極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo) M是平面內(nèi)的任意一點，它的:直1. 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x 系中取相同的長度單位.如圖，設(shè) 角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x, y)和(P, 0，則 0p2= x2 + y2x= pos 0y= pin 0 ' tan2.直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點M ( p,psin( 0o a . 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程(1) 直線過極點：0= a；(2) 直線過點M(a,0)且垂直于極軸：pcos 0= a;(3) 直線過點M(b, n)且平行于極軸：pin 0= b. 圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(p, 0)，半徑為r的圓的方程為 p

2、2 p pcos(0 0o) + p r2= 0.幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程(1) 圓心位于極點，半徑為r: p= r;(2) 圓心位于 M(r,0)，半徑為r: p= 2rcos 0;(3) 圓心位于M(r,，半徑為r: p= 2rsin 0. 直線的參數(shù)方程也)，且極軸到此直線的角為則它的方程為pin( 0 a)=3.4.過定點M(xo ,yo)，傾斜角為a的直線I的參數(shù)方程為x= xo + tcos a， y= yo + tsin a5.圓的參數(shù)方程圓心在點M(xo, yo),半徑為r的圓的參數(shù)方程為x= xo + rcos 0,y= yo+ rsi n 0(t為參數(shù)).(0為參數(shù)，其

3、2 n )6.圓錐曲線的參數(shù)方程x2 y2x=acos 0,(1) 橢圓-2+ y2= 1的參數(shù)方程為(0為參數(shù)).a by = bsin 0x= 2pt2(2) 拋物線y2 = 2px(p>0)的參數(shù)方程為y= 2pt真題感悟極軸為 x軸(2013 廣東)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p= 2cos 0,以極點為原點,的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為 .x= t2. （2013江西）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為2 （t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點為y= t極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，貝y曲線c的極坐標(biāo)方程為 .x= acos 63. （2013湖北）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

4、C的參數(shù)方程為（6為參數(shù)，y= bs in 6a>b>0），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點， 以x軸正半軸為極軸）中，直線I與圓O的極坐標(biāo)方程分別為 pin （9+ n = m（m 為非零常數(shù)）與p= b.若直線I經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的 離心率為.4. （2011陜西）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐x = 3+ cos 9 標(biāo)系，設(shè)點A， B分別在曲線C1:（ 9為參數(shù)）和曲線C2： p= 1y = 4 + sin 9上，則AB的最小值為.x = t + 1，5. （2012湖南）在直角坐標(biāo)系xO

5、y中，已知曲線 C1：（t為參數(shù)）與曲線y = 1 2tC2:x= asin 9,c（ 9為參數(shù)，a>0）有一個公共點在x軸上，則a =.y= 3cos 96. 2014廣東卷（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線 C1與C2的方程x = 2 +，-（t為參數(shù)）的普y= 1 + t分別為2 pcos2 9 = sin 9與qos 9= 1.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點， 極軸為x軸 的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線 C1與C2交點的直角坐標(biāo)為 .7. 2014湖南卷在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C:通方程為.nn到直線psin 9 - = 1的8. 2014陜西卷C.（坐標(biāo)系與參數(shù)方

6、程選做題）在極坐標(biāo)系中，點2，距離是.題型與方法題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化X= t,已知直線I的參數(shù)方程：(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程：P= 2 2y= 1 + 2tnsin 9+ 4 (0 為參數(shù)).(1) 將直線I的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2) 判斷直線I和圓C的位置關(guān)系.x= 2t,變式訓(xùn)練1已知直線I的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為py= 4t+ a=4 2“ nCOS 0+ 4 .(1) 將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2) 若圓上有且僅有三個點到直線I的距離為，2,求實數(shù)a的值.題型二曲線的極坐標(biāo)方程例2在直角坐標(biāo)系x

