中考2013年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題52平面幾何的綜合

1、2013年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題52平面幾何的綜合一、選擇題1. （2012湖北鄂州3分）如圖，四邊形oabc為菱形，點(diǎn)a、b在以o為圓心的弧上，若oa=2，1=2，則扇形ode的面積為【 】a.b.c.d.【答案】a?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算。【分析】如圖，連接oboa=ob=oc=ab=bc，aob+boc=120°。又1=2，doe=120°。又oa=2，扇形ode的面積為。故選a。2. （2012湖南岳陽3分）如圖，ab為半圓o的直徑，ad、bc分別切o于a、b兩點(diǎn)，cd切o于點(diǎn)e，ad與cd相交于d，bc與cd相交于c，

2、連接od、oc，對于下列結(jié)論：od2=decd；ad+bc=cd；od=oc；s梯形abcd=cdoa；doc=90°，其中正確的是【 】a b c d【答案】a。【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)。1052629【分析】如圖，連接oe，ad與圓o相切，dc與圓o相切，bc與圓o相切，dao=deo=obc=90°，da=de，ce=cb，adbc。cd=de+ec=ad+bc。結(jié)論正確。在rtado和rtedo中，od=od，da=de，rtadortedo（hl）aod=eod。同理rtceortcbo，eoc=boc。又aod+doe+eoc+co

3、b=180°，2（doe+eoc）=180°，即doc=90°。結(jié)論正確。doc=deo=90°。又edo=odc，edoodc。，即od2=dcde。結(jié)論正確。而，結(jié)論錯誤。由od不一定等于oc，結(jié)論錯誤。正確的選項有。故選a。3. （2012四川樂山3分）如圖，在abc中，c=90°，ac=bc=4，d是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)e、f分別在ac、bc邊上運(yùn)動（點(diǎn)e不與點(diǎn)a、c重合），且保持ae=cf，連接de、df、ef在此運(yùn)動變化的過程中，有下列結(jié)論：dfe是等腰直角三角形；四邊形cedf不可能為正方形；四邊形cedf的面積隨點(diǎn)e位置的改變而發(fā)生變

4、化；點(diǎn)c到線段ef的最大距離為其中正確結(jié)論的個數(shù)是【 】a1個b2個c3個d4個【答案】b?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥窟B接cd（如圖1）。abc是等腰直角三角形，dcb=a=45°，cd=ad=db。ae=cf，adecdf（sas）。ed=df，cdf=eda。ade+edc=90°，edc+cdf=edf=90°。dfe是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)e、f分別為ac、bc中點(diǎn)時，由三角形中位線定理，de平行且等于bc。四邊形cedf是平行四邊形。又e、f分別為ac、bc中點(diǎn)，ac=bc，四邊形ced

5、f是菱形。又c=90°，四邊形cedf是正方形。故此結(jié)論錯誤。 如圖2，分別過點(diǎn)d，作dmac，dnbc，于點(diǎn)m，n， 由，知四邊形cmdn是正方形，dm=dn。 由，知dfe是等腰直角三角形，de=df。 rtadertcdf（hl）。 由割補(bǔ)法可知四邊形cedf的面積等于正方形cmdn面積。 四邊形cedf的面積不隨點(diǎn)e位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯誤。由，def是等腰直角三角形，de=ef。當(dāng)df與bc垂直，即df最小時， ef取最小值2。此時點(diǎn)c到線段ef的最大距離為。故此結(jié)論正確。故正確的有2個：。故選b。4. （2012四川廣元3分） 如圖，a，b是o上兩點(diǎn)，若四邊形

6、acbo是菱形，o的半徑為r，則點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的距離為【 】a. b. c. r d. 2r【答案】b。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，連接ab，與oc交于點(diǎn)d， 四邊形acbo為菱形，oa=ob=ac=bc，ocab。又oa=oc=ob，aoc和boc都為等邊三角形，ad=bd。在rtaod中，oa=r，aod=60°，ad=oasin60°=。ab=2ad=。故選b。5. （2012遼寧錦州3分）下列說法正確的是【 】 a.同位角相等 b.梯形對角線相等c.等腰三角形兩腰上的高相等 d.對角線相等

