[理學]陳世民理論力學簡明教程第二版課后答案

1、第零章 數學準備一 泰勒展開式1 二項式的展開 2 一般函數的展開 特別:時, 3 二元函數的展開(x=y=0處) 評注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問題向線性問題的轉化。在理論力問題的簡單處理中，一般只需近似到三階以內。二 常微分方程1 一階非齊次常微分方程： 通解：注：積分時不帶任意常數，可為常數。2 一個特殊二階微分方程 通解： 注：為由初始條件決定的常量3 二階非齊次常微分方程 通解：；為對應齊次方程的特解，為非齊次方程的一個特解。 非齊次方程的一個特解（1） 對應齊次方程設得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，； *若則，；（2） 若為二次多項式*時，可設*時，可設

2、注：以上,a,b,c,d均為常數，由初始條件決定。三 矢量 1 矢量的標積 注：常用于一矢量在一方向上的投影2 矢量的矢積 四 矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。 令*d=0時，方程組有非零解*d0時，方程只有零解第一章 牛頓力學的基本定律萬丈高樓從地起。整個力學大廈的地基將在此筑起，三百年的人類最高科學智慧結晶將飄來他的古樸與幽香。此時矢量言語將盡顯英雄本色，微積分更是風光占盡?！疽c分析與總結】 1 質點運動的描述（1） 直線坐標系 （2） 平面極坐標系（3） 自然坐標系 （4） 柱坐標系 析 上述矢量順序分別為：矢量微分：（其它各矢量微分與此方法相同）微分時一定要注意矢量順序2

3、 牛頓定律 慣性定律的矢量表述 （1） 直角坐標系中（2） 極挫標系中（3） 自然坐標系中 3 質點運動的基本定理 幾個量的定義：動量 角動量 沖量 力矩 沖量矩 動能 （1） 動量定理 方向上動量守恒：（2） 動量矩定理 （3） 動能定理 4機戒能守恒定理 t+v=e 析勢函數v: 穩(wěn)定平衡下的勢函數：; 此時勢能處極小處 且能量滿足【解題演示】 1 細桿ol繞固定點o以勻角速率轉動，并推動小環(huán)c在固定的鋼絲ab上滑動，o點與鋼絲間的垂直距離為d，如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。解：依幾何關系知： 又因為： 故：2 橢圓規(guī)尺ab的兩端點分別沿相互垂直的直線o與oy滑動，已知b端以勻速c運動，

4、如圖所示。求橢圓規(guī)尺上m點的軌道方程、速度及加速度的大小與。解：依題知： 且： 得：又因m點位置： 故有：代入（*）式得：即： 3 一半徑為r的圓盤以勻角速率沿一直線滾動，如圖所示。求圓盤邊上任意一點m的速度和加速度（以o、m點的連線與鉛直線間的夾角表示）；并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑指向圓心。 解：設o點坐標為（）。則m點坐標為（） 故： 4 一半徑為r的圓盤以勻角深度在一半經為r的固定圓形槽內作無滑動地滾動，如圖所示，求圓盤邊上m點的深度和加速度（用參量，表示）。解：依題知：且o點處：則： 5 已知某質點的運動規(guī)律為：y=bt,a和b都是非零常數。（1）寫處質點軌道的極坐標方程；（2）用

5、極坐標表示出質點的速度和加速度。解：得： 6 已知一質點運動時，經向和橫向的速度分量分別是r和µ，這里和是常數。求出質點的加速度矢量. 解：由題知： 且： 故： 7 質點作平面運動，其速率保持為常量，證明質點的速度矢量與加速度矢量正交。證明：設速度為。則：由于與為正交矢量。即得證。 8一質點沿心臟線以恒定速率v運動，求出質點的速度和加速度.解：設 且有： 解得： 得：則： 9已知質點按 運動，分別求出質點加速度矢量的切向和法向分量，經向分量和橫向分量。解：（1）極坐標系下：由得：且設：則：得： 則：徑向與橫向的分量分別為，。10質點以恒定速率沿一旋輪線運動，旋輪線方程為。證明質點在方

6、向做等加速運動。解：依題意：得：則： 11 一質點沿著拋物線運動，如圖所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此質點從正焦弦的一端點以速率出發(fā)，求質點到達正焦弦的另一端點時的速率。解：建立自然坐標系有：且： 積分得：（代入）又因為：在點處斜率： 在點處斜率： 故： 即： 12 豎直上拋一小球，設空氣阻力恒定。證明小球上升的時間比下落返回至原地點的時間短。解：設空氣阻力為，且小球初速為，質量為沒，則有：上升時間：上升高度：下落時間：得： 即得證。 13 質量為的質點自離地面高度處下落。若空氣阻力與質點速度的平方成正比，比例常數為c，試討論此質點下落過程中的運動狀況。解：設加速度為，速

