[中考12年]天津市中考數(shù)學(xué)試題分類解析專題12：押軸題4

1、精品資源2001-2012年天津市中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12專題)專題12:押軸題14.(天津市2007年10分)已知關(guān)于X的一元二次方程 X2 +bx + c= X有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 X1,X2, 且滿足 X1 >0 , X2 - X1 > 1 o(1)試證明O0;2(2)證明 b2 >2(b+2c)；(3)對(duì)于二次函數(shù) y = x2+bX+c,若自變量取值為x0 ,其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y0 ,則當(dāng)0 <x0 < X1時(shí)，試比較y0與X1的大小?！敬鸢浮?解：(1)證明將已知的一元二次方程化為一般形式x2 +(b-1)x + c=01 X1,X2是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

2、X1 +X2 =(b -1) , X1 X2 = Co又X1 >0 , X2 X1 >1 , . X2 A % +1 A 0。 O0 o(2)x2 -x1 >1 ，.二(x2 -x1 )2 >1 。(x2 -x1)2 =(x2 +x1)2 -4x1x2 = (b-1)2 -4c= b2 -2b-4c + 1 > 1。b2 -2b -4c>0 ,即 b2 >2(b +2c)。(3)當(dāng)0 <x0 <為時(shí)，有y0 >X|。證明如下：y0 =x2+bx0+c, X12 +bx1+c = x ,y0 -x =X2 +bx0 +c_(xj +bx

3、 +c) =(X0 -xi)(x0 +X1 +b)。< 0 <x0 <x1,x0 -x1 <0。又 x2 -X1 >1，.二 X2 >Xi +1 , X1 +X2 >2X1 +1。. X1 +x2 =-(b-1) ,-(b-1)>2x1 +1o 2x1 +b<0o- 0 <X0 <X1,X0+x1+b<0。由于 x0 -xi <0 , x0 +x1 +b <0 ,(X0 Xi)(X0 +xi +b) >0 ,即 y0 為 >0。當(dāng) 0 < xo < xi 時(shí)，有 yo > xi o

4、【考點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用，【分析】(1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出c與兩根之和、兩根之積的關(guān)系式，利用已知條件就可以證明題目結(jié)論。(2)利用完全平方公式得出 (x2-x1)2 =b2-2b-4c+1> 1即可證明。(3)把x0 , xi分別代入方程得出關(guān)于 yo ,與xi的代數(shù)式，再用作差法比較大小。15.(天津市2008年10分)已知RtA ABC中，ZACB =90*, CA =CB ,有一個(gè)圓心角為45 °, 半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE, CF分別與直線 AB交于點(diǎn)M, N.(I)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ZACB

5、的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，求證： MN2=AM2 + BN 2 ;思路點(diǎn)撥：考慮MN 2 = AM 2 +BN 2符合勾股定理的形式， 需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.可將 ACM 沿直線CE對(duì)折，得 DCM，連DN ,只需證 DN = BN , /MDN =90就可以了.請(qǐng)你完成證明過(guò)程：(n)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時(shí)，關(guān)系式 MN 2 =AM 2+BN 2是否仍然成立?歡迎下載圖I圖2【答案】 解：(I)證明：將4 ACM沿直線CE對(duì)折，得 DCM，連DN,則4 DCM ACM。CD=CA , DM=AM , / DCM= Z ACM , / CDM= / A。又 CA=CB , .1.

6、CD=CB。.Z DCN= / ECF / DCM=45 0 / DCM , / BCN= / ACB / ECF / ACM=90 0-450-Z ACM=45 0 / ACM 。d D DCN= / BCN 。又,.CN=CN, CDNACBN (SAS)。. DN=BN , / CDN= / B。/ MDN= / CDM + / CDN= ZA + Z B=90 0。;在 RtAMDN 中，由勾股定理，得 MN2=DM2+DN2,即 MN2=AM2+BN2。(n)關(guān)系式 mn2=am2+bn2仍然成立，證明如下：W ACM 沿直線 CE 對(duì)折，得 GCM，連 GN,則4 GCMA ACM

7、。CG=CA , GM=AM , / GCM= / ACM , / CGM= / CAM。又 CA=CB , .1. CG=CB。/ GCN= / GCM + / ECF= / GCM + 450,/ BCN= / ACB / ACN=90 0 (/ ECF / ACM ) =450+ / ACM。/ GCN= / BCN 。C又. CNmCN,CGNACBN (SSS)。 .GN=BN, /CGN=/B=450,'、C CGM= / CAM=180 0-Z CAB=135 0。/X B/ MGN= / CGM / CGN=1350 1350=900。F;在 RtAMGN 中，由勾股定