7、且垂直的四邊形是正方形【答案】c。【考點(diǎn)】同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì)和正方形的判定逐一作出判斷： a.兩直線平行，被第三條直線所截，同位角才相等，說法錯誤； b.等腰梯形的對角線才相等，說法錯誤； c.根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，兩腰上的高與底邊構(gòu)成的兩直角三角形全等（用aas），從而得出等腰三角形兩腰上的高相等的結(jié)論 ，說法正確； d.對角線相等且垂直的四邊形是不一定是正方形，還要對角線互相平分，說法錯誤。故選c。二、填空題1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖,在矩形abcd中，對角線ac、bd相較于o,deac于e，edceda

8、=12，且ac=10，則de的長度是 【答案】。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥克倪呅蝍bcd是矩形，adc=90°，ac=bd=10，oa=oc=ac=5，ob=od= bd=5。oc=od，odc=ocd。edc：eda=1：2，edc+eda=90°，edc=30°，eda=60°。deac，dec=90°。dce=90°edc=60°。odc=ocd=60°。cod=60°。de= od sin 60°= 。2. （2012浙江、舟山嘉

9、興5分）如圖，在rtabc中，abc=90°，ba=bc點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)，連接cd，過點(diǎn)b作bg丄cd，分別交gd、ca于點(diǎn)e、f，與過點(diǎn)a且垂直于的直線相交于點(diǎn)g，連接df給出以下四個結(jié)論：；點(diǎn)f是ge的中點(diǎn)；af=ab；sabc=5sbdf，其中正確的結(jié)論序號是 【答案】?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)。【分析】在rtabc中，abc=90°，abbc。又agab，agbc。afgcfb。ba=bc，。故正確。abc=90°，bgcd，dbe+bde=bde+bcd=90°。dbe=bcd。ab=cb，點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)

10、，bd=ab=cb。又bg丄cd，dbe=bcd。在rtabg中，。，fg=fb。故錯誤。afgcfb，af：cf=ag：bc=1：2。af=ac。ac=ab，af=ab。故正確。設(shè)bd= a，則ab=bc=2 a，bdf中bd邊上的高=。sabc=， sbdfsabc=6sbdf，故錯誤。因此，正確的結(jié)論為。3. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在直角梯形abcd中，a90°，b120°，ad，ab6在底邊ab上取點(diǎn)e，在射線dc上取點(diǎn)f，使得def120°(1)當(dāng)點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)時，線段df的長度是 ；(2)若射線ef經(jīng)過點(diǎn)c，則ae的長是 【答案】6；2

11、或5?！究键c(diǎn)】直角梯形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形?！痉治觥?1)如圖1，過e點(diǎn)作egdf，egad。e是ab的中點(diǎn)，ab6，dgae3。deg60°（由三角函數(shù)定義可得）。def120°，feg60°。tan60°，解得，gf3。egdf，degfeg，eg是df的中垂線。df2 gf6。(2)如圖2，過點(diǎn)b作bhdc，延長ab至點(diǎn)m，過點(diǎn)c作cfab于f，則bhad。abc120°，abcd，bch60°。ch，bc。設(shè)aex，則be6x，在rtade中，de，在rtefm中，ef，abcd，efdbec。defb120

12、6;，edfbce。，即，解得x2或5。4. （2012浙江寧波3分）如圖，abc中，bac=60°，abc=45°，ab=2，d是線段bc上的一個動點(diǎn)，以ad為直徑畫o分別交ab，ac于e，f，連接ef，則線段ef長度的最小值為 【答案】?！究键c(diǎn)】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段的性質(zhì)可知，當(dāng)ad為abc的邊bc上的高時，直徑ad最短，此時線段ef=2eh=20esineoh=20esin60°，當(dāng)半徑oe最短時，ef最短。如圖，連接oe，of，過o點(diǎn)作ohef，垂足為h。 在rtadb中，

13、abc=45°，ab=2，ad=bd=2，即此時圓的直徑為2。由圓周角定理可知eoh=eof=bac=60°，在rteoh中，eh=oesineoh=1×。由垂徑定理可知ef=2eh=。5. （2012湖北十堰3分）如圖，rtabc中，acb=90°，b=30°，ab=12cm，以ac為直徑的半圓o交ab于點(diǎn)d，點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)，ce交半圓o于點(diǎn)f，則圖中陰影部分的面積為 cm2【答案】?！究键c(diǎn)】含30度角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，扇形面積的計算?！?/p>