7、率為，則：得：積分并代入時有： 知：質點一直在做向下的變加速運動，且加速度越來越小。 14 將一質量為的質點以初速度與水平線成角拋出，此質點受到的空氣阻力是其速度的倍，這里是常數。試求當質點的速度與水平線之間的夾角又為角度時所需時間。解：依牛頓第二運動定律有： 積分并代入初始條件：時：解得：當再次夾角為時：可解出： 15 一質量為的質點用一長度為的不可伸長的輕繩懸掛于一小環(huán)上，小環(huán)穿于一固定的水平鋼絲上，其質量為。開始時，小環(huán)靜止質點下垂，處于平衡態(tài)。今若沿鋼絲的水平方向給質點以大小為的初速度，證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是時，小環(huán)在鋼絲上仍不滑動，則鋼絲與小環(huán)間的摩擦系數至少是，此時繩中的張

8、力為。解：依 得：則：又因為：得：故： 即得證。 16 滑輪上繞有輕繩，繩端與一彈簧的一個端點聯(lián)結，彈簧的另一端掛一質量為的質點，如圖所示。當滑輪以勻角速率轉動時，質點以勻速率下降。若滑輪突然停止轉動，試求彈簧的最大伸長及彈簧中的最大張力。已知彈簧作用力為w時的靜止伸長。解：（注：此題中）設最大伸長為有：依能量守恒： 解得： 則： 17 兩個相同的輕質彈簧，勁度系數為，自然長度是，在它們中間豎直地串接一質量為的質點。彈簧的另外兩端點分別固定于a點和b點，如圖所示，a、b間的高度差是。設開始時質點靜止于ab的中點，求質點的運動規(guī)律。17解：質點運動時勢能在平衡時：得:且運動時受力滿足：代入初始條

9、件: 可解得： 18 兩個質量都是的質點a和質點b用一自然長度為的輕質彈簧相連，置于一光滑水平桌面上，如圖所示。彈簧的勁度系數為。兩質點處于靜止狀態(tài)，彈簧呈自然長度；而后，質點b沿ab方向受到一大小為的恒力作用。分別求處質點a和質點b的運動規(guī)律。18解：依受力分析知 +得： 積分得: 代入得：積分得：同理： 積分得：式中。另解：先將ab及彈簧看成一系統(tǒng)，其質心做一受恒力的作用，再將a與b 理解成繞質心做周期性振動，可得a的運動規(guī)律為質心運動與a振動的合運動，b亦然。計算亦很簡單！ 19 一質點從一光滑圓柱表面最高處，自靜止下滑，如圖所示。問質點滑至何處將脫離圓柱表面？解：將脫離時滑過相應角度為

10、，此時滿足：可解得： 20 一鋼絲彎成尖端朝上的擺線：，上面穿有一質量為的小環(huán)。今若小環(huán)在鋼絲的最低處獲得大小為的初速度，開始沿擺線滑動。求出當小環(huán)的速度與水平線成角度時，小環(huán)的速率。已知小環(huán)與鋼絲的摩擦系數為。解：小環(huán)運動時，依受力分析知： 其對鋼絲的正壓力為 又因為：得： 代入：得：則損失能量：再依能量守恒： 得： （其中）現(xiàn)進行積分： 解出：代入得：代入得： 再將c代入得：故： 21 如圖所示，用細線將一質量為的圓環(huán)懸掛起來，環(huán)上套有兩個質量都是的小環(huán)，它們可以在大環(huán)上無摩擦地滑動。若兩小環(huán)同時從大環(huán)頂部由靜止向兩邊滑動，證明如果，大環(huán)將升起；此時角是多少？解：小環(huán)因重力對的壓力。而小環(huán)

11、運動所需向心力必由對的彈力f與重力提供，滿足：（法向）又依能量守恒知：且依兩環(huán)的對稱性知，大環(huán)受合力向上，且大小為： 當大環(huán)升起須滿足：故得方程： 故：當滿足時，升起時角度滿足解出： 則剛升起時：第三章 非慣性參考系 不識廬山真面目，只緣身在此山中。地球的多姿多彩，宇宙的繁榮，也許在這里可以略見一斑。春光無限，請君且放千里目，別忘了矢量語言在此將大放益彩?！疽c分析與總結】1 相對運動 析僅此三式便可以使“第心說”與“日心說”歸于一家。（1） 平動非慣性系 () 即：（2） 旋轉非慣性系 ()2 地球自轉的效應（以地心為參考點）寫成分量形式為：析坐標系選取物質在地面上一定點o為坐標原點，x軸指

12、向南方，y軸指向東方，鉛直方向為 z軸方向。 為旋轉非慣性系 在 條件下忽略 與 所得。正因如此，地球上的物體運動均受著地球自轉而帶來的科氏力 的作用，也正是它導致了氣旋，反氣旋，熱帶風暴，信風，河岸右側沖刷嚴重，自由落體，傅科擺等多姿多彩的自然現(xiàn)象。注自由落體偏東的推導時，取 =0，且須應用級數展開，對小量作近似【解題演示】1 一船蓬高4米，在雨中航行時，它的雨篷遮著蓬的垂直投影后2m的甲板；但當停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前3m 處，如果雨點的速率是8米每秒，求船航行時的速率？解：取湖面為慣性坐標系，如右圖所示建立坐標系 依幾何關系，設雨點相對湖面速度為 船相對雨點的速度為 則：

