三限等差數(shù)列

1、6.26.2 等差數(shù)列等差數(shù)列一、知識梳理一、知識梳理1.1.等差數(shù)列等差數(shù)列的概念： 2.2.通項公式通項公式： 推廣推廣： an=am+（nm）d.變式：變式：a1=an（n1）d，d =，d =，由此聯(lián)想點列（n，an）所在直線的斜率.11naanmnaamn3.3.等差中項：等差中項：若 a、b、c 成等差數(shù)列，則 b 稱 a 與 c 的 ，即有 ； a、b、c 成等差數(shù)列是 2b=a+c 的 條件.4.4.前前 n n 項和：項和：s sn n= = = nan（n1）nd.21 變式：=a1+（n1）=an+（n1）（）.21naa nsnnaaan 212d2d二、雙基訓(xùn)練二、雙

2、基訓(xùn)練1.（09 安徽文）已知為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,，則 a20等于 naa. -1 b. 1 c. 3 d.72.（09 湖南文）設(shè)ns是等差數(shù)列 na的前 n 項和，已知23a ，611a ，則7s等于 a13 b35 c49 d63 3.（09 遼文）已知 na為等差數(shù)列，且7a24a1, 3a0,則公差 d a.2 b.12 c.12 d.24.(2009 山東卷文)在等差數(shù)列na中,6, 7253aaa, 則_6a.三、典例剖析三、典例剖析例例 1:1:數(shù)列an的前 n 項和為 sn=npan（nn+）且 a1a2，（1）求常數(shù) p 的值；（2

3、）證明：數(shù)列an是等差數(shù)列.例例 2 2：已知數(shù)列an的前 n 項和 sn=12nn2，（1）求 an（2）求數(shù)列|an|的前 n 項和 tn.變式：變式：若此題的 sn=n212n，那又該怎么求 tn呢？四、闖關(guān)訓(xùn)練與拓展練習(xí)四、闖關(guān)訓(xùn)練與拓展練習(xí)1.（03 年全國）等差數(shù)列an中，已知 a1=，a2+a5=4，an=33，則 n 是31 a.48 b.49 c.50 d.512.（09 四川文）等差數(shù)列na的公差不為零，首項1a1，2a是1a和5a的等比中項，則數(shù)列的前 10 項之和是 a. 90 b. 100 c. 145 d. 1903.（09 寧海文）等差數(shù)列 na的前 n 項和為n

4、s，已知2110mmmaaa，2138ms,則m a.38 b.20 c.10 d.9 4.(09 陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列 na的前 n 項和為ns ,若6312as,則na 。5.（2009 江蘇卷）9.設(shè) na是公差不為零的等差數(shù)列，ns為其前n項和，滿足222223457,7aaaas。 （1）求數(shù)列 na的通項公式及前n項和ns；（2）試求所有的正整數(shù)m，使得12mmma aa為數(shù)列 na中的項。 6.（04 年上海）在數(shù)列an中，a1=3，且對任意大于 1 的正整數(shù) n，點（，）在na1na直線 xy=0 上，則 an=_.37.（03 年上海）設(shè) f（x）=，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前

5、 n 項和的公式的方法，可221x求得 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值為_.8.已知數(shù)列an的前 n 項和為 sn，且滿足 an+2snsn1=0（n2） ，a1=.21（1）求證：是等差數(shù)列；ns1（2）求 an的表達式.五、思悟小結(jié)五、思悟小結(jié)1.深刻理解等差數(shù)列的定義，緊扣從“第二項起”和“差是同一常數(shù)”這兩點.2.等差數(shù)列中，已知五個元素 a1，an，n，d，sn中的任意三個，便可求出其余兩個.3.證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法是：（1）利用定義，證明 anan1（n2）為常數(shù)；（2）利用等差中項，即證明 2an=an1+an+1（n2）.4.等差數(shù)列a

6、n中，當(dāng) a10，d0 時，數(shù)列an為遞增數(shù)列，sn有最小值；當(dāng) a10，d0 時，數(shù)列an為遞減數(shù)列，sn有最大值；當(dāng) d=0 時，an為常數(shù)列.5.已知三個或四個數(shù)成等差數(shù)列這類問題，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運算量，如三個數(shù)成等差數(shù)列時，除了設(shè) a，a+d，a+2d 外，還可設(shè) ad，a，a+d；四個數(shù)成等差數(shù)列時，可設(shè)為a3d，ad，a+d，a+3d.6.復(fù)習(xí)時，要注意以下幾點：（1）深刻理解等差數(shù)列的定義及等價形式，靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì).（2）注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運用.剖析：（1）注意討論 p 的所有可能值.（2）運用公式 an= 求 an.11nn

