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1、 第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定下列求積公式中的特定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度:解:求解求積公式的代數(shù)精度時,應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義,即求積公式對于次數(shù)不超過m的多項式均能準(zhǔn)確地成立,但對于m+1次多項式就不準(zhǔn)確成立,進行驗證性求解。(1)若令,則令,則令,則從而解得令,則故成立。令,則故此時,故具有3次代數(shù)精度。(2)若令,則令,則令,則從而解得令,則故成立。令,則故此時,因此,具有3次代數(shù)精度。(3)若令,則令,則令,則從而解得或令,則故不成立。因此,原求積公式具有2次代數(shù)精度。(4)若令,則令,則令,則故有令,則令,則故此時,因此,具有3次代數(shù)精
2、度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分:解:復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為3。直接驗證柯特斯教材公式(2。4)具有5交代數(shù)精度。證明:柯特斯公式為令,則令,則令,則令,則令,則令,則令,則因此,該柯特斯公式具有5次代數(shù)精度。4。用辛普森公式求積分并估計誤差。解:辛普森公式為此時,從而有誤差為5。推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:證明:兩邊同時在上積分,得即兩邊同時在上積分,得即兩連邊同時在上積分,得即6。若用復(fù)化梯形公式計算積分,問區(qū)間應(yīng)人多少等分才能使截斷誤差不超過?若改用復(fù)化辛普森公式,要達到同樣精度
3、區(qū)間應(yīng)分多少等分?解:采用復(fù)化梯形公式時,余項為又故若,則當(dāng)對區(qū)間進行等分時,故有因此,將區(qū)間213等分時可以滿足誤差要求采用復(fù)化辛普森公式時,余項為又若,則當(dāng)對區(qū)間進行等分時故有因此,將區(qū)間8等分時可以滿足誤差要求。7。如果,證明用梯形公式計算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大,并說明其幾何意義。解:采用梯形公式計算積分時,余項為又且又即計算值比準(zhǔn)確值大。其幾何意義為,為下凸函數(shù),梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計算下列積分,使誤差不超過.解:00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327
4、260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒讓德公式計算積分解:令,則用的高斯勒讓德公式計
5、算積分用的高斯勒讓德公式計算積分10 地球衛(wèi)星軌道是一個橢圓,橢圓周長的計算公式是這是是橢圓的半徑軸,c是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記h為近地點距離,h為遠地點距離,r=6371(km)為地球半徑,則我國第一顆地球衛(wèi)星近地點距離h=439(km),遠地點距離h=2384(km)。試求衛(wèi)星軌道的周長。解:從而有。01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造衛(wèi)星軌道的周長為48708km11。證明等式 試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值。解 若又此函數(shù)的泰勒展式為當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 由外推法可得n32.59807663.
6、0000003.13397593.1058293.1411053.141580故12。用下列方法計算積分,并比較結(jié)果。(1)龍貝格方法;(2)三點及五點高斯公式;(3)將積分區(qū)間分為四等分,用復(fù)化兩點高斯公式。解(1)采用龍貝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式時此時令則利用三點高斯公式,則利用五點高斯公式,則(3)采用復(fù)化兩點高斯公式將區(qū)間四等分,得作變換,則作變換,則作變換,則作變換,則因此,有13.用三點公式和積分公式求在,和1.2處的導(dǎo)數(shù)值,并估計誤差。的值由下表給出:x1.0 1.1 1.2f(x)0.250
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