13、船相對湖面的航行速度則:u=82. 河的寬度為，水的流速與離開河巖的距離成正比。巖邊水的流速為0，河中心處水的流速為。河中一小船內的人，以相對于水流恒定的速率，垂直于水流向岸邊劃去。求小船的舫行軌道和抵達對巖的地點。解：如右圖所示，建立xoy慣性系，且依題意可知人的位置（x,y）滿足： 由得：y=ut分別代入，并聯(lián)立得: 到達對岸時,代入得: 3. 一圓盤以勻角速度繞過圓心并與圓盤面垂直的軸轉動。一質點m沿圓盤上的弦，以恒定的相對速度運動，如圖所示。已知該弦離盤心的距離為，求在以地面為參考系時，質點m的速度和加速度（表示成質點m離弦中點的距離的函數）.解:設的速度,加速度分別為和,依題意知:

14、4一飛機在赤道上空以速率水平飛行?？紤]到地球的自轉效應，分別在下列情形下求出飛機相對于慣性坐標系（不隨地球轉動的坐標系）的速率：(1)向北飛行；(2)向西飛行；(3)向東飛行。已知地球半徑為.解:以飛機為坐標原點,以向東為方向,向南為方向,豎直向上為方向,相對于地心(設為慣性系)的速度為:則:三種情況相對于地心的速度分別為: (1) 則: (2) 則: (3) 則:5一楔子，頂角為，以勻加速度沿水平方向加速度運動。質量為的質點沿楔子的光滑斜面滑下，如圖所示。求質點相對于楔子的加速度及質點對楔子的壓力. 解:依 得: 又因為在平動非慣性中:. 得: 則楔子對斜面的壓力 6一纜車，以大小為,與地平

15、線成角的勻加速度上升。纜車中一物體自離纜車地板高度處自由下落。求此物體落至地板處的位置。解:以纜車為坐標原點建立坐標系,如右圖則,物體滿足： ，則：知：又因為： 則：即:向后方偏離7一單擺擺長為，懸掛點在水平線上作簡諧振動：。這里是懸掛點離開水平線上的固定點o的距離，如圖所示。開始時擺錘沿鉛直下垂，相對于的速度為零。證明單擺此后的微小振動規(guī)律為 解:以擺錘為原點建立坐標系,如右圖,則：c相對于點運動狀況： （利用：）再利用微振動，并令有： 可解得: 并代入初始條件得：， 故:積分并代入,得: 8一豎直放置的鋼絲圓圈，半徑為，其上套有一質量為的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以勻加速度豎直向上運動，求小環(huán)相

16、對于鋼絲圈的速率和鋼絲圈對小環(huán)的作用力大小。已知初始時刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線跟鉛直線之間的夾角，小環(huán)的相對速率.解:設與沿直線向方向的夾角為。如右圖所示，以小環(huán)質心為參考原點建立坐標系，則在方向上：即 得 積分得：在方向保持力平衡,則支持力 9一平放于光滑水平桌面上的圓盤，以恒定角速度繞固定的圓盤中心轉動。有一質量為的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相對速率向圓盤的邊緣走動。試分別利用（1）地面慣性系；（2）圓盤非慣性系，討論圓盤對人的作用力解：（1）以地面慣性參考系討論,設人走的半徑為，切向為 則有： （2）以圓盤非慣性討論： 則：10一半徑為豎直放置的光滑圓環(huán)，繞通過其圓心的鉛直軸以恒定的角

17、速度轉動。在此圓環(huán)上套有一質量為的小環(huán)，自處相對于圓環(huán)無初帶地沿環(huán)下滑。問小環(huán)的位置為何值時，它的滑動將開始反向？這是是圓環(huán)的圓心與小環(huán)的連線跟轉軸之間的夾角。解:同（8）題： 在方向上有：得：積分并代入 得：當開始反向時,， 代入上式解得： 11一內壁光滑的管子，在水平面內繞通過其端點o的鉛直軸，以恒定的角速度轉動。管內有一質量為的質點，用一自然長度為，勁度系數為的彈簧和管子的端點o相連，設初始時質點到o的距離為且。求質點在管中的運動方程及它對管壁的壓力。解：以o為原點,如右圖建立直角坐標系,則有： 得: 又因為：故：在方向有： （其中：）解方程并代入得： 再由，式得： 故：12質量為的小環(huán)

