定積分的應(yīng)用

1、1 5.5. 5.5. 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 5.5. 5.5. 定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用 5.5. 5.5. 定積分的微元法定積分的微元法2.復(fù)習(xí)引入：求曲邊梯形面積的四個步驟復(fù)習(xí)引入：求曲邊梯形面積的四個步驟ix2x1x1ixbaixi1(1,2, )iiixxxin (1)(1)分割分割把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個子區(qū)間個子區(qū)間(2)(2)近似代替近似代替()(1,2, )iiiAfxin(3)(3)近似求和近似求和)(1iniifxA(4)(4)取極限取極限01lim()niiiAfx), 2 , 1(,1nixxii( )ifbadxxf)(32

2、.將以上四個步驟概括為兩步將以上四個步驟概括為兩步： ,1dxxxba上任取一個子區(qū)間在區(qū)間為子區(qū)間的長度，dxdxxfAi)(積的近似值，即作為對應(yīng)曲邊梯形的面以乘積dxxf)( 取極限2dxxfA)(lim0badxxf)(ba)(xfy xdxx dxxf)(dxxfdAdxxf)()(為微分元素，記作稱43.求曲邊梯形面積的方法與步驟推廣，求曲邊梯形面積的方法與步驟推廣，得定積分的微元法：得定積分的微元法： ,1上任取一個子區(qū)間在區(qū)間dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定積分為在,2baQbabadxxfdQQ)(可以用定積分表示的量，在區(qū)間可以用定積分表示的量，在區(qū)間a,b上

3、的定積分上的定積分按以下方法得到：按以下方法得到：這種方法稱為定積分的微元法：這種方法稱為定積分的微元法：54.4.用用微元法微元法分析問題的一般步驟分析問題的一般步驟: :（1 1）定變量）定變量根據(jù)問題的具體情況，選取一個積分變量，根據(jù)問題的具體情況，選取一個積分變量，并確定變量的變化范圍，如取并確定變量的變化范圍，如取 為積分變量，的變化區(qū)間為積分變量，的變化區(qū)間為為 ； , a bx , a b ,x xdxdxxfdQ)(babadxxfdQQ)(（3 3）求積分）求積分將上述微元將上述微元“積積”起來，得到所求量起來，得到所求量（2 2）取微元）取微元在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)任取一個子區(qū)間

4、內(nèi)任取一個子區(qū)間 得到微分元素得到微分元素 ；6xy0( )yf xabAxba0y( )yf xxba0y( )yf xc當(dāng)當(dāng) 時時 ( )0f x ( )baAf x dx當(dāng)當(dāng) 時時 ( )0f x 當(dāng)當(dāng) 在在區(qū)間區(qū)間上有正上有正, 有負(fù)時有負(fù)時 ( )f x , a b( )baAf x dx( )( )cbacAf x dxf x dxAA7.用定積分的微元法求由曲線用定積分的微元法求由曲線)(),(xgyxfy,bxax及直線)()(,xgxfba上，且在所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積。如圖所示如圖所示：dxx x)(xfy ba)(xgy )()(xgxf ,1任取一

5、個子區(qū)間上在區(qū)間dxxxbadxxgxfdA)()(得微分元素dxbabadxxgxfdAA)()()2(8( )( )baAf xg x dx當(dāng)當(dāng) 時時 ( )( )f xg x( , )xa b有時有時有時有時 ( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )caAf xg x dx( )( )bcg xf x dxAAAxba0y( )f xc( )g xxy0( )f xab( )g xxba0y( )f x( )g x9例例.求拋物線求拋物線 和和 軸所圍成的平軸所圍成的平面圖形的面積面圖形的面積 21yx x12311114(1)()33Ax dxxx解：作出圖形解：作

6、出圖形例例.求拋物線求拋物線 和直線和直線 所圍成所圍成的平面圖形的面積的平面圖形的面積 2yx2yx 解：作出圖形解：作出圖形223 211133Ax dxx22yxyx 1,2xx解方程組解方程組 得得 10例例 求曲線求曲線2xy xy 與所圍成的圖形面積所圍成的圖形面積xyxy2dxxxS102)(31.解解 如圖所示，如圖所示，解方程組解方程組. 1, 0 xx得11例例4 4求由曲線求由曲線 和直線和直線 所圍所圍成的平面圖形的面積成的平面圖形的面積 xye1,1,1xxy0110(1)(1)xxAe dxedx解：作出圖形解：作出圖形01110(1)(1)2xxeee e 12例

