王少卓調(diào)研報(bào)告

1、畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文調(diào)研報(bào)告 學(xué)生姓名 王少卓 專業(yè)班級(jí) R計(jì)算111 所在院系 理學(xué)院 指導(dǎo)教師 鄭成德 職稱 講師 所在單位 信息與計(jì)算科學(xué)教研室 完成日期 2016年4月28日推薦精選調(diào)研報(bào)告一 課題的來(lái)源及意義震蕩函數(shù)作為一大類函數(shù)，在工程領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。但由于這些函數(shù)的震蕩性，使得對(duì)這類函數(shù)在某一區(qū)間上的數(shù)值積分積分變得異常困難。其主要是積分的誤差的控制問(wèn)題，或是收斂性的討論。例如對(duì)于一簡(jiǎn)單的震蕩函數(shù)f(x)=sin(1/x)，在任一包含原點(diǎn)附近的區(qū)間上的積分，經(jīng)典的數(shù)值積分公式例如梯形公式、辛普森法則、牛頓科茨公式等，對(duì)它的收斂性難以保證，或是誤差難以控制。這類函數(shù)的特點(diǎn)是函數(shù)值在

2、積分區(qū)間上急劇震蕩，無(wú)法找到一個(gè)確且的點(diǎn)使得這類函數(shù)的函數(shù)值在這個(gè)值附近的波動(dòng)都比較小，或是這個(gè)點(diǎn)太難找了，或是即就是找到了，最終的誤差也難以把握，可能我的會(huì)得到一個(gè)不收斂的函數(shù)值。 因此，我們有必要對(duì)這類函數(shù)另行討論，針對(duì)其中一部分找到較好的方法。二.國(guó)內(nèi)外起源以及發(fā)展?fàn)顩r 目前，對(duì)振蕩函數(shù)數(shù)值積分公式進(jìn)行的研究已取得一些成果。對(duì)這一問(wèn)題的解決最早要?dú)w功于Fillon，其后在此基礎(chǔ)上出現(xiàn)了很多解決這一問(wèn)題的方法。比如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治先生提出了漸進(jìn)展開的徐氏公式。另外還有Lobatto法和Price法等，但它們都或多或少存在一些弊端，有的方法需要計(jì)算大量的一階或高階導(dǎo)數(shù)，這樣會(huì)使得問(wèn)題更加

3、復(fù)雜化，而且高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算會(huì)降低最終結(jié)果的精度；另外，有的需要大量復(fù)雜的計(jì)算，這就使得算法的時(shí)間效率和空間效率有所降低。因此在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于被積函數(shù)含有振蕩的積分以及廣義積分的計(jì)算中，需對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)奶幚碓龠M(jìn)行近似計(jì)算，才能提高計(jì)算結(jié)果的精度。三.本課題的研究目標(biāo)，研究?jī)?nèi)容，研究方法，研究手段3.1 目的與內(nèi)容 直觀上，函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上震蕩，也就是說(shuō)函數(shù)沒(méi)有斷點(diǎn)，在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)多次回到y(tǒng)=b這條直線上，又多次遠(yuǎn)離y=b這條直線。但函數(shù)與y=b任意相鄰的兩交點(diǎn)距離不一定相同，同時(shí)函數(shù)和y=b的最遠(yuǎn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)也不一定相同。即我們可以看到所謂的震蕩函數(shù)只是函數(shù)值在急劇波動(dòng)，對(duì)函數(shù)本身

4、的要求較廣。如f(x)=1/x*sin(x)這類函數(shù)，或是類似于f(x)=sin(k/x2)（k不等于0）這類。如此看來(lái)，任一連續(xù)的周期函數(shù)也是震蕩函數(shù)，且任一震蕩函數(shù)可以視為振幅和周期不斷隨位置變化的周期函數(shù)。又由魏爾斯特拉斯第二逼近定理，我們知道任一區(qū)間上的周期函數(shù)可以由一個(gè)三推薦精選角多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行逼近。由此我們?cè)诖酥挥懻撊切曰蚴怯善浣?jīng)過(guò)有限次的運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，便可以解決一大類問(wèn)題了。3.2 方法與手段積分運(yùn)算是微積分學(xué)的一個(gè)重要的分支。在加速度已知的情況下，積分運(yùn)算用來(lái)求它的速度；或者通過(guò)速度求出位移，計(jì)算圖形面積，預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)等其他許多重要的應(yīng)用。在微積分課程中已經(jīng)學(xué)過(guò)許多求函數(shù)f

5、(x)的不定積分的方法（給定函數(shù)f(x)，它的不定積分是滿足條件F(x)=f(x)的函數(shù)F(x)）。在實(shí)際計(jì)算中常常遇到求定積分的問(wèn)題，根據(jù)積分學(xué)的基本定理，只要求出原函數(shù)便可求出定積分的值。也學(xué)過(guò)定積分的計(jì)算方法：牛頓-萊布尼茲公式，可以利用不定積分計(jì)算定積分的值。然而有些被積函數(shù)的不定積分無(wú)法用普通的函數(shù)表示，求原函數(shù)往往是困難的，有時(shí)甚至是不可能的。當(dāng)被積函數(shù)的不定積分未知時(shí)，我們就用到了數(shù)值積分方法。所以我們要討論數(shù)值積分方法，即用數(shù)值方法求積分的近似值。（1） Newton-Cotes求積公式設(shè)(a,b)為有限或無(wú)窮區(qū)間，用被積函數(shù)f(x)的以a=x0<x1<x2<