18、，套在半徑為的光滑圓圈上，若圓圈在水平面內以勻角速度繞其圓周上的一點轉動。試分別寫出小環(huán)沿圓圈切線方向和法線方向的運動微分方程（以小環(huán)相對于圓圈繞圓心轉過的角度為參量寫出），設圓圈對小環(huán)的作用力大小以表示，并可略去小環(huán)重力。解：如右圖所示建立坐標系,則： 則： 又因為：，在方向投影： 得切線方向：在方向投影：得在法線方向：13一質量為的質點，位于光滑的水平平臺上，此平臺以勻角速度繞通過平臺上一定點o的鉛直軸轉動。若質點受到o點的吸引力作用，這里是質點相對于o點的徑矢。試證明：質點在任何起始條件下，將繞o點以角速度作圓周軌道運動。證明:（注：此題與12題過程與條件基本相同）如右圖建立坐標系： 則

19、： 因為: ， 且：得: ， 即: 將繞以角速度作圓周軌道運動。14一拋物線形金屬絲豎直放置，頂點向下，以勻角速率繞豎直軸轉動。一質量為的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫出小環(huán)在金屬絲上滑動時的運動微分方程。已知金屬絲構成的拋物線方程為，這里為常數。解：如右圖建立直解坐標系,則： 則： 其中：， ， 且則： 代入得： 15在北緯處，一質點以初速率豎直上拋，到達高度為時又落回地面?？紤]地球的自轉效應，不計空氣的阻力，求質點落地位置與上拋點之間的距離；是偏東還是偏西？為什么？解：依地球上質點運動方程： 初始條件為對式進行第一次積分代入得：積分得：代入初始條件得： 落地時：代入上式得： （） 故偏西。16在

20、北緯的地方，以仰角向東方發(fā)射一炮彈，炮彈的出口速率為，考慮地球的自轉效應，證明炮彈地點的橫向偏離為 。解：（此題與上題解題基本相同）初始條件變?yōu)椋簩M行積分代入得：積分并代入初始條件得： 代入得：代入 得：當落地時： 并代入上式得：即橫向偏離：第四章 質點組動力學以彼之道，還施彼身。單身獨影自是無風不起浪,無論是親朋相會,還是冤家聚頭,定有故事流傳.代數方程在此將笑傲江湖. 【要點分析與總結】1 質點組（1） 質心： 對于連續(xù)體: （2） 內力與外力: 且內力滿足: 2 質點組運動的動量、角動量、動能（1） 動量 （2） 角動量 （3） 動能 3 質點組運動的基本定理（1） 動量定理：質心定理

21、：（2） 角動量定理： （3） 動能定理：對質心：4 開放的質點組： 或<析>此章中許多等式的推導多用到分部積分與等量代換.在本章的習題解答中多用到動量定理,角動量定理與機械能守恒定理的聯(lián)立方程組,有時質心定理的橫空出世會救你于水深火熱之中.【解題演示】1在一半徑為的圓圈上截取一段長為的圓弧，求出這段圓弧的質心位置。解：如右圖所示建立坐標系 。則：設 有：則質心位置為，距頂點的位置為2求出半徑為的勻質半球的質心位置。解：如右圖所示，取一截面元與底面相距，則其質量： 則：質心與底面距離 3兩只質量均為的冰船，靜止地放在光滑的冰面上。一質量為的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船

22、跳回第一只船。設所有的運動都在一條直線上。求兩船最后的速度之比。解：人在兩船運動為人與船組成系統(tǒng)的內部作用，故此系統(tǒng)動量守恒，有： 得：4一船以速度前進，船上某人以相對速度向船頭拋出一質量為的鐵球。已知船和人的總質量是。求人拋擲鐵所作的功。解：同上題。動量守恒得： 得：系統(tǒng)前后能量變化： 即：人做功5一質量為的粒子爆炸成質量相同的三小塊。其中兩塊的飛行方向相互垂直。它們的速率分別是和。求出第三塊的速度和動量的大小。解：設三塊的速度分別為 且：則依動量守恒 ：得：則：6重量為的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一與它相似的小楔子。小楔了的重量是。大小楔子的水平邊長分別為和。小楔子自大楔子

23、頂部靜止下滑，求小楔子完全下滑到水平面時，大小楔子完全下滑到水平面時，大小楔子分別移動了多少距離？解：依圖設大小楔子水平位移分別為 且依水平方向動量守恒： 對其積分得：且有代入上式得：7一炮彈以仰角發(fā)射，速率為，當炮彈達到最高點時，爆炸成質量分別為和的兩塊彈片。已知火藥爆炸的能量是。爆炸后的瞬時，兩彈片仍沿原方向飛行。求兩彈片落地時相隔的距離。解：炮彈從空中降下的時間，在最高點處沿飛行方向動量守恒。 設炸后的速率分別為。則有： 可解得： 則：8重量為的人，手里拿著一個重量為的物體，以與地平線成角度的速度向前跳出。當他達到最高點時，將手中的物體以速率向后拋去。問拋出物體后，人向前跳的距離增加多少