8、理，得 MN2=GM2+GN2,即 MN2=AM2+BN2。【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】(I )考慮MN2=AM 2+ BN2符合勾股定理的形式， 需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.可將 ACM沿直線CE對(duì)折，得 DCM，連DN ,只需證 DN=BN , / MDN=9°0即可。(II)同(I ),將 ACM 沿直線 CE 對(duì)折，得 GCM，連 GN ,則 GCM ACM。然后由勾股定理即可證明。216.(天津市2008年10分)已知拋物線 y=3ax +2bx+c ,(I )若a =b =1 , c =-1 ,求該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(n

9、)若a=b =1 ,且當(dāng)-1 <x<1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求 c的取值范圍；(出)若a +b +c =0 ,且Xi =0時(shí)，對(duì)應(yīng)的y1 >0 ； x2 =1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y2 >0 ,試判斷當(dāng)0 cx <1時(shí)，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由.【答案】解：(I)當(dāng)a=b=1, c = 1時(shí)，拋物線為y=3x2+2x1,21,方程 3x +2x -1 =0 的兩個(gè)根為 x1= -1, x2 二一，3，該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(1, 0)和(，0)。3(n) 當(dāng)a= b=1時(shí)，拋物線為y=3x2+2x+c,且與x軸有公共

10、點(diǎn)，2 一 .1，對(duì)于萬(wàn)程3x +2x+c=0,判別式4=4120。有cE。31O 11當(dāng)c=一時(shí)，由方程3x +2x+- =0,解得x1=x2=-.33311此時(shí)拋物線為y=3x +2x+與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(，0)。331-當(dāng) c< 一 時(shí)，x1= -1 時(shí)，y1 =3-2+c = 1+c , x2=1 時(shí)，y2 = 3+2+c = 5+c 。3由已知_1<x<1時(shí)，該拋物線與 x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為x =-,3,y1 =1+c _0.-應(yīng)有r1,解得-5 < c < -1 oy2 =5+c> 0，一1綜上,x =或-5<cM1。3

11、(m)當(dāng)0Vx<1時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，證明如下：2對(duì)于一次函數(shù)y =3ax +2bx+c ,由已知 x1=0 時(shí)，y1=c>0; x2=1 時(shí)，y0 =3a+2b+c> 0 ,又 a+b+c=0,3a+2b+c =(a+b+c)+2a+b =2a+b。于是 2a+b>0. 而b=ac, /. 2aac>0,即 ac>0。/. a > c> 0 o.關(guān)于x的一元二次方程3ax2+2bx+c = 0的判另ij式222. ：=4b -12ac=4 a+c)-12ac=4ga-c +ac > 0，拋物線y =3ax2+2bx+c與x軸有兩

12、個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在 x軸下方。又該拋物線的對(duì)稱軸x=-,由a + b + c=0, c> 0 , 2a+b> 0 ,得3a-2a < b < - ao,1b 2< <。33a 3又由已知 x1=0 時(shí)，y1=c>0; x2=1 時(shí)，y0 =3a+2b+c> 0 ,觀察圖象,可知在0< x < 1范圍內(nèi)，該拋物線與 x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)?！究键c(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與 x軸的交點(diǎn)，一元二次方程根的判別式，解不等式?！痉治觥浚↖）把 a=b=1, c= 1代入y=3ax2+2bx+c導(dǎo)拋物線的函數(shù)表達(dá)式，令3x2+2x1=0,即可得該拋物線

13、與 x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)。（n）考慮當(dāng)a=b=1時(shí)，拋物線與x軸有公共點(diǎn)，故對(duì)于方程 3x2 +2x+c =0,判別111 式4 >Q彳# c<-o然后分c =和c< 兩種情況討論即得。333（出）由已知證出a>c>0,然后根據(jù)方程3ax2+2bx+c = 0根的判另1式4> 0得到拋物線y =3ax2+2bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且頂點(diǎn)在 x軸下方的結(jié)論。最后根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的位置和已知 x1=0時(shí)，y1=c>0； x2=1時(shí)，y0 =3a+2b+c> 0 ,得出在0<x<1范圍內(nèi),該拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)的結(jié)論。17.（天津市20

14、09年10分）已知一個(gè)直角三角形紙片OAB ,其中.AOBK0,O A,2OB4如圖,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片,折痕與邊OB交于點(diǎn)C ,與邊AB交于點(diǎn)（I ）若折疊后使點(diǎn) B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo);（n）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B',設(shè)OB' = x, OC = y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定 y的取值范圍;（出）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B",且使B"D / OB ,求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).O' A X【答案】解：（I ）如圖，折疊后點(diǎn) B與點(diǎn)A重合，則 AACD 里 ABCD。設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, m/m>