6、<xn=b為節(jié)點(diǎn)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)代替被積函數(shù)，當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)Qnf= wk(n)*fk(k=0,n) (2.1)Qnf稱為數(shù)值積分公式，其中wk(n)=lk(x)dx(ab),k=0,1,nlk(x)為n次差值基函數(shù)，x1,x2,xn稱為求積積點(diǎn)。 設(shè)a,b為有限區(qū)間，步長(zhǎng)h=(b-a)/n，則相應(yīng)的公式（2.1）便稱為n階Newton-Cotes求積公式。 梯形公式式建立的基礎(chǔ)是用線性插值多項(xiàng)式逼近被積函數(shù)，即當(dāng)Newton-Cotes求積公式中n=1時(shí)，得 Q1f=(b-a)/2*(f(a)+f(b)稱為梯形公式。 我們可以使逼近函數(shù)的效果更好如果用二次

7、或三次插值多項(xiàng)式。辛普森公式建立的基礎(chǔ)就是這種逼近。即Newton-Cotes求積公式中當(dāng)n=2時(shí)，得 Q2f= (b-a)/6*(f(a)+4*f(a+b)/2)+f(b)稱為拋物線公式，也叫Simpson公式。 (2) 復(fù)合求積公式應(yīng)用高階的Newton-Cotes型求積公式計(jì)算積分會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，低階公式(如梯形和拋物線公式)又往往因積分區(qū)間步長(zhǎng)過(guò)大使得離散誤差大。然而，若積分區(qū)間愈小，則離散誤差小。因此，為了提高求積公式的精確度，又使算法簡(jiǎn)單易行，往往使用復(fù)化方法。即把積分區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上使用低階公式，然后將結(jié)果加起來(lái)，這種公式稱為復(fù)合求積公式。復(fù)合求積公式是一種

8、典型的求積方法，通過(guò)低階的求積公式構(gòu)造出收斂性極好的求積方法，主要有復(fù)合梯形公式和復(fù)合推薦精選Simpson公式。 記h=(b-a)/m，xk=a+k*h，k=0,1,m。在每個(gè)小區(qū)間xk, xk+1上使用梯形求積公式，便得到復(fù)合梯形求積公式： Q1(m)f=h/2*(f0+fm+2*fk(k=1,m-1) 如將a,b區(qū)間2*m等分，記h=(b-a)/(2*m)，xk=a+k*h，k=0,1,2*m。在每個(gè)小區(qū)間x2*i, x2*i+2上使用拋物線求積公式，則得復(fù)合拋物線公式： Q2(2*m)f=h/3*(f0+4*f2*i+1(i=0,m-1)+2*f2*i(i=1,m-1)+ f2*m)四

9、.完成本論文的進(jìn)度安排第1周： 搜集整理徑向基函數(shù)及其在圖像處理中的應(yīng)用相關(guān)文獻(xiàn)資料（研究?jī)?nèi)容，研究目的，研究方法，手段等），經(jīng)過(guò)與指導(dǎo)老師的討論準(zhǔn)備論文的調(diào)研（開題）報(bào)告。第2周： 撰寫畢業(yè)論文調(diào)研報(bào)告，于周五前提交5000字的調(diào)研報(bào)告；填寫進(jìn)度計(jì)劃與考核表第3周： 繼續(xù)搜集徑向基函數(shù)及在圖像處理應(yīng)用的相關(guān)資料，根據(jù)指導(dǎo)老師布置的外文文獻(xiàn)開始進(jìn)行翻譯，同時(shí)準(zhǔn)備畢業(yè)論文初稿。第4周： 繼續(xù)進(jìn)行翻譯外文文獻(xiàn)，列出畢業(yè)論文提綱，與指導(dǎo)老師討論后撰寫畢業(yè)論文初稿。第5周： 按照指導(dǎo)老師要求于周五前提交翻譯好的外文文獻(xiàn)，撰寫畢業(yè)論文初稿。第6周： 撰寫畢業(yè)論文初稿（第一部分）。外文翻譯評(píng)閱定稿，準(zhǔn)備期

10、中檢查材料第7周： 整理畢業(yè)論文初稿，注意論點(diǎn)正確、論據(jù)充分，內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排合理，合規(guī)范性要求，并有一定的現(xiàn)實(shí)意義和創(chuàng)新性。第8周： 經(jīng)過(guò)整理，向指導(dǎo)教室提交畢業(yè)論文初稿。第9周： 按指導(dǎo)教師意見(jiàn)修改論文初稿。第10周：經(jīng)過(guò)修改，完成畢業(yè)論文（12000字），并打印所有論文、外文翻譯、調(diào)研報(bào)告等相關(guān)資料。第11周：周一提交畢業(yè)論文完成稿的電子稿和打印稿，準(zhǔn)備畢業(yè)論文答辯。第12周：論文答辯。五.主要參考文獻(xiàn)：1 林成森.數(shù)值計(jì)算方法（上）M.北京：科學(xué)出版社，2004:173-179.2 黃明游，劉播，徐濤.數(shù)值計(jì)算方法M.北京：科學(xué)出版社，2005:125-132.推薦精選3 Micheal

11、T.Heath. Scientific Computing: An Introductory SurveyM.(2nd edition). 北京：清華大學(xué)出版社，2002:186-199.4 馬昌鳳，林偉川. 現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法M. 北京：科學(xué)出版社，2008:100-120. 5 Richard L.Burden, J.Douglas Faires. Numerical AnalysisM.(7th edition).北京：高等教育出版社，2003.4:221-264. 6 李毅夫.一種新型高效的振蕩函數(shù)數(shù)值積分方法J.計(jì)算數(shù)學(xué).1992,14（04）:506-512.7 熊華，楊國(guó)孝.一類振蕩函數(shù)的數(shù)值積分方法J.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào).1999, 19（03）:280-284.