24、？解：（同理）設拋去后，人的速率變?yōu)?，由于最高處水平方向動量守恒得：解得：故人向前增加的距離：9質量為的物體沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的質量為傾角為，置于光滑水平面上。求（1）物體水平方向的加速度；（2）劈的加速度；（3）劈對物體的反作用力和水平面對劈的反作用力。解：如右圖所示，建立各方向矢量，設劈與物體間的與反作用力為，則：則物體相對于尖劈的水平加速度：在方向上，物體受與的作用：依幾何關系：解得：代入式可得：水平面對劈的反作用力 10質量為，半徑為的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。一質量為的質點沿此半球面下滑。設質點跟球心的連線與鉛直軸之間的夾角為。已知初始時系統(tǒng)是靜止的，求當時，

25、的值。解：如右圖所示，質點相對于半球的速度滿足： 在水平方向動量守恒，聯(lián)立能量守恒得 可解得：則：11質量為的小珠a能在一水平光滑的滑軌上滑動。另有一質量也是的質點b用無彈性的輕繩與a聯(lián)結，質點b可以鉛垂平面內擺動。已知繩長為。初始時系統(tǒng)靜止，繩與鉛直線間的夾角為。證明：當夾角時，有解：證明，如右圖所示。知：水平方向動量守恒：得： 又依能量守恒：代入得：得：12在光滑水平桌面上，有兩個質量都是的質點，用長為的不可伸長的輕繩聯(lián)結。今在其中一個質點上作用與繩垂直的沖量求證此后這兩個質點分別作圓滾線運動，且它們的能量之比為，其中為質點運動時間。證明：如右圖。由于水平光滑，依質心定理與解動量守恒得：

26、得： 分析可知：則：即兩質點間的能量之比為。13質量為的小環(huán)，穿在質量為的光滑圓圈上，此體系靜止地平放在光滑的水平桌面上。今若突然使小環(huán)沿圓圈的切線方向有一速度。試證明圓圈將不發(fā)生轉動，而圓心則繞體系的持贈作等速圓周運動。證明：設圓圈半徑為，以質心c為坐標原點建立坐標系，如右圖所示，且依質心定理有。由于沖量作用在圓圈切線方向，故：。即質心不動。當繞轉過時，有：并代入得：得：即圓圈中心c作圓周運動。由于小環(huán)動時不受切向力作用，故：而： 得：即得：為勻速圓周運動，而依動量守恒知圓圈無轉動。14 一長為的勻質鏈條，縣掛于釘在墻上的光滑釘子上。開始時，掛在釘子兩邊的鏈條長度相同，處在平衡狀態(tài)，后因微小

27、擾動，鏈條自一邊滑下。耱在鏈條完全脫離釘子的時刻，鏈條的速度大小。解：依機械能守恒可得： ，故：15長為的勻質鏈條，伸直地平放在光滑水平桌面上，鏈條與桌面的邊緣垂直。初始時，鏈條的一半從桌面下垂，鏈條的一半從桌面下垂，但處在靜止狀態(tài)。求此鏈條的的末端滑到桌子邊緣時，鏈條的速度大小。解：同上題：，得： 16質量為面積為的圓盤，盤心受一與平面垂直的恒力的作用，同時有一股體密度為的塵土以恒定的速度迎面而來，與盤面相遇的塵土皆粘于盤面上。已知圓盤的初速度為零。求時刻圓盤的速度及圓盤移動過的距離。解：取方向為，即：，則依變質量動力方程： 得：而：求導得：將代入得：可化為：積分并代入初始條件得：再積分得（

28、并代入時，）：代入式可得： 第五張 剛體力學 平動中見彼此,轉動中見分高低.運動美會讓你感受到創(chuàng)造的樂趣.走過這遭,也許會有曾經滄海難為水的感嘆.別忘了,坐標變換將為你迷津救渡,同時亦會略顯身手.【要點分析與總結】1 剛體的運動（1）剛體內的任一點的速度、加速度（a為基點）（2）剛體內的瞬心s： 析為基點轉動的矢量和， 值得注意的是：有轉動時與的微分，引入了與 項。2 剛體的動量，角動量，動能（1）動量：（2）角動量： 式中： 轉動慣量 慣量積 且* 方向（以為軸）的轉動慣量： （分別為與軸夾角的余弦）* 慣量主軸 慣量主軸可以是對稱軸或對稱面的法線 若x軸為慣量主軸，則含x的慣量積為0，即:

29、 若軸均為慣量主軸，則: 析建立的坐標軸軸應盡可能的是慣量主軸，這樣會降低解題繁度。 (3) 動能： * 定軸轉動時: * 平面平行運動: 3剛體的動力學方程 與質點動力學方程相同。析求角動量時，須注意： 4 剛體的定軸轉動: 質心定理: 角動量定理:析須注意外力與外力矩包括軸對物體作用5 剛體的平面平行運動 6 剛體的定點運動（1） 基本方程（以慣量主軸為坐標軸） 質心定理： 機械能守恒： 析 為活動坐標系繞固定坐標系的轉速 則有：如： （2）歐拉方程（活動坐標系隨剛體自旋）寫成分量形式： 析時，可導出 可以解釋地球的緯度變遷。（3）對稱重陀螺的定點運動（活動坐標系不隨剛體自旋） 三個角速度