7、例5 5 求橢圓求橢圓的面積。12222byax解解 根據(jù)橢圓的對稱性和定積分的幾何意義，有根據(jù)橢圓的對稱性和定積分的幾何意義，有aydxS0422xaaby因為dxxaabSa2204所以ab0aa13.用定積分的微元法求由曲線用定積分的微元法求由曲線)(),(yxyx,dycy與直線上，且在,dc)()(yy所圍成的圖形所圍成的圖形dyyyAdc)()( 0cd)(yx yx ,1任取一個子區(qū)間上在區(qū)間dyyydcydyy )()(yydydyyydA)()(得微分元素為積分變量以y14(3)(3)由連續(xù)曲線與直線由連續(xù)曲線與直線 所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積（我們僅討論（

8、我們僅討論 的情況的情況 )( )xy,yc( ).dcAy dx,0yd x( )0y( )xyx0ydcA( )xyx0ydc( )xyA(4)(4)由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 與直線與直線所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積（我們僅討論（我們僅討論 的情況的情況 ) ) ( ),( )xy xy,yc yd( )( )yy( )( )dcAdxyy15xy22例例5 5 求曲線求曲線4 xy與直線所圍成的圖形面積。所圍成的圖形面積。422xyxy182)4(422dyyyS.解解 如圖所示，如圖所示，解方程組解方程組. 4yy，得積所圍成的平面圖形的面直線例求由曲線3, 1yxyxyy

9、x 3yx11dyyyA31)1(16課堂小結(jié)課堂小結(jié) ,1上任取一個子區(qū)間在區(qū)間dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定積分為在,2baQbabadxxfdQQ)(可以用定積分表示的量，在區(qū)間可以用定積分表示的量，在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分按以下方法得到：按以下方法得到：1.定積分的微元法定積分的微元法.由曲線由曲線)(),(xgyxfy,bxax及直線所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積為：badxxgxfA)()()2(17.由曲線由曲線)(),(yxyx,dycy與直線所圍成的圖形：所圍成的圖形：dyyyAdc)()(為積分變量以y0cd)(yx yx18*2.旋轉(zhuǎn)

10、體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)設(shè) 是是 上的連續(xù)函數(shù)，由曲線上的連續(xù)函數(shù)，由曲線 與直線與直線 ， ， 圍成的曲邊梯形繞圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個旋轉(zhuǎn)體，怎樣求這個旋軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個旋轉(zhuǎn)體，怎樣求這個旋轉(zhuǎn)體的體積？轉(zhuǎn)體的體積？xax( )f x , a b( )yf x0yxb? ?復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)引入：19復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)引入： ,1上任取一個子區(qū)間在區(qū)間dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定積分為在,2baQbabadxxfdQQ)(可以用定積分表示的量，在區(qū)間可以用定積分表示的量，在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分按以下方法得到：按以下方法得到：1.定積分的微元法定積分的微元法

11、.由曲線由曲線)(),(xgyxfy,bxax及直線所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積為：badxxgxfA)()()2(20.由曲線由曲線)(),(yxyx,dycy與直線所圍成的圖形：所圍成的圖形：dyyyAdc)()(為積分變量以y0cd)(yx yx21ab)(xfy xdxx )(xfdx用微元法來求旋轉(zhuǎn)體的體積用微元法來求旋轉(zhuǎn)體的體積 : 2 ( )dVf xdx ,x x dx , a b在在 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間 得微分元素：得微分元素：dxxfdVVbaba2)(22(2)由曲線由曲線 與直線與直線所圍成的曲邊梯形繞所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)