7、sss. 2, 1nn解：（1）當(dāng) n=1 時，a1=pa1，若 p=1 時，a1+a2 = 2pa2 = 2a2，a1=a2，與已知矛盾，故 p1.則 a1=0.當(dāng) n=2 時，a1+a2=2pa2，（2p1）a2 =0.a1a2，故 p=.21（2）由已知 sn=nan，a1=0.21n2 時，an=snsn1=nan（n1）an1.2121=.則=，=.1nnaa21nn21nnaa32nn23aa12=n1. an=（n1）a2，anan1=a2.2aan故an是以 a2為公差，以 a1為首項的等差數(shù)列.評述：本題為“snan”的問題，體現(xiàn)了運動變化的思想.例例 2 2：已知an為等差

8、數(shù)列，前 10 項的和 s10=100，前 100 項的和 s100=10，求前 110 項的和 s110.剖析：方程的思想，將題目條件運用前 n 項和公式，表示成關(guān)于首項 a1和公差 d 的兩個方程.解：設(shè)an的首項為 a1，公差為 d，則,109910021100,100910211011dada解得.1001099,50111das110=110a1+110109d=110.21解：當(dāng) n=1 時，a1=s1=1212=11；當(dāng) n2 時，an=snsn1=12nn212（n1）（n1）2=132n.n=1 時適合上式，an的通項公式為 an=132n.由 an=132n0，得 n，21

9、3即當(dāng) 1n6（nn*）時，an0；當(dāng) n7 時，an0.（1）當(dāng) 1n6（nn*）時，tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=12nn2.（2）當(dāng) n7（nn*）時，tn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+a2+a6）（a7+a8+an）=（a1+a2+an）+2（a1+a6）=sn+2s6=n212n+72.tn= 72121222nnnn)., 7(), 61 (*n nn nnnnn深化拓展答案：tn=. 72, 66nssnsnn夯實基礎(chǔ)1.等差數(shù)列an中，a100，a110 且 a11|a10|，sn 為其前 n 項和，則a.s1，s2，s10都小于 0，s11，

10、s12，都大于 0b.s1，s2，s19都小于 0，s20，s21，都大于 0c.s1，s2，s5都小于 0，s6，s7，都大于 0d.s1，s2，s20都小于 0，s21，s22，都大于 03.在等差數(shù)列an中，公差為，且 a1+a3+a5+a99=60，則 a2+a4+a6+a100=_.21答案：854.將正偶數(shù)按下表排成 5 列：第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行2468第 2 行16141210第 3 行182022242826那么 2004 應(yīng)該在第_行第_列.答案：251 35.（04 年全國）等差數(shù)列an的前 n 項和為 sn，已知 a10=30，a2

11、0=50.（1）求通項an；（2）若 sn=242，求 n.an=2n+10 n=11 或 n=22（舍）6.設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和為 sn，已知 a3=12，s120，s130.（1）求公差 d 的取值范圍；d3724（2）指出 s1，s2，s3，s12中哪一個最大，并說明理由.s6最大7.（1）證明：an=2snsn1，sn+sn1=2snsn1（n2） ，sn0（n=1，2，3）.=2.ns111ns又=2，是以 2 為首項，2 為公差的等差數(shù)列.11s11ans1（2）解：由（1） ，=2+（n1）2=2n，sn=.當(dāng) n2 時，an=snsn1=ns1n21n21=或 n2 時

12、，an=2snsn1= ；) 1(21n) 1(21nn) 1(21nn當(dāng) n=1 時，s1=a1=.21an= ) 1(2121nn).2(),1(nn1、 設(shè)an為等差數(shù)列，sn為數(shù)列an的前 n 項和，已知 s7=7，s15=75，tn為數(shù)列的nsn前 n 項和，求 tn.tn=n2n4149（2009 江蘇卷） 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運算和求解的能力。滿分 14 分。（1）設(shè)公差為d，則22222543aaaa，由性質(zhì)得43433 ()()d aad aa，因為0d ，所以430aa，即1250ad，又由77s 得176772ad，解得15a ，2d ,(2) （方法一）12mmma aa=(27)(25)23mmm,設(shè)23mt， 則12mmma aa=(4)(2)86ttttt , 所以t為 8 的約數(shù)（方法二）因為1222222(4)(2)86mmmmmmmma aaaaaaa為數(shù)列 na中的項，故m+28 a為整數(shù)，又由（1）知：2ma為奇數(shù)，所以2231,1,2mamm 即經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有2m 。. 10.（09 福建文）等比數(shù)列na中，已知142,16aa . （i）求數(shù)列na的