30、： 自旋： 進動： 章動： 總角速度： 即 由于對稱；代入 可得：代入： 可整理出； 析可以用勢函數來判斷進動的規(guī)則性，如：規(guī)則進動時，另外，也可用s來判斷，（其實更簡單）。規(guī)則進動時：解題演示1 一長為的棒ab，靠在半徑為的半圓形柱面上，如圖所示。今a點以恒定速度沿水平線運動。試求:(1)b點的速度;(2)畫出棒的瞬時轉動中心的位置.解：如右圖所示建立坐標系，依圖知: 得: 瞬心s滿足： 如上圖所示.2 一輪的半徑為，豎直放置于水平面上作無滑動地滾動，輪心以恒定速度前進。求輪緣上任一點（該點處的輪輻與水平線成角）的速度和加速度。解：如右圖所示建立坐標系, 則: 得：故： 3 半徑為的圓柱夾在

31、兩塊相互平等的平板a和b 之間，兩板分別以速度和反向運動，見圖。若圓柱和兩板間無相對滑動，求（1）圓柱瞬心位置；（2）圓柱與板的接觸點m的加速度。解：如右圖所示建立坐標系，設瞬心在s點。 得：（1）（2）4 高為，頂角為的圓錐，在一平面上無滑動的滾動。已知圓錐軸線以恒定角速度繞過頂點的鉛直頑固不化轉動。求（1）圓錐的角速度；（2）錐體底面上最高點的速度；（3）圓錐的角加速度。解：如右圖所示建立坐標系，并取定點。（1） 得：（2） 則： （3）5 在一半徑為r的球隊體上置一半徑為的較小的球，它們的連心線與豎直軸間保持角，如圖。若繞豎直軸以恒定的角速度轉動，小球在大球上無滑動地滾動。分別求出小球最

32、高點a和最低點b的速度.解：如右圖所示建立坐標系，則有： 設球的轉動速度為：則有:又有: 得:則: 6 一邊長為，質量為的勻質立方體，分別求出該立方體對過頂點的棱邊，面對角線和體對角線的轉動慣量和.解：如右圖所示，取三條對稱軸建立坐標系.依對稱性知:再依平行軸定理: 7 一勻質等邊三角形的薄板，邊長為。質量為,試在圖所示的坐標系下，求出薄板對質心c的慣量矩陣，并由此導出對頂點o的慣量矩陣。圖中坐標系和坐標系的坐標軸分別相互平行，和都在薄板平面內.解：（1）又因為與為對稱軸，則故： （2） 8 質量為，長為的細長桿，繞通過桿端點o的鉛直軸以角速度轉動。桿于轉軸間的夾角保持恒定。求桿對端點o的角動

33、量.解：如右圖建立坐標系 ，有則：角動量 9 一半徑為質量為的圓盤，在水平面上作純滾動，盤面法線與鉛直軸間保持恒定角度，盤心則以恒定速率作半徑為的圓周運動。求圓盤的動能.解：如右圖所示取定各參量及坐標系，則有： 且有：得： 又依： 得：故：10 一半徑為的勻質圓盤，平船在粗糙的水平桌面上，繞通過其中心的豎直軸轉動，初始時刻圓盤的角速度大小為。已知圓盤與桌面間的磨擦系數為。問經過多少時間圓盤將停止轉動？解： 故：11 如圖，一矩莆勻質薄板，長為，寬為，質量為。薄板繞豎直軸以初角速度轉動，阻力與薄板表面垂直并與面積及速度的平方成正比，比例系數為。問經過多少時間后，薄板的角速度減為初角速度的一半？解

34、： 得 ：積分并代入： 得：故時：12 一質量為，長為的勻質細長桿，一端與固定點o光滑鉸鏈。初始時刻桿豎直向上，爾后倒下。試分別求出此后桿繞鉸鏈o轉動的角速度，作用于鉸鏈上的力與桿轉過的角度的關系.解：（1）如右圖。有： 得：將移至右側且積分得： 得：（2） 設 則以質心c為參照點有： 得：在方向上：得：故：13 一段勻質圓弧，半徑為r繞通過弧線中點并與弧線垂直的水平軸線擺動。求弧線作微振動時的周期. 解：參量如右圖所示，易求得：（由4.1題知）而：，故：又因為是微振動，故： 積分得：則：14 一矩形薄板，邊長分別為和，以角速度繞對角線轉動。今若突然改為繞邊轉動，求此時薄板的角速度。解：如右圖

35、所示，則： 對oa軸： 設繞ob軸的角速度為：則有：在轉換時，方向有沖量矩作用，而方向動量矩守恒，故有： 得：15 一半徑為，質量為的球體，無轉動地以速度運動，今若突然將其表面化上的一點o定住不動，求此后球體的角速度矢量及球體對o點的角動量。已知o點和球心c的連線與成角，如圖所示.解：如右圖所示建立坐標系，則：當點o固定時： （）又因為 故： 16 一勻質圓盤豎直地在一坡角為的斜面上無滑動滾下。證明：（1）圓盤質心的加速度大小為；（2）圓盤和斜面間的磨擦系數至少為。證明：（1） （）以開始處為勢能原點，則因無滑動： 則：得：（2）依 而 得： 17 長為的勻質棒，一端以光滑鉸鏈懸掛于固定點。若

