球面距離計(jì)算公式的推導(dǎo)及舉例教資材料

1、球面距離的計(jì)算及其計(jì)算公式 在球面上，不在同一直徑上的兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣派的長(zhǎng)度，我們把這段抓長(zhǎng)叫做球面上這兩點(diǎn)間的球面距離（也叫球面上的短程線或測(cè)地線）如圖1，a、b為球面上不在同一直徑上的兩點(diǎn)，為圓心，為過(guò)a、b的大圓，為過(guò)a、b的任一個(gè)小圓，我們把這兩個(gè)圓畫(huà)在同一個(gè)平面內(nèi)（見(jiàn)圖1）設(shè)，球半徑為，半徑為則有大圓弧長(zhǎng)，小圓弧長(zhǎng) （1）但，即 （2）將（2）代入（1）得 （3） ，由（2）式知.由于，故只需證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減即可. ,當(dāng)時(shí)，有） 在單調(diào)遞減,由（3）式不難得到，即. 故大圓劣弧最短。 球面距離公式：設(shè)一個(gè)球面的半徑為，球面上有兩點(diǎn)、.

2、 其中，為點(diǎn)的經(jīng)度數(shù)，、為點(diǎn)的緯度數(shù)，過(guò)、兩點(diǎn)的大圓劣弧所對(duì)的圓心角為，則有（弧度）a、b間的球面距離為： 證明：如圖1，與分別為過(guò)a、b的緯度圈，過(guò)a、c的大圓，過(guò)、d的大圓分別為a、b的經(jīng)度圈，而經(jīng)度圈與緯度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，連結(jié)、. 則在中，由余弦定理，得：故又，比較上述兩式，化簡(jiǎn)整理得：，從而可證得關(guān)于與的兩個(gè)式子. 計(jì)算球面距離的三種類型現(xiàn)行課本中，介紹了球面距離的概念，這方面的習(xí)題很多，同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)普遍感到困難下面給出這類習(xí)題解答的示范，以供同學(xué)們參考1位于同一緯度線上兩點(diǎn)的球面距離例1 已知，兩地都位于北緯，又分別位于東經(jīng)和，設(shè)地球半徑為，求，的球面距離分析

3、：要求兩點(diǎn)，的球面距離，過(guò)，作大圓，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵要求圓心角的大?。ㄒ?jiàn)圖1），而要求往往首先要求弦的長(zhǎng)，即要求兩點(diǎn)的球面距離，往往要先求這兩點(diǎn)的直線距離解：作出直觀圖（見(jiàn)圖2），設(shè)為球心，為北緯圈的圓心，連結(jié)，由于地軸平面與為緯度，為二面角的平面角（經(jīng)度差）中，中，由余弦定理，中，由余弦定理：，的球面距離約為2位于同一經(jīng)線上兩點(diǎn)的球面距離例2 求東經(jīng)線上，緯度分別為北緯和的兩地，的球面距離（設(shè)地球半徑為）解：經(jīng)過(guò)兩地的大圓就是已知經(jīng)線，3位于不同經(jīng)線，不同緯線上兩點(diǎn)的球面距離例3 地位于北緯，東經(jīng)，地位于北緯，東經(jīng)，求，兩地之間的球面距離（見(jiàn)圖4）解： 設(shè)為球心，分別為北緯和北緯圈的圓心，連結(jié)，中，由緯度為知，,中，,注意到與是異面直線，它們