12、軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為體的體積為( )xyy,yc yd(),0cd x2 ( )bxaVf xdx2 ( )dycVydy (1)由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線)(xfy bxax ,及直線軸所圍成的曲邊梯形及x繞繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積23例例1 121.3Vr h證明：底面半徑為證明：底面半徑為r，高為，高為h的圓錐體的體的圓錐體的體積為積為 解：以圓錐的頂點為坐標(biāo)原解：以圓錐的頂點為坐標(biāo)原點，以圓錐的高為點，以圓錐的高為 軸，建立直角軸，建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，xryxh直線直線OA的方程為的方程為x則圓錐可以看成是由直角三角則圓錐可以看成是由直角三角形形ABO

13、繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)體dxxhrVh02hr2312 ( )bxaVf xdx24軸和軸和x例例2 求橢圓求橢圓12222byax分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)所得橢球體的體積。軸旋轉(zhuǎn)所得橢球體的體積。x解：繞軸旋轉(zhuǎn)時解：繞軸旋轉(zhuǎn)時,得得:dxyvaa2dyxvbb2特別地特別地,當(dāng)當(dāng)ba 時時,得球體體積得球體體積334av234abdxaxbaa)1 (222ba234y繞軸旋轉(zhuǎn)時繞軸旋轉(zhuǎn)時,得得:dybyabb)1 (2220aabb25例例3 3求由拋物線求由拋物線 與直線與直線 所圍成的所圍成的封閉圖形繞封閉圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

14、的體積. 2yx1yy解：如圖所示，解：如圖所示，120()Vydy12 10022ydyy2 ( )dycVydy 26222 yx例例4 求曲線求曲線2xy 和所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解解 如圖所示如圖所示.2222xyyxdxxv112)2(dxx1122)(解方程組解方程組1, 1xx得154427體積。軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的繞求圓例yyx9552233295yx295yxdyyV2332195dyyV2332295dyyyV332222959528積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體繞所圍的平面圖形直線例求由曲線xxyxxy,4203xy 24

15、xxydxxdxxxV3022302)4(29課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： ,1上任取一個子區(qū)間在區(qū)間dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定積分為在,2baQbabadxxfdQQ)(可以用定積分表示的量，在區(qū)間可以用定積分表示的量，在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分按以下方法得到：按以下方法得到：1.定積分的微元法定積分的微元法303.由曲線由曲線 與直線與直線所圍成的曲邊梯形繞所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為體的體積為( )xyy,yc yd(),0cd x2 ( )bxaVf xdx2 ( )dycVydy .由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線)(xfy bxa

16、x ,及直線軸所圍成的曲邊梯形及x繞繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積31一一. 變力沿直線作功變力沿直線作功 9 定積分的物理應(yīng)用定積分的物理應(yīng)用復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入:定積分的微元法定積分的微元法. ,1上任取一個子區(qū)間在區(qū)間dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定積分為在,2baQbabadxxfdQQ)(1.1.若物體在常力若物體在常力F作用下作用下, ,沿沿F的的方向移動方向移動 s 距離距離, ,則力對物體所作的功為：則力對物體所作的功為： W=Fs32 得得dW=F(x)dx則則badxxFW)( .設(shè)物體所受到的力是位置設(shè)物體所受到的力是位置x x的函數(shù)的函數(shù),

17、, 取取x x為積分變量為積分變量, , 變化區(qū)間為變化區(qū)間為 a,b. 由由x=a移到移到x=b, ,求物體在變力求物體在變力F(x)作用下作用下, ,沿力的方向沿力的方向力對物體所作的功力對物體所作的功. .用定積分的微元法來解決這一問題用定積分的微元法來解決這一問題: :ba,上每一點所受的力體在區(qū)間處所受的力近似代替物以物體在點dxxxx, (1) (1)任取子區(qū)間任取子區(qū)間 x,x+dx abxdxx )(xF33 例例1 設(shè)設(shè)9.89.8牛頓的力能使彈簧伸長牛頓的力能使彈簧伸長1 1厘米厘米, , 從而從而badxxFW)( (焦耳焦耳) )求伸長求伸長1010厘米需作多少功厘米需