14、分析】連接od，of。rtabc中，acb=90°，b=30°，ab=12cm，ac=ab=6cm，bac=60°。e是ab的中點(diǎn)，ce=ab=ae。ace是等邊三角形。eca=60°。又oa=od，aod是等邊三角形。doa=60°。cod=120°。同理，cof=60°。doa=coe=60°。，ad=cf。與弦ad圍成的弓形的面積等于與弦cf圍成的弓形的面積相等。ac是直徑，cda=90°。又bac=60°，ac =6cm，。又ocd中cd邊上的高=,.又，。6. （2012四川宜賓3分）

15、如圖，在o中，ab是直徑，點(diǎn)d是o上一點(diǎn)，點(diǎn)c是的中點(diǎn)，弦ceab于點(diǎn)f，過點(diǎn)d的切線交ec的延長線于點(diǎn)g，連接ad，分別交cf、bc于點(diǎn)p、q，連接ac給出下列結(jié)論：bad=abc；gp=gd；點(diǎn)p是acq的外心；apad=cqcb其中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】?！究键c(diǎn)】切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，連接bd， 點(diǎn)c是的中點(diǎn)，abc =cbd，即abd=2abc。又ab為圓o的直徑，adb=90°。badabd=900，即bad2abc =900。當(dāng)abc =300時，bad=abc；當(dāng)

16、abc 300時，badabc。bad與abc不一定相等。所以結(jié)論錯誤。gd為圓o的切線，gdp=abd。又ab為圓o的直徑，adb=90°。ceab，afp=90°。adb=afp。又paf=bad， abd=apf。又apf=gpd，gdp=gpd。gp=gd。所以結(jié)論正確。直徑abce，a為的中點(diǎn)，即。又點(diǎn)c是的中點(diǎn)，。cap=acp。ap=cp。又ab為圓o的直徑，acq=90°。pcq=pqc。pc=pq。ap=pq，即p為rtacq斜邊aq的中點(diǎn)。p為rtacq的外心。所以結(jié)論正確。如圖，連接cd，b=cad。又acq=bca，acqbca。，即ac2

17、=cqcb。，acp=adc。又cap=dac，acpadc。，即ac2=apad。apad=cqcb。所以結(jié)論正確。則正確的選項序號有。7. （2012山東日照4分）如圖1，正方形ocde的邊長為1，陰影部分的面積記作s1；如圖2，最大圓半徑r=1，陰影部分的面積記作s2，則s1 s2（用“>”、“<”或“=”填空）.【答案】?！究键c(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)，正方形和圓的性質(zhì)，勾股定理，實(shí)數(shù)的大小比較，【分析】結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)：圖1陰影部分的面積等于等于矩形acdf的面積，圖2每個陰影部分正好是它所在的圓的四分之一，則陰影部分的面積大圓面積的四分之一。計算出結(jié)果后再比較s1與s2的大小即可：正

18、方形ocde的邊長為1，根據(jù)勾股定理得od=， ao=。ac=aoco= 1。大圓面積=r2=。 ，s1s2。三、解答題1. （2012北京市5分）已知：如圖，ab是o的直徑，c是o上一點(diǎn)，odbc于點(diǎn)d，過點(diǎn)c作o的切線，交od 的延長線于點(diǎn)e，連結(jié)be（1）求證：be與o相切；（2）連結(jié)ad并延長交be于點(diǎn)f，若ob=9，求bf的長【答案】證明：（1）連接oc，odbc，oc=ob，cd=bd（垂徑定理）。cdobdo（hl）。cod=bod。在oce和obe中，oc=ob，coe=boe，oe=oe，oceobe（sas）。obe=oce=90°，即obbe。be與o相切。（2

19、）過點(diǎn)d作dhab，odbc，odhobd，。又 ，ob=9，od=6。oh=4，hb=5，dh=2。又adhafb，即，解得fb=。【考點(diǎn)】垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）連接oc，先證明oceobe，得出ebob，從而可證得結(jié)論。（2）過點(diǎn)d作dhab，根據(jù) ，可求出od=6，oh=4，hb=5，然后由adhafb，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出bf的長。2. （2012陜西省12分）如圖，正三角形abc的邊長為（1）如圖，正方形efpn的頂點(diǎn)e、f在邊ab上，頂點(diǎn)n在邊ac上在正三角形abc及其內(nèi)部，以a