15、0）,則 BC =OB -OC =4 m。AC =BC =4-mo在RtMOC中，由勾股定理，得 AC2 =OC2 +OA2 , 22_ 22即（4m） =m +2 ,解得 m = 一。3圖.點(diǎn)C的坐標(biāo)為i。，21。 3(n)如圖，折疊后點(diǎn) B落在OA邊上的點(diǎn)為B，,則 AB'CD 里 ABCD。由題設(shè) OB'=x, OC = y ,則 B C = BC = OB -OC = 4 y。在RtiB'OC中，由勾股定理，得B'C2 = OC2+OA2 ,即.222(4 -y 廣y +x ,y= -1 x2 +2。8由點(diǎn)B'在邊OA上，有0 MxM2,1 2_

16、，解析式y(tǒng)= - x +2 (0WxW2)為所求。8當(dāng)0Ex<2時(shí)，y隨x的增大而減小， y的取值范圍為3 < y <2 o 2(出)如圖，折疊后點(diǎn) B落在邊OA上的點(diǎn)為B",且B"D / OB ,則/OCB" =NCB"D。又.NCBD =/CB"D , ZOCB" =/CBD oCB" / BA oRtACOB" s RUBOA。OB" OCOA OB，得 OC = 2OB"。在 R3COB"中，設(shè) OB"> 0 ),則 OC =2x。12o由(n

17、)的結(jié)論，得 2xo= xo+2,即 x02+16x016=08xo > 0, . xo = -8+46。.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(o, 8M516 )。【考點(diǎn)】折痕對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥?I)由折痕對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)證 MCD里ABCD，得AC = BC ,從而根據(jù)勾股定理可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)。(n)由折痕對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)證AB'CD里ABCD ,得BC =BC ,從而根據(jù)勾股定理列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍。(m)由折痕對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)證RUCOB" s RUBOA ,OB&q

18、uot; OC得二,從而得OA OBOC = 2OB",結(jié)合(n)的結(jié)論，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)。P為方程y1 y2 = 0的2.18.(天津市 2009 年 10分)已知函數(shù) y1 =x, y2 = x +bx+c, a, 兩個(gè)根，點(diǎn)M (t, T )在函數(shù)y2的圖象上.41-1(I )右a = p = 求函數(shù)y2的解析式;322(n )在(I )的條件下，若函數(shù) X與y2的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為 A, B ,當(dāng) ABM的面積為1 3時(shí)，求的值;123T, a, P三者之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理(出)若0<o( c P <1,當(dāng)0 <t <1時(shí)，試確定由.【答案】解：(

19、I)y1=x, y2 = x2+bx + c,1-1將a = - p =分別代入32x2 +(b-1 )x + c=0 ,得(.3；12 11-3 b T c=01-2 b -1c=0八1 b =6 解得66 。1 c=6，函數(shù)y2的解析式為y2 =x2 1x6(H)由已知,2_得 AB=，設(shè)ABM6的高為-12 .1 S Abm AB h :h = 21212即 S. ABM12,1AB h = h =-3 。2222h =144根據(jù)題意，T -t =q2h ,即t2 _ 5t十1二166 14411,5十 二一 時(shí)，解得 t=t2=；當(dāng)t25t 6614412115- 252+ _ =一時(shí)

20、解得 t3=" , t4="。6 144312412的值為9或T或51巨。121212(ni)由已知，得 c(=c(2+ba+c, P = P2+bB+c, T=t2+bt + c,T -cc =(t -a J(t +a +b ), T -P =(t -B Xt + P +b ),a -P =(a2 +b« +c)-(P2 +bP + c), 化 簡(jiǎn)，得(a -班 1 )+P= -01.0<a<P<1, .1.a-P0o a+P+b-1=0 o有 a+b = 1 一P>0, P+b=1-a>0。又.0<t<1, .t+a+

21、b>0, t + P+b>0。.當(dāng) 0 <t <a 時(shí)，T <a < P ;當(dāng) ot <t WP 時(shí)，a <T <P ;當(dāng) P <t <1 時(shí)，a <P <T o【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。1-1【分析】(I )通過(guò)把a(bǔ) =-，P = 一分別代入y _ y2 = 0 ,確定b c的值而求得函數(shù) V2的 32解析式。(n)關(guān)鍵在于明確|T -1 =、2h這一等量關(guān)系才能求得的值。(出)比較T, «, P的大小需要正確理解 0<口 <P &l

