié)點的n次Lagrange插值多項式及其余項代替被積函數(shù)，當求積節(jié)點為等距節(jié)點Qnf= wk(n)*fk(k=0,n) (2.1)Qnf稱為數(shù)值積分公式，其中wk(n)=lk(x)dx(ab),k=0,1,nlk(x)為n次差值基函數(shù)，x1,x2,xn稱為求積積點。 設a,b為有限區(qū)間，步長h=(b-a)/n，則相應的公式（2.1）便稱為n階Newton-Cotes求積公式。 梯形公式式建立的基礎是用線性插值多項式逼近被積函數(shù)，即當Newton-Cotes求積公式中n=1時，得 Q1f=(b-a)/2*(f(a)+f(b)稱為梯形公式。 我們可以使逼近函數(shù)的效果更好如果用二次

7、或三次插值多項式。辛普森公式建立的基礎就是這種逼近。即Newton-Cotes求積公式中當n=2時，得 Q2f= (b-a)/6*(f(a)+4*f(a+b)/2)+f(b)稱為拋物線公式，也叫Simpson公式。 (2) 復合求積公式應用高階的Newton-Cotes型求積公式計算積分會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，低階公式(如梯形和拋物線公式)又往往因積分區(qū)間步長過大使得離散誤差大。然而，若積分區(qū)間愈小，則離散誤差小。因此，為了提高求積公式的精確度，又使算法簡單易行，往往使用復化方法。即把積分區(qū)間分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上使用低階公式，然后將結果加起來，這種公式稱為復合求積公式。復合求積公式是一種

8、典型的求積方法，通過低階的求積公式構造出收斂性極好的求積方法，主要有復合梯形公式和復合推薦精選Simpson公式。 記h=(b-a)/m，xk=a+k*h，k=0,1,m。在每個小區(qū)間xk, xk+1上使用梯形求積公式，便得到復合梯形求積公式： Q1(m)f=h/2*(f0+fm+2*fk(k=1,m-1) 如將a,b區(qū)間2*m等分，記h=(b-a)/(2*m)，xk=a+k*h，k=0,1,2*m。在每個小區(qū)間x2*i, x2*i+2上使用拋物線求積公式，則得復合拋物線公式： Q2(2*m)f=h/3*(f0+4*f2*i+1(i=0,m-1)+2*f2*i(i=1,m-1)+ f2*m)四

9、.完成本論文的進度安排第1周： 搜集整理徑向基函數(shù)及其在圖像處理中的應用相關文獻資料（研究內(nèi)容，研究目的，研究方法，手段等），經(jīng)過與指導老師的討論準備論文的調(diào)研（開題）報告。第2周： 撰寫畢業(yè)論文調(diào)研報告，于周五前提交5000字的調(diào)研報告；填寫進度計劃與考核表第3周： 繼續(xù)搜集徑向基函數(shù)及在圖像處理應用的相關資料，根據(jù)指導老師布置的外文文獻開始進行翻譯，同時準備畢業(yè)論文初稿。第4周： 繼續(xù)進行翻譯外文文獻，列出畢業(yè)論文提綱，與指導老師討論后撰寫畢業(yè)論文初稿。第5周： 按照指導老師要求于周五前提交翻譯好的外文文獻，撰寫畢業(yè)論文初稿。第6周： 撰寫畢業(yè)論文初稿（第一部分）。外文翻譯評閱定稿，準備期

10、中檢查材料第7周： 整理畢業(yè)論文初稿，注意論點正確、論據(jù)充分，內(nèi)容結構安排合理，合規(guī)范性要求，并有一定的現(xiàn)實意義和創(chuàng)新性。第8周： 經(jīng)過整理，向指導教室提交畢業(yè)論文初稿。第9周： 按指導教師意見修改論文初稿。第10周：經(jīng)過修改，完成畢業(yè)論文（12000字），并打印所有論文、外文翻譯、調(diào)研報告等相關資料。第11周：周一提交畢業(yè)論文完成稿的電子稿和打印稿，準備畢業(yè)論文答辯。第12周：論文答辯。五.主要參考文獻：1 林成森.數(shù)值計算方法（上）M.北京：科學出版社，2004:173-179.2 黃明游，劉播，徐濤.數(shù)值計算方法M.北京：科學出版社，2005:125-132.推薦精選3 Micheal

11、T.Heath. Scientific Computing: An Introductory SurveyM.(2nd edition). 北京：清華大學出版社，2002:186-199.4 馬昌鳳，林偉川. 現(xiàn)代數(shù)值計算方法M. 北京：科學出版社，2008:100-120. 5 Richard L.Burden, J.Douglas Faires. Numerical AnalysisM.(7th edition).北京：高等教育出版社，2003.4:221-264. 6 李毅夫.一種新型高效的振蕩函數(shù)數(shù)值積分方法J.計算數(shù)學.1992,14（04）:506-512.7 熊華，楊國孝.一類振蕩函數(shù)的數(shù)值積分方法J.北京理工大學學報.1999, 19（03）:280-284.