20、為位似中心，作正方形efpn的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形的邊長；（3）如圖，在正三角形abc中放入正方形demn和正方形efph，使得d、ef在邊ab上，點(diǎn)p、n分別在邊cb、ca上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由【答案】解：（1）如圖，正方形即為所求。 （2）設(shè)正方形的邊長為x abc為正三角形，。，即。 （3）如圖，連接ne，ep，pn，則。 設(shè)正方形demn和正方形efph的邊長分別為m、n（mn），它們的面積和為s，則，。 . 。 延長ph交nd于點(diǎn)g，則pgnd。 在中，。 ，即. 。 當(dāng)時，即時，s最小。 。 當(dāng)

21、最大時，s最大，即當(dāng)m最大且n最小時，s最大。 ，由（2）知，。 ?！究键c(diǎn)】位似變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)。【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形efpn的位似正方形efpn，如答圖所示。（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式ef+ae+bf=ab，列方程求得正方形efpn的邊長 （3）設(shè)正方形demn、正方形efph的邊長分別為m、n（mn），求得面積和的表達(dá)式為：，可見s的大小只與m、n的差有關(guān)：當(dāng)m=n時，s取得最小值；當(dāng)m最大而n最小時，s取得最大值m最大n最小的情形見第（1）（2）問。3. （2012廣東肇慶8分） 如圖，四

22、邊形abcd是矩形，對角線ac、bd相交于點(diǎn)o，beac交dc的延長線于點(diǎn)e.（1）求證：bd=be；（2）若Ðdbc=30°，bo=4，求四邊形abed的面積.【答案】（1）證明：四邊形abcd是矩形，ac=bd，abcd，beac，四邊形abec是平行四邊形。ac=be。bd=be。（2）解：在矩形abcd中，bo=4，bd=2bo=2×4=8。dbc=30°，cd=bd=×8=4，bc=bd·cosdbc=8×。bd=be，bcde，ce=cd=4，de=8四邊形abed的面積=（ab+de）·bc=

23、5;（4+8）×?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)矩形的對角線相等可得ac=bd，然后證明四邊形abec是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得ac=be，從而得證。（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分求出bd的長度，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出cd的長度，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出bc的長（或用勾股定理求），并根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出de的長，最后利用梯形的面積公式列式計算即可得解。4. （2012廣東梅州8分）如圖，ac是o的直徑，弦bd交ac于點(diǎn)e（1）求證：adebc

24、e；（2）如果ad2=aeac，求證：cd=cb【答案】證明：（1）a與b都是弧所對的圓周角， a=b， 又aed =bec，adebce。（2）ad2=aeac，。又a=a，adeacd。aed=adc。又ac是o的直徑，adc=90°。aed=90°。直徑acbd，cd=cb?！究键c(diǎn)】圓周角定理，對頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)。【分析】（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得a=b，又由對頂角相等，可證得：adebce。（2）由ad2=aeac，可得，又由a是公共角，可證得adeacd，又由ac是o的直徑，可求得acbd

25、，由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可證得cd=cb。5. （2012廣東肇慶10分）如圖，在abc中，ab=ac，以ab為直徑的o交ac于點(diǎn)e，交bc于點(diǎn)d，連結(jié)be、ad交于點(diǎn)p. 求證：（1）d是bc的中點(diǎn)；（2）bec adc；（3）ab× ce=2dp×ad【答案】證明：（1）ab是o的直徑，adb=90°，即adbc。ab=ac，d是bc的中點(diǎn)。（2）ab是o的直徑，aeb=adb=90°，即ceb=cda=90°，c是公共角，becadc。（3）becadc，cbe=cad。ab=ac，ad=cd，bad=cad。ba

26、d=cbe。adb=bec=90°，abdbce。bc=2bd，即。bdp=bec=90°，pbd=cbe，bpdbce。，即abce=2dpad?！究键c(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由ab是o的直徑，可得adbc，又由ab=ac，由三線合一，即可證得d是bc的中點(diǎn)。（2）由ab是o的直徑，aeb=adb=90°，又由c是公共角，即可證得becadc。（3）易證得abdbce與bpdbce，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與bc=2bd，即可證得abce=2dpad。6. （2012浙江臺州12分）已知，如圖1，abc中，ba=