18、作多少功? ?所以所以k=980.=980.F=9.8=9.8牛頓牛頓, ,當(dāng)當(dāng)x=0.01=0.01米時米時, ,解解: : F=980 x.Fkx1 . 001 . 0029 . 4|490980 xxdx34 例例2 2 一個圓臺形的水池內(nèi)盛滿了水一個圓臺形的水池內(nèi)盛滿了水, ,水池高為水池高為5 5米米, ,上底半徑上底半徑為為3 3米米, ,下底半徑為下底半徑為2 2米米, ,求將水池內(nèi)的水全部抽出需作多少功求將水池內(nèi)的水全部抽出需作多少功? ? 解解: :建立如圖所示的直角坐標(biāo)系建立如圖所示的直角坐標(biāo)系, ,)/8 . 9,/1000(3kgNgmkg3 , 0 xyo5AB2 ,

19、 5,5 , 0dxxx上作取一個子區(qū)間在區(qū)間xdxx y.,2所對應(yīng)的部分近似代替圓柱體寬為以長為dxxxdxydvdxyg2dGdxy2dWxdxyg2為的水抽出水池所作的功將重dxyg2xdxygW250,51ABK351:xyABxdxxgW502)351(35 解解 將水桶從井里提上來所作的功為將水桶從井里提上來所作的功為)(1960208 . 9101JW 下面計算下面計算將繩子從井里提上來所作的功將繩子從井里提上來所作的功, ,則所作的總功為則所作的總功為21WWW 例例3 一桶水重一桶水重1010kg, ,由一條線密度由一條線密度0.1kg/m的繩子系著，的繩子系著，將它從將它

20、從2020m深的井里提上來需作多少功深的井里提上來需作多少功? ?米）（水桶高為1o20yx1919, 0, dxxx任取xdxx 所對應(yīng)的繩子的重量為區(qū)間dxxx,mgdG 作的功為：對應(yīng)的繩子提出井口所將dxxx,xdxdW8 . 91 . 0219028.91.0 xdxW9.81 . 0dx361.1.設(shè)有一面積為設(shè)有一面積為S S的平板的平板, ,水平放置在液體下深度水平放置在液體下深度x x處處, ,則則平板一側(cè)所受壓力為平板一側(cè)所受壓力為: :則平板一側(cè)所受壓力須用微元法解決則平板一側(cè)所受壓力須用微元法解決. . 2.如果平板垂直放置在液體下如果平板垂直放置在液體下, ,二二.

21、. 液體的壓力液體的壓力gxPSF37例例4.有一個水平放置的圓形管道，直徑為有一個水平放置的圓形管道，直徑為2米，有一道閘門，米，有一道閘門，當(dāng)水半滿時，求閘門受到的力。當(dāng)水半滿時，求閘門受到的力。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。xyo11 , 0, dxxx任取xdxx上每一點處的壓強(qiáng)，處的壓強(qiáng)近似代替以水深dxxxx,xgdPy所對應(yīng)的部分。的矩形近似代替寬為以長為dxxxdxy,2dF, 122 yx21xydxxxgF10212xgdxy2上每一點處的壓強(qiáng)，處的壓強(qiáng)近似代替）以水深（dxxxx,1上作了兩個近似代替：在dxxx,所對應(yīng)部分的面積。的矩形面積

22、近似代替寬為）以長為（dxxxdxy,2238例例5 半徑為半徑為R R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油, ,求一個端面所受的壓力求一個端面所受的壓力. .解解 ）（油的密度為yoxxdxxxgdPdFxgdxy2yRdxxRxgF022222xRyRdxxx, 0,任取上每一點處的壓強(qiáng)，處的壓強(qiáng)近似代替以水深dxxxx,所對應(yīng)的部分。的矩形近似代替寬為以長為dxxxdxy,239例例6 6 求如圖的等腰梯形水閘門一側(cè)所受的壓力求如圖的等腰梯形水閘門一側(cè)所受的壓力. .解解 2 , 0, dxxx任取2o2y(2,1)xxdxxxgdPxgdxydF2y22xydxxxgF2022

