一級(jí)倒立擺物理建模傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程的推導(dǎo)_第1頁
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1、一級(jí)倒立擺物理建模和傳遞函數(shù)的推導(dǎo)設(shè)定：m 小車質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b 小車摩擦系數(shù)l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度i 擺桿慣量f 加在小車上的力x 車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角l擺桿xf小 車導(dǎo)軌圖 1 直線一級(jí)倒立擺模型 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）vppnfb=fnmg圖 2 小車及擺桿受力分析in圖1、2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，n 和p 為小車與擺桿相互作用。分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： (2)即： (3)把這個(gè)等式代入式(3)中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (4)對(duì)擺桿垂

2、直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程: (5) (6)力矩平衡方程： (7)此方程中力矩的方向，由于,故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去 p 和n，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (8)設(shè) = +, 假設(shè) 與1（單位是弧度）相比很小，即c <<1，則可以進(jìn)行近似處理：,。用u 來代表被控對(duì)象的輸入力f，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： (9)假設(shè)初始條件為0，對(duì)式(9)進(jìn)行拉普拉斯變換： (10)由于輸出為角度 ，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到： (11)或 (12)令，則有： (13)把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到： (14)整理后得到傳遞函數(shù)： (15)其中 。系統(tǒng)物理參數(shù)：m 小車質(zhì)量1.096kgm 擺桿質(zhì)量0.109kgb 小車摩擦系數(shù)0.1n/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25mi 擺桿慣量0.0034kg*m*m設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： 對(duì)，解代數(shù)方程，得到解如下： (17)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： (18)對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： ,由(9)

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