27、bc，d是平面內(nèi)不與a、b、c重合的任意一點(diǎn)，abc=dbe，bd=be（1）求證：abdcbe；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)d是abc的外接圓圓心時，請判斷四邊形bdce的形狀，并證明你的結(jié)論7. （2012浙江杭州12分）如圖，ae切o于點(diǎn)e，at交o于點(diǎn)m，n，線段oe交at于點(diǎn)c，obat于點(diǎn)b，已知eat=30°，ae=3，mn=2（1）求cob的度數(shù)；（2）求o的半徑r；（3）點(diǎn)f在o上（是劣弧），且ef=5，把obc經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點(diǎn)分別與點(diǎn)e，f重合在ef的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點(diǎn)在o上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，

28、并求出這個三角形與obc的周長之比【答案】解：（1）ae切o于點(diǎn)e，aece。又obat，aec=cbo=90°，又bco=ace，aecobc。又a=30°，cob=a=30°。（2）ae=3，a=30°，在rtaec中，tana=tan30°=，即ec=aetan30°=3。obmn，b為mn的中點(diǎn)。又mn=2，mb=mn=。連接om，在mob中，om=r，mb=，。在cob中，boc=30°，cosboc=cos30°=，bo=oc。 又oc+ec=om=r，。整理得：r2+18r115=0，即（r+23）（

29、r5）=0，解得：r=23（舍去）或r=5。r=5。（3）在ef同一側(cè)，cob經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有6個，如圖，每小圖2個，頂點(diǎn)在圓上的三角形，如圖所示：延長eo交圓o于點(diǎn)d，連接df，如圖所示，fde即為所求。ef=5，直徑ed=10，可得出fde=30°，fd=5。則cefd=5+10+5=15+5，由（2）可得ccob=3+，cefd：ccob=（15+5）：（3+）=5：1?！究键c(diǎn)】切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）由ae與圓o相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到ae

30、ce，又obat，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出aecobc，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出所求的角與a相等，由a的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。（2）在rtaec中，由ae及tana的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出ce的長，再由obmn，根據(jù)垂徑定理得到b為mn的中點(diǎn)，根據(jù)mn的長求出mb的長，在rtobm中，由半徑om=r，及mb的長，利用勾股定理表示出ob的長，在rtobc中，由表示出ob及cos30°的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出oc，用oeoc=ec列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到半徑r的值。（3）把obc經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變

31、換后，使它的兩個頂點(diǎn)分別與點(diǎn)e，f重合在ef的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個。頂點(diǎn)在圓上的三角形，延長eo與圓交于點(diǎn)d，連接df，fde即為所求。根據(jù)ed為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到fde為直角三角形，由fde為30°，利用銳角三角函數(shù)定義求出df的長，表示出efd的周長，再由（2）求出的obc的三邊表示出boc的周長，即可求出兩三角形的周長之比。8. （2012浙江湖州10分）已知，如圖，在梯形abcd中，adbc，da=dc，以點(diǎn)d為圓心，da長為半徑的d與ab相切于a，與bc交于點(diǎn)f，過點(diǎn)d作debc，垂足為e（1）求證：四邊形abed為矩形；（2）若ab=4， ，求

32、cf的長【答案】（1）證明：d與ab相切于點(diǎn)a，abad。adbc，debc，dead。dab=ade=deb=90°。四邊形abed為矩形。（2）解：四邊形abed為矩形，de=ab=4。dc=da，點(diǎn)c在d上。d為圓心，debc，cf=2ec。，設(shè)ad=3k（k0）則bc=4k。be=3k，ec=bcbe=4k3k=k，dc=ad=3k。由勾股定理得de2ec2=dc2，即42k2=（3k）2，k2=2。k0，k=。cf=2ec=2。【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法，垂徑定理?！痉治觥浚?）根據(jù)adbc和ab切圓d于a，求出dab=ade=deb=90&

33、#176;，即可推出結(jié)論。（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出ad=be=ab=de=4，根據(jù)垂徑定理求出cf=2ce，設(shè)ad=3k，則bc=4k，be=3k，ec=k，dc=ad=3k，在dec中由勾股定理得出一個關(guān)于k的方程，求出k的值，即可求出答案。9. （2012江蘇南京8分）如圖，在直角三角形abc中，abc=90°，點(diǎn)d在bc的延長線上，且bd=ab，過b作beac，與bd的垂線de交于點(diǎn)e，（1）求證：abcbde（2）三角形bde可由三角形abc旋轉(zhuǎn)得到，利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心o（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）證明：在rtabc中，abc=90°，abe+dbe=

