概率統(tǒng)計模型

1、第七章 概率統(tǒng)計模型第一講 遺傳模型（2課時）教學(xué)目的掌握概率統(tǒng)計模型。教學(xué)內(nèi)容運用概率統(tǒng)計模型方法建立遺傳模型及隨機存儲模型并求解。模型 遺傳模型1模型背景與問題提出所謂常染色體遺傳，是指后代從每個親體的基因中各繼承一個基因從而形成自己的基因型.如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和B控制的，那么就有三種可能的基因型：AA，AB和BB。例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它開花的顏色，AA型開紅花，AB型的開粉花，而BB型的開白花.這里的AA型和AB型表示了同一外部特征(紅色)，則人們認(rèn)為基因A支配基因B，也說成基因B對于A是隱性的。當(dāng)一個親體的基因型為AB，另一個親體的基因型為BB，那么后代便可

2、從BB型中得到基因B，從AB型中得到A或B，且是等可能性地得到。問題：某植物園中一種植物的基因型為AA，AB和BB.現(xiàn)計劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代，試預(yù)測，若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況。 2模型假設(shè)（1）按問題分析，后代從上一代親體中繼承基因A或B是等可能的,即有雙親體基因型的所有可能結(jié)合使其后代形成每種基因型的概率分布情況如表1。下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21表1(2) 以和分別表示第n代植

3、物中基因型為AA，AB和BB的植物總數(shù)的百分率，表示第n代植物的基因型分布，即有 (1)特別當(dāng)n=0時，表示植物基因型的初始分布(培育開始時所選取各種基因型分布)，顯然有3模型建立注意到原問題是采用AA型與每種基因型相結(jié)合，因此這里只考慮遺傳分布表的前三列。首先考慮第n代中的AA型，按上表所給數(shù)據(jù)，第n代AA型所占百分率為即第n-1代的AA與AA型結(jié)合全部進(jìn)入第n代的AA型，第n-1代的AB型與AA型結(jié)合只有一半進(jìn)入第n代AA型，第n-1代的BB型與AA型結(jié)合沒有一個成為AA型而進(jìn)入第n代AA型，故有 (2)同理，第n代的AB型和BB型所占有比率分別為 (3) (4)將(2)、(3)、(4)

4、式聯(lián)立，并用矩陣形式表示，得到 (5)其中利用(5)進(jìn)行遞推，便可獲得第n代基因型分布的數(shù)學(xué)模型 (6)(6)式明確表示了歷代基因型分布均可由初始分布與矩陣M確定。4模型求解這里的關(guān)鍵是計算.為計算簡便，將M對角化，即求出可逆陣P，使，即有從而可計算 其中為對角陣，其對角元素為M的特征值，P為M的特征值所對應(yīng)的特征向量。分別為 ，故有即得于是 或?qū)憺橛缮鲜娇梢姡?dāng)時，有即當(dāng)繁殖代數(shù)很大時，所培育出的植物基本上呈現(xiàn)的是AA型，AB型的極少，BB型不存在。5模型分析 （1）完全類似地，可以選用AB型和BB型植物與每一個其它基因型植物相結(jié)合從而給出類似的結(jié)果.特別是將具有相同基因植物相結(jié)合，并利用前

5、表的第1、4、6列數(shù)據(jù)使用類似模型及解法而得到以下結(jié)果：這就是說，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情形下，后代僅具有基因AA與BB，而AB消失了。（2）本例巧妙地利用了矩陣來表示概率分布，從而充分利用特征值與特征向量，通過對角化方法解決了矩陣n次冪的計算問題，可算得上高等代數(shù)方法應(yīng)用于解決實際的一個范例。模型 隨機存儲模型1模型背景與問題提出存儲問題的數(shù)學(xué)模型涉及以下的主要經(jīng)濟(jì)變量：1需求量：某種物資在單位時間內(nèi)的需求量，以D表示，如年需求量、月需求量、日需求量。需求量有時是常量，而在許多情況下則是隨機變量，這時它的變化規(guī)律應(yīng)當(dāng)是能夠掌握的。對需求量進(jìn)行科學(xué)地預(yù)測和估計是解決存儲問題的重

6、要依據(jù)。2批量：為補充存儲而供應(yīng)一批物資的數(shù)量稱為批量，以表示.由外部訂貨供應(yīng)的批量稱為訂貨批量；由內(nèi)部生產(chǎn)供應(yīng)的批量稱為生產(chǎn)批量。3 貨點；為補充存儲而發(fā)生訂貨時的存儲水平，以R表示。4備運期：發(fā)生訂貨的時間與實際收到訂貨入庫的時間的間隔。5存儲費：保管存貨的費用，包括存儲所占用資金的利息、倉庫和場地費用、物資的存儲損耗費用、物資的稅金、保險費用等，以表示。6訂貨費：為補充存儲而訂貨所支付的費用，包括準(zhǔn)備和發(fā)出訂貨單的費用、貨物的堆放和裝運的費用等，以K表示。7缺貨損失費：發(fā)生需求時，存儲不能提供而引起的費用，包括利潤的損失、信譽的損失、停工待料的損失以及沒有履行交貨合同的罰款等，以表示。存

7、儲費、訂貨費和缺貨損失費構(gòu)成了庫存的總費用，即總費用=存儲費+訂貨費+缺貨損失費. 使總費用最小是建立和求解存儲模型的主要目標(biāo)。為實現(xiàn)該目標(biāo)，需要確定批量和訂貨點，這就是所謂存儲決策.批量與訂貨點即決策變量.因而存儲模型的主要形式有：總費用=（批量）或總費用=（批量，訂貨點），即F=（）或F=（，R）。為了更具體理解隨機性存儲模型，先來看一個具體實例。2報童問題報童每日早晨從報社以每份報紙0.30元的批發(fā)價購得當(dāng)日的日報，然后以每份0.45元的零售價售出。若賣不完，則每份報紙的積壓損失費為0.30元；若不夠賣，則缺一份報紙造成潛在損失的缺貨損失費為0.15元。該報童對以往的銷量作了連續(xù)一個月的

