人教版高中數(shù)學(xué)必修五《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》教案

1、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和教案一、教學(xué)目的1、理解等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法； 掌握等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題2、通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，提高學(xué)生的建模意識(shí)及探究問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的能力，體會(huì)公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類(lèi)討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)3、通過(guò)經(jīng)歷對(duì)公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。

2、教學(xué)關(guān)鍵：推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式的關(guān)鍵是通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)位相減求和法。應(yīng)用公式的關(guān)鍵是如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列模型，運(yùn)用公式解決問(wèn)題。三、教具、學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課件。運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，增大教學(xué)容量和直觀性，提高教學(xué)效率和質(zhì)量。四、教學(xué)方法數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然” ，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題的設(shè)置來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，在思考中體會(huì)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受

3、。本節(jié)課將采用“多媒體優(yōu)化組合激勵(lì)發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過(guò)程中的各要素，如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學(xué)氛圍。主要包括啟發(fā)式講解、互動(dòng)式討論、研究式探索、反饋式評(píng)價(jià)。五、學(xué)法指導(dǎo)“授人以魚(yú)，不如授人以漁” 。教是為了不教，教給學(xué)生好的學(xué)習(xí)方法，讓他們會(huì)學(xué)習(xí)，并善于用數(shù)學(xué)思維去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，受益終身。根據(jù)二期課改的精神，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心學(xué)科之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，變學(xué)生被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)為主動(dòng)參與式學(xué)習(xí)，不僅有利于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在課堂結(jié)構(gòu)

4、上我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知層次，設(shè)計(jì)了創(chuàng)設(shè)情景觀察歸納討論研究即時(shí)訓(xùn)練總結(jié)反思任務(wù)延續(xù)，六個(gè)層次的學(xué)法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目的。自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比猜想、合作交流。抓住學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時(shí)地給以鼓勵(lì)，使他們知難而進(jìn)；同時(shí)從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，獲得解決問(wèn)題的方法，幫助學(xué)生培養(yǎng)勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。六、教學(xué)過(guò)程1、復(fù)習(xí)回顧，引舊導(dǎo)新（ 1）等比數(shù)列 an 的定義及通項(xiàng)公式anq( n2) ， an a1q n 1

5、。an 1（ 2）等比中項(xiàng)：如果 a,b,c成等比，則 bac 。（ 3）等比數(shù)列 an 的一些結(jié)論：anam q n mpqmn時(shí)，則 a p aqam an2、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿(mǎn)足你的任何要求西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤(pán)的64 個(gè)方格上，第一格放1 粒小麥，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64 格國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚為什么呢？師：同學(xué)們，你能解釋這是為什么嗎？本節(jié)課我們研究等比數(shù)列前n 項(xiàng)和，通過(guò)學(xué)習(xí)，我們就可以很容易解釋這個(gè)問(wèn)題了。（板書(shū)課題）2.5

6、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和一般地，等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和用 sn 表示，即：sna1a2an 。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。此時(shí)我再問(wèn)：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出麥?？倲?shù)1+ 2 + 22 + 23 +263 。帶著這樣的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無(wú)用功”，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成

7、章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過(guò)彎來(lái)，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營(yíng)造知識(shí)形成過(guò)程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問(wèn)題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆。3、師生互動(dòng)，探究問(wèn)題在肯定他們的思路后， 我接著問(wèn)： 1+ 2 + 22 + 23 +263是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？探討1：設(shè)1+ 2+22+ 23+263 ，記為（ 1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2 倍）探討2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2 則有2s64 =

8、2+ 22 + 23 + 263 + 264 ，記為（ 2）式比較（ 1）(2 ）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？設(shè)計(jì)意圖：留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較， 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變 “加”為“減”，在教師看來(lái)這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來(lái)卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī)。經(jīng)過(guò)比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（ 2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到： s642641。老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀教師推導(dǎo)全過(guò)程。師：為什么（ 1）式兩邊要同乘以2 呢？生：乘以 2 后使得（ 1）式與（ 2）式出現(xiàn)相同的項(xiàng)，

9、從而可以實(shí)現(xiàn)兩式相減，消去相同的項(xiàng)。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了！讓學(xué)生在探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。4、類(lèi)比聯(lián)想，解決問(wèn)題這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列 an ，首項(xiàng)為 a1 ，公比為 q ，如何求前 n 項(xiàng)和 sn 呢？在此讓學(xué)生自主完成，并叫一名學(xué)生上黑板，然后對(duì)每個(gè)學(xué)生在自覺(jué)研究時(shí)遇到的難題進(jìn)行指導(dǎo)點(diǎn)拔。設(shè)計(jì)意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。n在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問(wèn)：由(1- q)sn = a1

10、- a1qn 得sn = a1 - a1q ，對(duì)不對(duì)呢？這里 1 - q的 q 能不能等于 1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？ q=1 時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn?（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì) q 進(jìn)行分類(lèi)討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)）a(1q n )1q1即： Sn1qna1q1再次追問(wèn)：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1 qn 1 ，如何把 sn 用 a1 、an 、q 表示出來(lái)？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）a1anq1q即： Sn1qna1q1設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)反問(wèn)精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類(lèi)比

11、和綜合的能力這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話(huà)，然而卻有畫(huà)龍點(diǎn)睛之妙用。5、討論交流，延伸拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？方法二：我們知道 ,sn = a1 +a 1q+a 1q2 +a 1qn-1 = a1 +q(a 1 +a 1q+a 1qn-2 ) 。那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出sn 呢？即：提取公比 q，有：S a a q a q2a qn 2a qn 1n11111a（qa a qa q n 2）1111a1q（Sna1qn 1）(1q)Sna1a1 q na1(1 qn )q1Sn1qna1q1aaaa方法三：根據(jù)等比數(shù)列的定