34、90°。beac，abe+a=90°。a=dbe。de是bd的垂線，d=90°。在abc和bde中， a=dbe ，ab=db ，abc=d，abcbde（asa）。（2）如圖，點(diǎn)o就是所求的旋轉(zhuǎn)中心?！究键c(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定，作圖（旋轉(zhuǎn)變換），線段垂直平分線的性質(zhì)?！痉治觥浚?）利用已知得出a=dbe，從而利用asa得出abcbde即可。（2）利用垂直平分線的性質(zhì)可以作出，或者利用正方形性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心也可。10. （2012江蘇揚(yáng)州10分）如圖，在四邊形abcd中，abbc，abccda90°，bead，垂足為e求證：bede【答案

35、】證明：作cfbe，垂足為f，bead，aeb90°。feddcfe90°，cbeabe90°，baeabe90°。baecbf。四邊形efcd為矩形。decf。在bae和cbf中，cbebae，bfcbea90°，abbc，baecbf（aas）。becf。又cfde，bede?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥孔鱟fbe，垂足為f，得出矩形cfed，求出cbfa，根據(jù)aas證baecbf，推出becf即可。11. （2012廣東河源7分）如圖，ac是o的直徑，弦bd交ac于點(diǎn)e(1)求證：adebce；(2)若ad2

36、ac·ae，求證：bccd【答案】證明：（1）a與b都是弧所對的圓周角， a=b， 又aed =bec，adebce。（2）ad2=aeac，。又a=a，adeacd。aed=adc。又ac是o的直徑，adc=90°。aed=90°。直徑acbd，cd=cb?！究键c(diǎn)】圓周角定理，對頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得a=b，又由對頂角相等，可證得：adebce。（2）由ad2=aeac，可得，又由a是公共角，可證得adeacd，又由ac是o的直徑，可求得acbd，由線段垂直

37、平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可證得cd=cb。12. （2012湖北隨州10分）如圖，已知直角梯形abcd ,b=900。,adbc,并且ad+bc=cd,o為ab的中點(diǎn). (1)求證：以ab為直徑的o與斜腰c(diǎn)d相切； (2)若oc=8 cm，od=6 cm,求cd的長.【答案】解：（1）在cd上取中點(diǎn)f，連接of， o為ab的中點(diǎn)，由梯形中位線可知of=(ad+bc)，ofadbc。 又ad+bc=cd，of=cd=cf。foc=fco。 又由ofbc得foc=ocb，ocf=ocb。在cd上取點(diǎn)e，使de=da，則ce=cb。在obc和oec中，ce=cb，ocb=oce，oc=o

38、c，obcoec（sas）。b=oec，oe=od。b=900, oec=90°。oecd。又o為ab的中點(diǎn)，oe=od=oa為o的半徑。以ab為直徑的o與cd相切于e。（2）由（1）知，of=cf=df，o點(diǎn)在以cd為直徑的f上。 cod=90°。在rtcod中，od=6cm，oc=8cm，根據(jù)勾股定理得：?！究键c(diǎn)】直角梯形的性質(zhì)，梯形中位線定理，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理?！痉治觥浚?）在cd上取中點(diǎn)f，連接of，由已知，根據(jù)梯形中位線定理和平行的性質(zhì)，可由sas得出obcoec，從而由b=900，證得oecd。由oe=o

39、d=oa為o的半徑得出以ab為直徑的o與cd相切于e。（2）由（1）可知o點(diǎn)在以cd為直徑的f上，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到doc為直角，在直角三角形cod中，由od與oc的長，利用勾股定理即可求出cd的長。 13. （2012湖北武漢8分）在銳角abc中，bc5，sina(1)如圖1，求abc外接圓的直徑；(2)如圖2，點(diǎn)i為abc的內(nèi)心，bab c，求ai的長?！敬鸢浮拷猓海?）作abc的外接圓的直徑cd，連接bd。 則cbd=900，d=a。 。 bc5，。 abc外接圓的直徑為。 （2）連接bi并延長交ac于點(diǎn)h，作ieab于點(diǎn)e。 ba=bc，bhac。ih=ie。 在rtabh

40、中，bh=ab·sinbdh=4，。 ， ，即。 ih=ie，。 在rtaih中，?！究键c(diǎn)】三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）作abc的外接圓的直徑cd，連接bd，由直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)得cbd=900，由同圓中同弧所對圓周角相等得d=a，從而由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得abc外接圓的直徑。 （2）連接bi并延長交ac于點(diǎn)h，作ieab于點(diǎn)e，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)和角平分線的判定和性質(zhì)，知ih=ie。在rtabh中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求出bh=4和ah=3，從而由求得。在r