8、統(tǒng)計，其記錄如表2所示。日需求量D120130140150160頻率P（D）0.150.20.30.250.1表2 銷量統(tǒng)計那么，報童每日應(yīng)訂多少份報紙，才能使總損失費最小？假定報童每日訂報份，并設(shè)當(dāng)日需求量為D，則當(dāng)時，積壓損失費為；當(dāng)時，缺貨損失費為.于是可以將報童訂報的決策與相應(yīng)的總費用如表3所示F DQ P120130140150160平均損失總費用0.150.20.30.250.112001.534.562.95130301.534.52.11406301.53253.61601296306.15表3 訂報的決策與相應(yīng)的總費用從表中可看出，當(dāng)報童每日訂報13

9、0份時，平均損失費用最小，最小損失總費用為2.1元。下面建立這一報童問題模型的數(shù)學(xué)解析式，用求極值的方法求解最小損失總費用。設(shè)平均總費用為，則. （7）為求使最小的值，解下列不等式組：其中 且 上式等價于即故 （8）亦即由于 。可以看到，上述結(jié)果與通過列表得到的結(jié)果是一致的。報童問題是一個離散型問題.若考慮相應(yīng)的連續(xù)型問題，則總費用公式為這里，為一定時期內(nèi)銷售量的概率密度.為求總費用的最小值，令得于是問題的關(guān)鍵成為如何從這個積分等式中求出，其求法通常用迭代法。利用求極值的數(shù)學(xué)方法求解存儲模型，這是解決存儲問題的主要思路。尤其對于連續(xù)型存儲模型，用求極值的方法求解模型就顯得更為有效和更為重要。存

10、儲問題中的隨機性主要由以下兩個因素產(chǎn)生；第一，對物資的需求量經(jīng)常發(fā)生隨機波動；第二，訂貨的到達(dá)時間經(jīng)常發(fā)生隨機性的提前或推遲。3不允許缺貨情形由于需求量是隨機的，所以，可考慮其平均需求量，而且不允許缺貨也只是指在一定置信度下的不允許缺貨。 設(shè)D為年平均需求，則類似于確定性存儲的模型，可得到相應(yīng)的最佳批量如下： （9）這里，K為一次定購費，為該種物資一個單位存儲一年的費用。為在一定置信度下對不缺貨提供安全保證，可將安全庫存量加到正常存貨中以提供所希望達(dá)到的服務(wù)水平（即不缺貨的概率）。這時，有. （10）式中，R為訂貨點，分別為備運期內(nèi)的銷售量L的均值與均方差，為安全庫存系數(shù)，為安全庫存量。安全庫

11、存系數(shù)即為給定置信度下的上100百分位點，其值滿足等式，可通過查概率分布表得到。因此，訂貨策略為，當(dāng)備運期大于零時，若存儲量降低到R，則以為訂貨量進(jìn)行訂貨。例6. 設(shè)某公司訂購一種備件，一次訂貨費為60元，年平均需求量為500件，每件年存儲費為40元，備運期8天，備運期中的銷售量服從均值為15、均方差為2的正態(tài)分布.為使不缺貨的概率達(dá)到99.9%且總費用最小，問訂貨點是多少，每次訂多少件？注意到 D=500件/年，K=60元，=40元，則件.根據(jù)不缺貨的概率達(dá)到99.9%，查正態(tài)分布表得=3，訂貨點為件。故訂貨點為21件，每次訂貨39件。4允許缺貨情形設(shè)同前，為單位缺貨損失費，并設(shè)存儲量降到R

12、時訂貨，訂貨數(shù)量為，備運期中的需求量服從密度為的分布函數(shù)，則在缺貨要補的情況下，訂貨剛到之前的平均存儲量（平均最小存儲量）與訂貨剛到之后的平均存儲量（平均最大存儲量）分別為，則年平均存儲量為 .年平均存儲費為 .年平均訂貨費為KD/Q。當(dāng)備運期中的需求量超過訂貨點R時，就發(fā)生缺貨，因此，缺貨量的均值為.故年平均缺貨損失費為.于是年總費用為 為求的最小值，令 . 可得. （11）由（11）得.故解得最佳批量與訂貨點滿足如下方程組：最佳批量和訂貨點可按以下步驟解出： 取; 將代入(12)求R; 將R=代入(13)求; 將代入(12)。重復(fù)、一直迭代到收斂為止，最后得到的即為最佳值和。設(shè)某公司購進(jìn)某

13、種物資，其年平均需求量為1000件，每件的年存儲費為元，一次訂貨費為10元，缺貨損失費每年每件元，備運期的需求量服從0，200上的均勻分布，試求最佳批量與最佳訂貨點。注意到1000件，10元，元，元。由備運期的需求量服從0，200上的均勻分布可知，其概率密度為f(x)=, x0, 200將其代入（12）式和（13）式。由（12）式，得.即 . （14）由（13）式得 （15）取件，代入（.0）式，得件。將代入（15）式，得。將代入（14）式，得。再將代入（15）式，得。再將代入（14）式，得。因與相等，故得到訂貨點R=192,件。練習(xí)題1 血友病也是一種遺傳疾病，得這種病的人由于體內(nèi)沒有能力生產(chǎn)血凝塊因子而不能使出血停止很有意思的是，雖然男人及女人都會得這種病，但只有女人才有通過遺傳傳遞這種缺損的能力若已