高中理科數(shù)學(xué)空間向量方法總結(jié)家教專用

1、平面法向量與立體幾何 引言：平面的法向量在課本上有定義，考試大綱中有“理解”要求，但在課本和多數(shù)的教輔材料中都沒有提及它的應(yīng)用，其實平面的法向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一顆明珠，是解立體幾何題的銳利武器。本文介紹平面法向量的二種求法,并對平面法向量在高中立體幾何中的應(yīng)用作歸納和總結(jié)。開發(fā)平面法向量的解題功能，可以解決不少立體幾何中有關(guān)角和距離的難題，使高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準(zhǔn)確，那么每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕松。 2、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量或，或，在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量。由

2、，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。二、平面法向量的應(yīng)用1、 求空間角(1)、求線面角：如圖4-1，設(shè)是平面的法向量，ab是平面的一條斜線，則ab與平面所成的角為：例3、 在例2中，求直線與平面所成的角。解析：由例2知，即(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：（圖5-1）; (圖5-2)圖4-1bacab圖4-2c圖5-1圖5-2 兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖5-1中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖5-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“

3、外積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。例4、 在例2中，求二面角的大小。 解：由例2知，平面的法向量是，平面的法向量是，圖6nabab設(shè)二面角的大小為，則 ，得。2、 求空間距離（1）、異面直線之間距離:方法指導(dǎo)：如圖6,作直線a、b的方向向量、，abon圖 7求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；在直線a、b上各取一點a、b，作向量；求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為,其中（2）、點到平面的距離:方法指導(dǎo)：如圖7,若點b為平面外一點，點a為平面內(nèi)任一點，平面的法向量為，則點p到平面的距離

4、公式為：例5、 在例2中，求點到平面的距離。 解析：由例2的解答知，平面的單位法向量，又，設(shè)點到平面的距離為，則aab圖8。 所以，點到平面的距離為。（3）、直線與平面間的距離:方法指導(dǎo)：如圖8,直線與平面之間的距離：圖9ab，其中。是平面的法向量（4）、平面與平面間的距離:方法指導(dǎo)：如圖9,兩平行平面之間的距離：圖10a，其中。是平面、的法向量。3、 證明圖11a（1）、證明線面垂直：在圖10中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。（2）、證明線面平行：在圖11中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。圖12（

5、3）、證明面面垂直：在圖12中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）（4）、證明面面平行：在圖13中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。圖13三、利用法向量解2008年高考立體幾何試題例6、（湖南理第17題）如圖14所示，四棱錐p-abcd的底面abcd是邊長為1的菱形，bcd60°，e是cd的中點，pa底面abcd，pa2. （）證明：平面pbe平面pab;（）求平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小.圖14解：如圖所示，以a為原點，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，

6、2）,（）因為平面pab的一個法向量是，所以共線.從而be平面pab.又因為平面pbe，故平面pbe平面pab.()易知 設(shè)是平面pbe的一個法向量，則由 得：所以 設(shè)是平面pad的一個法向量，則由 得： 所以故可取 于是， 故平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小是點評：本題采用常規(guī)方法（即綜合法）求這個二面角的平面角比較困難，而用向量法只要計算不出問題，一般都能解決問題abcdea1b1c1d1yxz圖14例7、（全國卷理科第19題)如圖14，正四棱柱中，點在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小解：以為坐標(biāo)原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，（）因為，故，又，所

7、以平面（）設(shè)向量是平面的法向量，則，故，令，則， 等于二面角的平面角，所以二面角的大小為點評：本題主要考查位置關(guān)系的證明及二面角的找法和計算，同時也考查學(xué)生的空間想象能力和推理能力。例9（安徽卷理第18題）如圖16，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線ab與md所成角的大??； （）求點b到平面ocd的距離。解：作于點p,如圖16,分別以ab,ap,ao所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面ocd的法向量為,則圖16即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設(shè)點b到平面ocd的交流為,則為在向量上的投影的絕對值, 由 ,

8、得.所以點b到平面ocd的距離為點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，異面直線所成的角及點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何的能力。四、 用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）、把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回

9、到圖形問題）五、總結(jié)：以上介紹了平面的法向量及其二種求法，我們教材上只介紹了用數(shù)量積（內(nèi)積法）求法向量，而并沒有介紹用向量積（外積法）求法向量，希望大家注意靈活應(yīng)用，我們以此為工具，解決了立體幾何中的部分難題。利用平面法向量解題，方法簡便，易于操作，可以避開傳統(tǒng)幾何中的作圖、證明的麻煩，又可彌補空間想像能力的不足，發(fā)揮代數(shù)運算的長處。深入開發(fā)它的解題功能，平面法向題將在數(shù)學(xué)解題中起到越來越大的作用?？臻g向量與立體幾何一 利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點。2題型靈活多樣，難度為

10、中檔題，且?？汲Ｐ?。考向鏈接：1空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應(yīng)用。2空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。例1：（2010·安徽高考理科·18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點。 (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小?！久}立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。 【思路點撥】可以采用綜合法

11、證明，亦可采用向量法證明?！疽?guī)范解答】aefbcdhgxyz(1)(2)(3) 【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。二：利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1線線角、線面角是高考命題的重點內(nèi)容，幾乎每年都考。2在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題?？枷蜴溄樱?/p>

12、1利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則2運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進行論證、計算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。 （2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。 （3）線面角的范圍是0°90°，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負的，要取絕對值。三：利用空間

13、向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命題的重點內(nèi)容，是年年必考的知識點。2常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題?？枷蜴溄樱呵蠖娼亲畛Ｓ玫霓k法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補或相等， 【高考真題探究】 1. （2010·廣東高考理科·0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算.【思路點撥】 先算出、，再由向量的數(shù)量積列出

14、方程，從而求出【規(guī)范解答】，由得，即，解得【答案】23. （2010·陜西高考理科·8）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形pa平面abcd，ap=ab=2， bc=，e，f分別是ad,pc的中點.（）證明：pc平面bef；（）求平面bef與平面bap夾角的大小?！疽?guī)范解答】解法一 （）如圖，以a為坐標(biāo)原點，ab，ad，ap所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.ap=ab=2， bc=，四邊形abcd是矩形.a，b，c，d的坐標(biāo)為a(0,0,0),b(2,0,0),c(2, ,0)，d(0，0)，p(0,0,2)又e，f分別是ad，pc的中點，e(0，0

15、),f(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，pcbf,pcef, ,pc平面bef（ii）由（i）知平面bef的法向量平面bap 的法向量 設(shè)平面bef與平面bap的夾角為，則， 平面bef與平面bap的夾角為6. （2010·四川高考理科·18）已知正方體的棱長為1，點是棱的中點，點是對角線的中點.（）求證：為異面直線和的公垂線；（）求二面角的大小；（）求三棱錐的體積.【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.【思路點撥】方法一：幾何法 問題（），分別證明，即可. 問題（ii）首先利用三垂線定理，作出二面角的平面角， 然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題.問題（）選擇便于計算的底面和高，觀察圖形可知，和都在平面內(nèi)，且，故，利用三棱錐的體積公式很快求出.方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.【規(guī)范解答】(方法一)：（i）連結(jié).取的中點，則為的中點，連結(jié). 點是棱的中點，點是的中點， 由，得.，. .又與異面直線和都相交， 故為異面直線和的公垂線，（ii）取的中點，連結(jié)，