2011年高考湖南卷理科數(shù)學試題及答案word版解析版

1、歡迎登錄2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁，時量120分鐘，滿分150分。參考公式：（1），其中為兩個事件，且， （2）柱體體積公式，其中為底面面積，為高。 （3）球的體積公式，其中為求的半徑。一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的。1.若，為虛數(shù)單位，且，則（ ）a b c d 答案：d解析：332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1因，根據(jù)復數(shù)相等的條件可知。2.設，則“”是“”則（ ）a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充分必要條件 d既不充分又不必要條件 答案：

2、a解析：因“”，即，滿足“”，反之“”，則，或，不一定有“”。3.設圖一是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）a b c d 答案：b解析：有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構成的組合體，其體積。4.通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結論是（ ）a在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”b在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”c有以上的把握認為“愛好該項運

3、動與性別有關”d有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關” 答案：c解析：由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選c.5.設雙曲線的漸近線方程為，則的值為（ ）a4 b3 c2 d1答案：c解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。6. 由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ）a b1 c d答案：d解析：由定積分知識可得，故選d。7. 設，在約束條件下，目標函數(shù)的最大值小于2，則的取值范圍為（ ）a b c d答案：a解析：畫出可行域，可知在點取最大值，由解得。8.設直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為（ ）a1 b c d答案：d解析：由題，不妨令，則，令解得，因時，當時，所以當

4、時，達到最小。即。 二填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應題號的橫線上。一、選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9.在直角坐標系中，曲線c1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點o為極點，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為，則與的交點個數(shù)為 。 答案：2解析：曲線，由圓心到直線的距離，故與的交點個數(shù)為2.10.設,則的最小值為 。答案：9解析：由柯西不等式可知。11.如圖2，是半圓周上的兩個三等分點，直徑，,垂足為d, 與相交與點f，則的長為 。答案：解析：由題可知，,得

5、,，又，所以.二、必做題（1216題）12、設是等差數(shù)列的前項和，且，則答案：25解析：由可得，所以。13、若執(zhí)行如圖3所示的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于 。答案：解析：由框圖的算法功能可知，輸出的數(shù)為三個數(shù)的方差，則。14、在邊長為1的正三角形中，設，則。答案：解析：由題，所以。15、如圖4， 是以為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用a表示事件“豆子落在正方形內(nèi)”，b表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內(nèi)”，則（1）；（2）答案：（1）；（2）解析：（1）由幾何概型概率計算公式可得；（2）由條件概率的計算公式可得。16、對于，將表示為，當時，當時，為0或1.記為上述表

6、示中為0的個數(shù)，（例如，：故）則（1） （2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2進制的位數(shù)中，沒有0的有1個，有1個0的有個，有2個0的有個，有個0的有個，有個0的有個。故對所有2進制為位數(shù)的數(shù)，在所求式中的的和為：。又恰為2進制的最大7位數(shù)，所以。三解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且滿足.（i）求角的大??；（ii）求的最大值，并求取得最大值時角的大小解析：（i）由正弦定理得因為所以（ii）由（i）知于是 取最大值2綜上所述，的最大值為2，此時18. 某商店試銷某種商品20天，獲得如下

7、數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。(）求當天商品不進貨的概率；（）記x為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求x的分布列和數(shù)學期望。解析：（i）p（“當天商店不進貨”）=p（“當天商品銷售量為0件”）+p（“當天商品銷售量1件”）=。（ii）由題意知，的可能取值為2，3.；故的分布列為23的數(shù)學期望為。19.（本題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知的直徑的中點（i）證明：（ii）求二面角的余弦值解：（i）連接，因為,為的中

8、點，所以.又因為內(nèi)的兩條相交直線，所以而，所以。（ii）在平面中，過作于，由（i）知，,所以又所以.在平面中，過作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值為。20. 如圖6，長方形物體e在雨中沿面p（面積為s）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿e移動方向的分速度為。e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）p或p的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與×s成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為e移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積s=時。（）寫出的表達式（）設0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度

9、，使總淋雨量最少。解析：（i）由題意知，e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為，故.（ii）由(i)知，當時，當時，故。(1)當時，是關于的減函數(shù).故當時，。(2) 當時，在上，是關于的減函數(shù)；在上，是關于的增函數(shù)；故當時，。a. (本小題滿分13分） 如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長等于的長半軸長。（）求，的方程；（）設與軸的交點為m，過坐標原點o的直線與相交于點a,b,直線ma,mb分別與相交與d,e.（i）證明：；(ii)記mab,mde的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請說明理由。解析：（i）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（ii）（i）由題意知，直線的斜率存在，

10、設為，則直線的方程為.由得，設，則是上述方程的兩個實根，于是。又點的坐標為，所以故，即。（ii）設直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的坐標為又直線的斜率為 ，同理可得點b的坐標為.于是由得，解得或，則點的坐標為；又直線的斜率為，同理可得點的坐標于是因此由題意知，解得 或。又由點的坐標可知，所以故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。22.（本小題滿分13分） 已知函數(shù)() =，g ()=+。 （）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù)，并說明理由； （）設數(shù)列滿足，證明：存在常數(shù)m,使得對于任意的，都有 .解析：（i）由知，而，且，則為的一個零點，且在內(nèi)有零點，因此至少有兩個零點解法1：，記，則。當時，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。又因為，則在內(nèi)有零點，所以在內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為，則當時，；當時，；所以，當時，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點；當時，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點；從而在內(nèi)至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。解法2：，記，則。當時，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。因此在內(nèi)也至多只有一個零點，綜上所述，有且只有兩個零點。（ii）記的正零點為，即。（1）當時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數(shù)