12、義又有2=3=4=n= q ，能否聯(lián)想到等比定理從123n-1aaaa而求出 sn 呢？即：利用等比定理a2a3a4anqa1a2a3a n1a 2a3anqSna1a1a2an 1Snan(1q)Sna1anqa1an q1qSn1qna1q1設(shè)計(jì)意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍 .以上兩種方法都可以化歸到sna1qsn 1 ,這其實(shí)就是關(guān)于 sn 的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用。6、例題講解，形成技能例 1、口答下列各題：(1) 求等比數(shù)列 1, 1

13、, 1, 1, 的前 10 項(xiàng)的和；248(2) 已知等比數(shù)列 an 中， a1 2 ， q 3，求 s3 ；(3) 請(qǐng)利用第 (2) 題的數(shù)據(jù)，自己編題，改求 a1 或求 q，并求解( 自己擬題能鞏固和深化所學(xué)的知識(shí))11 ( 1)10 1023生： ( 口答 ) （ 1） s1021151222(133 )（2） s32613(3) 生甲：已知： q=3， s326 求 a1 解：a1 (133 )a12 。s3326 ，1生乙：已知： a12 ， s326。求 q。解：s3 2(1q3 )26 ，q2q 12 0q 3或q=-4 。1q例 2、已知 an 為等比數(shù)列，且 sna ， s2

14、nb ， (ab 0) ，求 s3n 。師：要求 s3n ，需知 a1 ，q，而已知條件為sn 和 s2n 能否進(jìn)一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來(lái)？生甲： sna1 (1qn )a(1)1qs2 na1 (1q2 n )a1 (1qn )(1qn )b(2)1q1 q（1）式除以（ 2）式得： 1qnb ，即 qnb1(3)aaa11( b1)a12將（ 3）式代入（ 1）式得： aa，則a，1 q1q2a bs3na1 (1 q3n )a21 ( b 1)3 1 q2aba以下再化簡(jiǎn)即可師：這位同學(xué)處理問(wèn)題很巧妙他沒(méi)有分別求得a1 與 q 的值，而改為求 qn 與 a1的1 q值，這

15、樣使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單些，請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，這樣解這個(gè)題目是否有問(wèn)題呢？生乙：我認(rèn)為第（ 1）式就有問(wèn)題，他附加了條件q 1 ，而對(duì) q 1 情況沒(méi)有考慮師：對(duì)！使用等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式時(shí)， 要特別注意適用條件， 即 q 1時(shí)， sn na1 ；q 1時(shí)， sn a1 (1 qn ) a1an q 。1 q1q( 含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學(xué)生常忽略q=1 情況，要引起足夠重視，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性 )( 學(xué)生演算習(xí)題，教師投影出正確答案)解：設(shè)數(shù)列的公比為q 。若 q1 ( 此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列 ) ，則 snna 1 a，s2n2na1b ，此時(shí)， 2ab ，則 s3 nsna1 (1 qn

16、)1qs2 na1 (1q2n )1q3na13a(或 s3n3 b) 。若 q 1 ，即 2a b ，則由已知2a(1)b(2)又因?yàn)?ab0 ，所以由（ 2）式除以（ 1）式得：1q2 nb ，即 1 qnb ，所以1qnaaqn b 1(3)a將（1）式式變形后代入（ 3）式得： a1aa2，于是數(shù)列的前 3n 項(xiàng)的和1 q 1qn2ab為： s3na1(1 q3n )a2b3a2ab b2.1q1(1) xa2a ba師：( 小結(jié) ) 這節(jié)課我們從已有的知識(shí)出發(fā)，用多種方法 ( 迭加法、運(yùn)用等比性質(zhì)、錯(cuò)位相減法 ) 推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式，并在應(yīng)用中加深了對(duì)公式的認(rèn)識(shí)如已知

17、 a1，n，q，則選擇a1 (1 qn )1qSn1qna1q1已知 a1，q，an，則選擇a1an q1qSn1qna1q1對(duì)含字母的題目一般要分別考慮q=1 和 q1 兩種情況，不能附加條件，統(tǒng)一按sna1an qa1 (1 qn ) 去解題。1q1 q小結(jié)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1qn 1 和前 n 項(xiàng)和公式 sna1anqa1(1 qn ) 中，從1q1 qa1 , q, n, an , sn 這五個(gè)量中，只要知道任意三個(gè)量，均可求得其余兩個(gè)量。7、加強(qiáng)練習(xí)，深化認(rèn)識(shí)（1）求 11,21,31,41,51的前 n 項(xiàng)和2481632（2）求 1,2,3,4,5的前 n 項(xiàng)和2481

18、632（ 3）求數(shù)列 1aa 2a3an 1(a 0) 的前 n 項(xiàng)和。（ 4）畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形 ,再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2 個(gè)正方形 ,依此類(lèi)推 , 這樣一共畫(huà)了10 個(gè)正方形 ,求這 10 個(gè)正方形的面積的和。8、總結(jié)歸納，加深理解以問(wèn)題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法方面總結(jié)：(1) 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式(2) 公式的推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法(3) 求和思路構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列。通過(guò)師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，也能培養(yǎng)學(xué)生的歸納和概括能力。進(jìn)一步完成認(rèn)知目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)。設(shè)計(jì)意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。9、故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最后我們回到故事中的問(wèn)題，我們可以計(jì)算出國(guó)王獎(jiǎng)賞的小麥約為1.84 ×1019 粒，大約7000 億噸，用這么多小麥能從地球到太陽(yáng)鋪設(shè)一條寬10 米、厚 8 米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459 倍，顯然國(guó)王兌現(xiàn)不了他的承諾。設(shè)計(jì)