高等數(shù)學(xué)歐拉方程課件

1、高等數(shù)學(xué)歐拉方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十節(jié))(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(為常數(shù)kp,tex 令常系數(shù)線性微分方程xtln即 第十二章 高等數(shù)學(xué)歐拉方程歐拉方程的算子解法歐拉方程的算子解法: : )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令則xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222計(jì)算繁! tyyxddtytyyxdddd222 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,ln xt 則高等數(shù)學(xué)歐拉方程,ddtd 記則由上述計(jì)算可知: ydyxydydyx 22,

2、 ), 3, 2(ddktdkkkydd) 1(用歸納法可證 ykdddyxkk) 1() 1()(于是歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybydbyd轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)歐拉方程例例1. 1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 則,ddtd 記則原方程化為ttyydydd222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr則對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程, 0232 rrtt

3、ydd2)23(22即 ttececy221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)歐拉方程 的通解為41ln21ln212221xxxcxcy4121212221ttececytt換回原變量, 得原方程通解為設(shè)特解:ctbtay2代入確定系數(shù), 得4121212tty機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)歐拉方程例例2.2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 將方程化為xyyxyx22 (歐拉方程) ,ddtd 記則方程化為,tex 令teyddd2)1) 1(即teydd2) 12(2特征根:, 121 rr設(shè)特解:,2 tetay 代入 解得 a = 1,ttetetccy2

4、21)(xxxxcc221ln)ln(所求通解為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)歐拉方程例例3.3.滿足設(shè)函數(shù))(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由題設(shè)得定解問(wèn)題xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtd 記則化為teyddd54) 1(teyd5)4(2特征根: ,2ir設(shè)特解: ,teay代入得 a1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)歐拉方程得通解為tetctcy2sin2cos21xxcxc1)ln2sin()ln2cos(21利用初始條件得21, 121cc故所求特解為xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)歐拉方程思考思考: : 如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 t