41、taih中，應(yīng)用勾股定理求得ai的長。14. （2012湖北荊門10分）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在u型槽上的橫截面圖已知圖中abcd為等腰梯形（abdc），支點(diǎn)a與b相距8m，罐底最低點(diǎn)到地面cd距離為1m設(shè)油罐橫截面圓心為o，半徑為5m，d=56°，求：u型槽的橫截面（陰影部分）的面積（參考數(shù)據(jù)：sin53°0.8，tan56°1.5，3，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】解：如圖，連接ao、bo過點(diǎn)a作aedc于點(diǎn)e，過點(diǎn)o作ondc于點(diǎn)n，on交o于點(diǎn)m，交ab于點(diǎn)f則ofaboa=ob=5m，ab=8m，af=bf=ab=4（m），aob=2aof，在rtaof

42、中，aof=53°，aob=106°。（m），由題意得：mn=1m，fn=omof+mn=3（m）。四邊形abcd是等腰梯形，aedc，fnab，ae=fn=3m，dc=ab+2de。在rtade中，de=2m，dc=12m。（m2）。答：u型槽的橫截面積約為20m2?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。【分析】連接ao、bo過點(diǎn)a作aedc于點(diǎn)e，過點(diǎn)o作ondc于點(diǎn)n，on交o于點(diǎn)m，交ab于點(diǎn)f，則ofab。根據(jù)垂徑定理求出af，再在rtaof中利用銳角三角函數(shù)的定義求出aob，由勾股定理求出of，根據(jù)四邊形abcd是等腰

43、梯形求出ae的長，再由即可得出結(jié)果。15. （2012湖北宜昌8分）如圖，abc和abd都是o的內(nèi)接三角形，圓心o在邊ab上，邊ad分別與bc，oc交于e，f兩點(diǎn)，點(diǎn)c為的中點(diǎn)（1）求證：ofbd；（2）若，且o的半徑r=6cm 求證：點(diǎn)f為線段oc的中點(diǎn)； 求圖中陰影部分（弓形）的面積【答案】（1）證明：oc為半徑，點(diǎn)c為的中點(diǎn)，ocad。ab為直徑，bda=90°，bdad。ofbd。（2）證明：點(diǎn)o為ab的中點(diǎn)，點(diǎn)f為ad的中點(diǎn)，of=bd。fcbd，fce=dbe。fec=deb，ecfebd，fc=bd。fc=fo，即點(diǎn)f為線段oc的中點(diǎn)。解：fc=fo，ocad，ac=a

44、o，又ao=co，aoc為等邊三角形。根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，得aoc的高為。（cm2）。答：圖中陰影部分（弓形）的面積為cm2?！究键c(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算?！痉治觥浚?）由垂徑定理可知ocad，由圓周角定理可知bdad，從而證明ofbd。 （2）由ofbd可證ecfebd，利用相似比證明bd=2cf，再證of為abd的中位線，得出bd=2of，即cf=of，證明點(diǎn)f為線段oc的中點(diǎn)；根據(jù)s陰=s扇形aocsaoc，求面積。16. （2012湖北黃岡8分）如圖，在abc 中，ba=bc，以

45、ab 為直徑作半圓o，交ac 于點(diǎn)d.連結(jié)db，過點(diǎn)d 作debc，垂足為點(diǎn)e.（1）求證：de 為o 的切線；（2）求證：db2=ab·be.【答案】證明：（1）連接od、bd，則adb=90°（圓周角定理），ba=bc，cd=ad（三線合一）。又ao=bo，od是abc的中位線。odbc。deb=90°，ode=90°，即odde。de為o的切線。（2）bed=bdc =900，ebd=dbc，bedbdc，。又ab=bc，。bd2=abbe。【考點(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?/p>