7、Oy中，以0為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為pcos 0-扌=1, M, N分別為曲線C與x軸，y軸的交點.(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求 M , N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)M , N的中點為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程.變式訓(xùn)練2 (2012遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓Ci: x2 + y2 = 4,圓C2: (x 2)2 + y2 = 4.(1)在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓Ci, C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓Ci , C2的交點坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求圓Ci與C2的公共弦的參數(shù)方程.題型三曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用例3(2012福建)在平面

8、直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系.已知直線I上兩點M , N的極坐標(biāo)分別為(2,0), 號，才，圓C的x = 2 + 2cos 0,參數(shù)方程為y .3+2sin 0（ 6為參數(shù)）-(1)設(shè)P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程;(2)判斷直線I與圓C的位置關(guān)系.變式訓(xùn)練3已知直線I的參數(shù)方程是x=丫=#+ 4 2(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方n程為 p= 2cos( 6+ 4).(1)求圓心C的直角坐標(biāo)；由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值.典例（10分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極l nX= 1 + 2CO

9、S a，坐標(biāo)系，已知點M的極坐標(biāo)為4 2,刁，曲線C的參數(shù)方程為4y=7 2sin a（a為參數(shù)）.（1）求直線0M的直角坐標(biāo)方程；求點M到曲線C上的點的距離的最小值. 規(guī)范解答X= COS a，1.已知圓C的參數(shù)方程為y= 1 + sin（a為參數(shù)），以原點為極點，X軸正半軸為a極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為標(biāo)為pin社1則直線I與圓C的交點的直角坐x = COs a,2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為y= 1 + sin a系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）曲線C2的方程為pcos 0- sin 0）+ 1 = 0，貝V C1

10、與C2的交點個數(shù)為 .X= 2 + COs 0y點P（x,y）在曲線（0為參數(shù)，0 R）上,貝時的取值范圍是 .y= sin 0xx= 1 2t,x = s,若直線l1:（t為參數(shù)）與直線l2：（s為參數(shù)）垂直，則k=y = 2+ kty= 1 2s（a為參數(shù)）.在極坐標(biāo)中,3.4.6. （2012廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci和C2的參數(shù)方程分別為x= t,y= t（t為參x=V2cos 0,數(shù)）和-（0為參數(shù)），貝y曲線Ci與C2的交點坐標(biāo)為y=V 2si n 0專題限時規(guī)范訓(xùn)練、填空題x= 2 + 2cos a1.曲線C:c .（ a為參數(shù)），若以點0（0,0）為極點，x軸正半

11、軸為極軸y= 2s in a建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是 .2.已知兩曲線參數(shù)方程分別為x=V5cos 9,x=5t2,(0< 9<n 和4(t R),它們y= sin 9.y= t的交點坐標(biāo)為x = acos 43.已知曲線C的參數(shù)方程是r- .（©為參數(shù)，a>0），直線1的參數(shù)方程是y= 3s in 4x= 3+1y=-1-1 （t為參數(shù)），曲線C與直線1有一個公共點在x軸上，則曲線C的普通方程為4. （2013重慶）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點0為極點，x軸的正半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系.x=t2，若極坐標(biāo)方程為 pos 9= 4的直線與曲線3（t為參數(shù)

12、）相交于A，B兩點,y= t則AB 二、解答題x= 1 + t，5. 設(shè)直線11的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線12的方程為y= 3x + 4，求11y= 1+ 3t與l2間的距離.x= 5cos 4）,6. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓（©為參數(shù)）的右焦點，且與直y= 3s in 4線x= 4 2t，（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程.y= 3 t7. （2012江蘇）在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點Pj2, 4，圓心為直線 pin 9 ?= -2與極軸的交點，求圓C的極坐標(biāo)方程.冗 V2x= 2cos 9,8 已知直線的極坐標(biāo)方程為psin 9+ 7 =7-,圓M的參數(shù)方程（其42