23、240 例例7 設(shè)有質(zhì)量為設(shè)有質(zhì)量為M, ,長度為長度為L L的均勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿, ,解：任意解：任意 x, x+dx 22)()(axLMdxmkaxdxLMmkdFdxLMoaxL另有一質(zhì)量為另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點位于同一直線上的質(zhì)點位于同一直線上, ,且且到桿的近段距離為到桿的近段距離為a, ,求桿對質(zhì)點的引力求桿對質(zhì)點的引力. .三三. . 引力引力由萬有引力定律由萬有引力定律, ,兩質(zhì)點之間的引力為兩質(zhì)點之間的引力為221rmmkF 若要計算細(xì)棒對質(zhì)點的引力若要計算細(xì)棒對質(zhì)點的引力, ,須用微元法解決須用微元法解決. .0 Ldxx x區(qū)間區(qū)間 x, x+dx 對應(yīng)的細(xì)桿質(zhì)量為對應(yīng)的

24、細(xì)桿質(zhì)量為41 則引力為則引力為dxaxLkmMFL20)(1四四. . 連續(xù)函數(shù)的平均值連續(xù)函數(shù)的平均值n個數(shù)的平均值為個數(shù)的平均值為nynyyyyniin 121而連續(xù)函數(shù)而連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上的平均值上的平均值, ,需要用定積分計算需要用定積分計算. .)(| )11(0LaakmMxLkmML42 將將a,bna,bn等分等分, ,在每個小區(qū)間上依次任取在每個小區(qū)間上依次任取,21n 則則 nfnfffyyniinn 121)()()()( 由定積分定義可知由定積分定義可知nfyniin 1)(limabxfniiin 1 )(lim)()(limabnabfnii

25、n 1 badxxfab)(143例例1 1 求從求從0 0秒到秒到T T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度. .解解 .2|201002gTTgtgtdtTvTT注意注意: :積分中值定理中的積分中值定理中的f(f( ) )就是就是f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的平均值上的平均值. .44定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用歸納起來一般分為兩大定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用歸納起來一般分為兩大類型：類型：第一，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分求原來的第一，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分求原來的函數(shù)；函數(shù)；第二，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分計算產(chǎn)量第二，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積

26、分計算產(chǎn)量由到由到 時原來函數(shù)的改變量時原來函數(shù)的改變量一般地，已知邊際成本、邊際收入、邊際利潤等去一般地，已知邊際成本、邊際收入、邊際利潤等去考慮總成本、總收入、總利潤等問題考慮總成本、總收入、總利潤等問題ab45( (1) )已知某產(chǎn)品的邊際成本為已知某產(chǎn)品的邊際成本為 ，固定成本，固定成本為，則產(chǎn)量為為，則產(chǎn)量為 個單位時總成本函數(shù)為個單位時總成本函數(shù)為產(chǎn)量由產(chǎn)量由 變到變到 時，總成本函數(shù)的改變量為時，總成本函數(shù)的改變量為( )C xMC0CxbabaCMCdx 00( )xC xMCdx C46( (2) )已知某產(chǎn)品的邊際收入為已知某產(chǎn)品的邊際收入為 ，則產(chǎn)量為，則產(chǎn)量為 個單位時

27、總收入函數(shù)為個單位時總收入函數(shù)為產(chǎn)量由產(chǎn)量由 變到變到 時，總收入函數(shù)的改變量為時，總收入函數(shù)的改變量為( )R xRCxbabaRMRdx 0( )xR xRCdx47( (3) )某產(chǎn)品的邊際利潤為某產(chǎn)品的邊際利潤為則產(chǎn)量為則產(chǎn)量為 個單位時總利潤函數(shù)為個單位時總利潤函數(shù)為積分積分 是不計固定成本下的利潤函數(shù)，有是不計固定成本下的利潤函數(shù)，有時也稱為毛利潤時也稱為毛利潤產(chǎn)量由產(chǎn)量由 變到變到 時，總利潤函數(shù)的改變量為時，總利潤函數(shù)的改變量為( )( )( )L xR xC xMR CRxab0()xMR MC dx00( )()xL xMR MC dx C()baLMR MC dx 48例例30已知某產(chǎn)品的邊際成本為已知某產(chǎn)品的邊際成本為（百元（百元/噸噸 ）,求：產(chǎn)量由求：產(chǎn)量由2噸增加到噸增加到5噸時總成本的改變量及平均成本噸時總成本的改變量及平均成本 .100 2MCx解解:（百元）（百元） 產(chǎn)量由產(chǎn)量由2噸增加