46、（1）連接od、bd，根據(jù)圓周角定理可得adb=90°，從而得出點(diǎn)d是ac中點(diǎn)，判斷出od是abc的中位線，利用中位線的性質(zhì)得出ode=90°，這樣可判斷出結(jié)論。（2）根據(jù)題意可判斷bedbdc，從而可得bd2=bcbe，將bc替換成ab即可得出結(jié)論。17. （2012湖北鄂州10分）如圖，梯形abcd是等腰梯形，且adbc，o是腰c(diǎn)d的中點(diǎn)，以cd長為直徑作圓，交bc于e，過e作ehab于h。 （1）求證：oeab; （2）若ehcd，求證：ab是o的切線； （3）若be=4bh，求的值。【答案】解：（1）證明：在等腰梯形abcd中，ab=dc，b=c。oe=oc，oec

47、=c，b=oec。oeab。（2）證明：過點(diǎn)o作ofab于點(diǎn)f，過點(diǎn)o作ogbc交ab于點(diǎn)g。ab=dc，b=c。oc=oe，oec=c。oec=b。oegb。又ehab，fohe。四邊形oehf是平行四邊形。of=eh。又eh=cd，of=cd，即of是o的半徑。ab是o的切線。（3）連接de。cd是直徑，dec=90°。dec=ehb。又b=c，ehbdec。be=4bh，設(shè)bh=k，則be=4k，cd=2eh=2。【考點(diǎn)】等腰梯形（三角形）的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）判斷出b=oec，根據(jù)同位角

48、相等得出oeab。（2）過點(diǎn)o作ofab于點(diǎn)f，過點(diǎn)o作ogbc交ab于點(diǎn)g，證明of是o的半徑即可。（3）求出ehbdec，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答。 18. （2012湖南長沙8分）如圖，a，p，b，c是半徑為8的o上的四點(diǎn)，且滿足bac=apc=60°，（1）求證：abc是等邊三角形；（2）求圓心o到bc的距離od19. （2012湖南懷化10分）如圖，已知ab是o的弦，ob=4，點(diǎn)c是弦ab上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)a、b重合），連接co并延長co交o于點(diǎn)d，連接ad、db.（1）當(dāng)=時，求的度數(shù)；（2）若ac=，求證acdocb.【答案】解：（1）連接oa，oa=ob=o

49、d，=，oab=obc=30°，oad=adc=18°。dab=daobao=48°。由圓周角定理得：dob=2dab=96°。（2）證明：過o作oeab于e，由垂徑定理得：ae=be。在rtoeb中，ob=4，obc=30°，oe=ob=2。由勾股定理得：be=ae，即ab=2ae=。ac=，bc=，即c、e兩點(diǎn)重合。dcab。dca=ocb=90°。dc=odoc=24=6，oc=2，ac=bc=。acdocb（兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似）?！究键c(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定。

50、【分析】（1）連接oa，根據(jù)oa=ob=od，求出dao、oab的度數(shù)，求出dab，根據(jù)圓周角定理求出即可。（2）過o作oeab于e，根據(jù)垂徑定理求出ae和be，求出ab，推出c、e重合，得出acd=ocb=90°，求出dc長得出 ，根據(jù)相似三角形的判定推出即可。20. （2012湖南衡陽8分）如圖，ab是o的直徑，動弦cd垂直ab于點(diǎn)e，過點(diǎn)b作直線bfcd交ad的延長線于點(diǎn)f，若ab=10cm（1）求證：bf是o的切線（2）若ad=8cm，求be的長（3）若四邊形cbfd為平行四邊形，則四邊形acbd為何種四邊形？并說明理由【答案】解：（1）證明：cdab，bfcd，bfab。又

51、ab是o的直徑，bf是o的切線。 （2）如圖1，連接bd。ab是o的直徑，adb=90°（直徑所對的圓周角是直角）。又deab，adeabd。ad2=aeab。ad=8cm，ab=10cm，ae=6.4cm。be=abae=3.6cm。（3）若四邊形cbfd為平行四邊形，則四邊形acbd是正方形。理由如下：連接bc。四邊形cbfd為平行四邊形，bcfd，即bcad。bcd=adc（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。bcd=bad，cab=cdb，（同弧所對的圓周角相等），cab+bad=cdb+adc，即cad=bda，又bda=90°（直徑所對的圓周角是直角），cad=bda=90°。cd是o的直徑，即點(diǎn)e與點(diǎn)o重合（或線段cd過圓心o）。在obc和oda中，oc=od，cob=doa=90°，ob=oa，obcoda（sas）。bc=da（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。四邊形acbd是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），acb=90°（直徑所對的圓周角是直角），ac=ad，四邊形acbd是正方形?！究键c(diǎn)】平行的判定，切線的判定，圓周角定理，相似和全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性