36、起始時，棒自水平位置靜止開始運動，當棒通過豎直位置時鉸鏈突然松脫，棒開始自由運動。在以后的運動中（1）證明棒質心的軌跡為一拋物線；（2）棒的質心下降距離時，棒已轉過多少圈?解：（1）證明：如右圖建立坐標系 ，剛松脫時，具有，滿足： 得：則此后：消去參數得：即為拋物線。（2）質心下降時，有： 得：則轉動圈數：18 質量為的平板，受水平力的作用，在一不光滑的水平面上運動。平板與水平面間的磨擦系數為。平板上放有一質量為的勻質實心圓球，在平板上作純滾動，試求出平板的加速度.解：運動時，球與板之間無滑動，則：設球與板磨擦力為，則：可得：故： 而： 依能量守恒，有：得：19 一粗糙的半糙的半球形碗，半徑為

37、，另有一半徑為較小的勻質球體從碗邊無初速地沿碗的內壁滾下，如圖求出球體的角速度大小與所在位置角的關系，以及球體在最低處時球心的速度.解:依題意知： 取開始時，則：依機械能守恒 得：得：而：20 一半徑為r的勻質圓球，置于同樣的固定球體的表面上。初始時刻此兩球的連心線與鉛直線成角，球體靜止，爾后開始沿固定球表面無滑動地滾下。求出球體脫離固定球表面時，連心線與鉛直線間的夾角，及此時球體的角速度的大小。 解；依能量守恒與受力分析知，剛脫離時： 可解得：21一半徑為的球體，繞其平的直徑以角速度轉動，爾后將其放置在磨擦系數為的水平桌面上。求出此球體開始作純滾動時，球體已前進的距離。解：依題知球受一穩(wěn)定外

38、力為：，當純滾動時： 且此時： 代入上式得： 故： 22桌球是用棍棒沖擊使球體運動的一種游戲。設桌球的半徑為，置于光滑的平面上。問應在什么高度處水平沖擊球體，球體才不會滑動而作純滾動？解：設打擊中心的高度為，當純滾動時： 且 ，代入：， 可得： （以地面為參考系）23 一半徑為r的勻質球體，以速度在水平面上無滑動地滾動，突然遇到一高為（）的臺階，見圖。球體受臺階的沖擊是非彈性的。試求出球體受到沖擊后，角速度的大小。若球體在臺階處無滑動，為使球體能登上臺階，初速度的大小 至少應為多大？解：（1）依情形知；受列沖量 有： 則沖擊后角速度大?。海?）球登上臺階，須滿足：解得：24 一半徑為的勻質圓盤

39、，在光滑的水平面上繞鉛直的直徑以角速度轉動。證明：時，圓盤旋轉是穩(wěn)定的.解：如右圖所示建立坐標系，得： 則： 當穩(wěn)定時：可得： 得：對稱重陀螺定點運動的穩(wěn)定性即規(guī)則問題可以從兩方面入手，規(guī)定運動（1） （2）由于（2）方面解題更快，下題采用此法25 一陀螺由一半徑為的勻質圓盤和長為的軸桿構成，圓盤的質量為4，軸桿的質量為，此陀螺繞桿的端點o作定點轉動，如圖所示，若欲使陀螺繞鉛直軸作規(guī)則進動，且盤的最低點m保持與o點在同一水平面內，則陀螺的角速度在對稱軸上的分量應滿足什么條件？解：依題及圖可得：為規(guī)則進動時： 再將代入并化簡得滿足： 滿足：，故只須滿足：得：26 一對稱陀螺初始時自旋角速率，轉軸

40、與鉛直軸間的夾角為，爾后釋放。求在此后的運動中，角將在什么范圍內擺動？解：依題意知：陀螺將在與另一角度之間章動，依平衡知將代入得： 則： 即： 代入： 可得： 27一對稱陀螺，質心離頂點的距離為，對頂點的主轉動慣量為，和。若此陀螺對頂點作規(guī)則進動，進動角速度大小為，章動角為。求出陀螺的角速度在對稱軸方向的分量.解：因為是規(guī)則進動。有：將其代入重陀螺的點運動第一方程：可解得：28 一帶軸的勻質輪子，半徑為，軸的質量可忽略不計。，在離盤心為的軸的端點處用一長為的輕繩懸掛于天花板上的o點。今輪子繞軸以角速度高速自轉，輪軸水平地繞過定點o的鉛直線作規(guī)則進動。求繩子與鉛直線間的夾角。（由于很小，可作近似