13、y= 2+ 2sin 9中9為參數(shù)），極點在直角坐標(biāo)原點，極軸與 x軸正半軸重合.（1）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;（2）求圓M上的點到直線的距離的最小值.9. 在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，已知曲線C:pin2O= 2acos 9（a>0）,已知過點 P（ 2 , 4）的直線I的參數(shù)方程為x= 2 + 2"t,直線I與曲線C分別交于M , N兩點.y= 4+-t,（1）寫出曲線C和直線I的普通方程； 若PM , MN , PN成等比數(shù)列，求a的值.10. （2013福建）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)

14、系，已知點 A的極坐標(biāo)為（2, n，直線I的極坐標(biāo)方程為 pcos（ 9-n =a，且點A在直線I上.（1）求a的值及直線I的直角坐標(biāo)方程；X= 1 + COS a,（2）圓C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)）,試判斷直線I與圓C的位置關(guān)y= sin a系.2013、2014年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編：坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、選擇題1 . （ 2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WOR版）在極坐標(biāo)系中，圓p=2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）A.=0(R)和cos=2B =2(R)和cos=2C.=i(R)和cos=1D.=0(R)和cos=1、填空題2 . （ 2013

15、年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知圓的極坐標(biāo)方程為4COS圓心為C,點P的極坐標(biāo)為 4,則| CR =.33 . （ 2013年高考上海卷（理）在極坐標(biāo)系中，曲線 COs 1與 COs 1的公共點到極點的距離為（2013年高考北京卷（理）在極坐標(biāo)系中，點（2,）到直線6p sin 9 =2的距離等于5 . （ 2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為cos4的直線與曲線t2（為參數(shù)t3相交于A, B兩點，則AB 6 . （ 2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)

16、學(xué)（理）卷（純W0R版）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題 ）x 2 cost已知曲線C的參數(shù)方程為 y 邁sint（為參數(shù)）,C在點1,1處的切線為，以坐標(biāo)原點為極點，x軸 的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則的極坐標(biāo)方程為.7 . （2013年高考陜西卷（理）C.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數(shù),x t2 (為參數(shù)),若以y t2則圓x2 y2 x 0的參數(shù)方程為 8 . （ 2013年高考江西卷（理）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題 ）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 ，則曲線c的極坐標(biāo)方程為 9 . （2013年高考湖南卷（理）在平面直

17、角坐標(biāo)系 xoy中，若t,t（t為參數(shù)）過橢圓C: a3cos2sin4（為參數(shù)）的右頂點，則常數(shù)a的值為10 .( 2013 年高考湖北（理）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為x a cosy bsin為參數(shù),b 0 .在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，半軸為極軸）中，直線與圓O的極坐標(biāo)方程分別為sinTm m為非零常數(shù)與 b .若直線經(jīng)過橢圓 C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為三、解答題11 . （ 2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)'考試新課標(biāo)II卷數(shù)學(xué)（理）（純 W0R版含答案）選修44;坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知動點P,Q都在x曲線C:y2c

18、os2sin（為參數(shù)上，對應(yīng)參數(shù)分別為2 (02 ), M為PQ的中點（I）求M的軌跡的參數(shù)方程（I）將M到坐標(biāo)原點的距離 d表示為 的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點12. （ 2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（W0R版）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sincos2 .2.（I）求G與C2交點的極坐標(biāo)（II）設(shè)P為C1的圓心，Q為G與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為.3x t ak t R為參數(shù),求a,b的值.yt3 1213. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福

19、建數(shù)學(xué)（理）試題（純WOR版）坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系.已知點A的極坐標(biāo)為（.玄_）,直4線的極坐標(biāo)方程為 cos（ -） a ,且點A在直線上.4（1）求a的值及直線的直角坐標(biāo)方程 ；x 1 cos（2）圓c的參數(shù)方程為,（為參數(shù)），試判斷直線與圓的位置關(guān)系.y sin14. （ 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純 WOR版含附加題）C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題滿分10分.x t 1在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,曲線C的參數(shù)方程為x 2 tan2 y 2ta ny 2t（ 為參數(shù)）,試求直線與曲線C的普通方程，并求出它們