41、）解：依角動量定理得： 可得： 又依受力分析知：可得：并與上式聯(lián)立，取可解得：第六章 分析力學滾滾長江東逝水，浪花淘盡英雄。達朗貝爾，拉格朗日，哈密頓等許多前賢相聚于此“力學論劍”，其“沖擊波”使非線性問題也不攻自破。長江后浪推前浪，你也許在此可以更加“得意忘形。微分方程將叱咤風云。要點分析與總結1虛功原理：（平衡時）理想條件下，力學系的平衡條件是各質 點上的主動力所作的虛功之和為零： 用廣義坐標來表述： 2達朗貝爾原理（動力學下的虛功原理）： 析，均是在時間未變化（）時所設想的量，而廣義坐標可以是角度，長度或其它的獨立的坐標變量。3拉格朗日方程 在保守力下，取拉氏數 方程為： 若拉氏數中不顯

42、含廣義坐標，則：即 循環(huán)積分： 4微振動非線性系統(tǒng)在小角度近似下，對拉氏方程的應用5哈密頓函數與正則方程（1） 哈密頓函數 式中為廣義坐標動量（2） 正則方程 若哈氏函數中不顯含廣義坐標，則：即：循環(huán)積分 在穩(wěn)定條件下（h中不顯含），則有能量積分：6泊松括號 7哈密頓原理與正則變換（1）哈密頓原理保守力系下：定義：為主函數（3） 正則變換通過某種變數的變換，找到新的函數，使正則方程的形式不變（相當于坐標變換）。新的正則變量： 正則變換的條件： 依上亦可得： 為母函數，當 ，不顯含時，以上條件等于：析：正則變換妙在不解方程而使問題出解。“得意忘形”到極點了。解題演示1 一長為質量為的勻質棒，斜靠

43、在固定的半球形碗的邊緣，一端置于碗內，如圖。已知碗是光滑的，半徑為；棒在碗內的長度為 。用虛功原理證明棒的全長為。解：如右圖所示，取定。依幾何關系知：依余弦定理：知：桿的勢能：因靜平衡，應用虛功原理得：得：兩邊平方并代入可解得：2 用繩子等距離地在定點o處懸掛兩個相同的勻質球，兩球之上另放置一相同的球體，如圖。已知分別懸掛兩球的繩長都是。用虛功原理求出角與角之間的關系。 解：依受力分析知且： 則：依虛功原理達到平衡時有： 可得： 3 用輕質橡皮圈捆扎三個置于光滑水平桌面上的相同球體，捆扎的高度與還需心的高度相同。將第四個同樣的球體置于三球之上。由虛功原理求出橡皮圈中的張力。已知每個球體的重量為

44、。解：如右圖所示。取三個桌面上球的球心所在面，及四球心立體結構可分析得：皮周長：依虛功原理：則依： 代入： 得：4 一彈性繩圈，它的自然長度為，彈性系數為，單位長度質量（線密度）為。將此彈性圈套在一半徑為的光滑球面上，彈性圈因自重而下滑。用虛功原理法語出平衡時彈性繩圈對球心所張的角度為應滿足的方程。解：易知：繩伸長量 以o為參照點，高度為： 化簡得：5 一半徑為的半球形碗內裝有兩個質量分別為和的球體，它們的半徑同為（）。用虛功原理求出這兩個球體在碗中平衡時它們的連心線與水平線間的夾角解：如右圖所示，以o為參照點，取， 與水平線角為。則有： 則： 代入 得： 6 一輕桿長為，一端光滑鉸鏈于固定點

45、o，另一端點及中點分別焊接有質量為和的小球。桿可在鉛直平面內繞固定點擺動。寫出此力學 系統(tǒng)的拉格朗日函數，并求出其作微小擺動時的周期。解：以o為參照點，取桿與豎直方向夾角為。則有： 拉氏函數： 解拉氏方程：微振動，取近似， 得： 積分： （a，b為積分常數）則：7 一半徑為質量為的圓柱形轱轆，其軸線沿水平方向。轱轆上繞有長為的輕繩，繩的自由端系一質量為的重物。初始時繩子完全繞在轱轆上，體系靜止。爾后重物下落帶動轱轆轉動。寫出此力學系列化的拉格朗日函數，并求出繩子完全釋放時轱轆轉動角速度的大小。解：如右圖，取為轉過的角度，為下降的距離。有：。取o為參照點： 則： 得： 積分得：當完全釋放（）時：8 上題中，如果繩子具有彈性，彈性勢能為，為繩子的伸長證明重物的運動為維持恒定的加速運動上附加一角頻率為的振動。其中。求出此種振動的振幅。設初始時繩子完全繞在轱轆上，體系靜止，爾后釋放解：參數同上題，則可得:;則： 可得：即： 積分得： 式中 故： 即得恒定加速度值：振動角頻率： 振幅：9 力學系統(tǒng)如圖所示。二滑輪為相同的圓盤，半徑為質量為。懸掛的重物質量分別為和，且。初始時系統(tǒng)靜止（1）導出此力學系列化的運動微分方程；（2）分別求出兩重物下降的速度與重物下落距離之間的關系。