22、t;1及0<t c1在整式變形中分類應(yīng)用。19.（天津市2010年10分）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA =3 , OB =4 , D為邊OB的中點(diǎn).（I）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；（II）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).，BC=3, DO=DO=2, DB=6。二1【答案】解：（I）如圖OE乍點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱E D',連接CD'與x軸交于點(diǎn)E,連接DE。 在邊OA上任取點(diǎn)E'（與點(diǎn)E不重合），連接

23、CE'、DE'、D'E '。由 DE'+CE' = DE'+CE'>CD' = D'E +CE=DE +CE 可知 CDE 的周長(zhǎng)最小。在矩形OACB中，OA =3 , OB =4 , D為OB的中點(diǎn),. OE / BC,RtA DOE sRt DBC ,有 OE =DOBC DBD O BC OE =D B點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）。（n ）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D ',在CB邊上截取CG =2 ,連接D'G與x軸交于點(diǎn)E ,在EA上截取EF=2。 . GC / EF, GC =EF ,

24、四邊形GEFC為平行四邊形，有 GE =CF 。又 DC、EF的長(zhǎng)為定值， 此時(shí)得到的點(diǎn) E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小。 OE / BC, RtA DOE RtA DBG ,有 OE =DOBG D BDO BG DO （BC -CG） 2 1 1OE =-=一。DBDB 6317OF =OE +EF = +2 =。33.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1, 0）,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（7,0）。33【考點(diǎn)】軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚↖）作點(diǎn) D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD與x軸交于點(diǎn)E,連接DE。則此時(shí) CDE的周長(zhǎng)最小。據(jù)此由 RtA

25、D OE s RtA D BC ,得對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出點(diǎn) E的坐標(biāo)。（n）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',在CB邊上截取CG=2,連接DG與x軸 交于點(diǎn)E ,在EA上截取EF=2。則此時(shí)四邊形 CDEF的周長(zhǎng)最小。據(jù)此由RtA DOE srd'BG，得對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出點(diǎn) E、F的坐標(biāo)。220.（天津市2010年10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x +bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B （點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn) C ,頂點(diǎn)為E.（I ）若b =2 , c =3 ,求此時(shí)拋物線頂點(diǎn) E的坐標(biāo)；（n）將（I）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿

26、足Sabce =Sa ABC ,求此時(shí)直線BC的解析式；（出）將（I）中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形ABEC 中滿足Sa bce = 2sAOC,且頂點(diǎn)E恰好落在直線y=Yx+3上，求此時(shí)拋物線的解析式 .【答案】解：（I）當(dāng)b=2, c=3時(shí)，拋物線的解析式為 y=x2+2x+3 = （x1）2+4,拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,4)。(n)將(I)中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱軸x=1上，2，設(shè)拋物線的斛析式為 y=_(x1) +m ( m >0) (. m < 0時(shí)拋物線與x軸無(wú)兩個(gè)交點(diǎn))。此時(shí)，拋物線與 y軸的交點(diǎn)為C(0, m_1),頂點(diǎn)為E(1, m)。一方

27、程 y - _(x -1)2m 的兩個(gè)根為 x1 =1 、，m , x2 =1 +?m ,，此時(shí)，拋物線與 x軸的交點(diǎn)為 A(1 m, 0) , B(1+Jm, 0)。如圖，過(guò)點(diǎn) E作EF / CB與x軸交于點(diǎn)F ,連接CF ,貝U SaBCE = SA BCF°盤=唱，解得m=；(用換元法求解，令z=v-m ) °55點(diǎn) C(0 , -) , B( 0)。42設(shè)直線BC的解析式為y =mx +n ,則51=nm -14 5 + ,解得 j 52。0 m nn直線BC的解析式為y=x+5。242.4(出)設(shè)拋物線的解析式為 y=-(x-h)2+k (h>0, kA0)

28、(否則與題意不符)，則拋物線的頂點(diǎn)為E(h, k),拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0, h2+k),與x軸的交點(diǎn)為A(h0),B(hk, 0)(限>h >0 )(否則拋物線與y軸無(wú)交點(diǎn))過(guò)點(diǎn)E作EF / CB與x軸交于點(diǎn)F ,連接CF ,則Sce = S4bcf。Sabce = 2Saaoc ,Sabcf = 2Saaoc ,得 BF =2AO = 2Qk h)。1設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)D ,則DF =- AB +BF =3、：k -2h 。 2.由 RtAEDFRtACOB ,有 ED =C°。kk -h =3 k -2hDF OB2h2 5kh+2k =0= (2

29、h-k jh200。. h 2衣=0 與 qkh >0 不符，h=2jk。2點(diǎn) E(h, k)在直線 y=-4x+3上，有 k=Uh+3。1 -k =U 耳”；k +3= k +2衣3=0=(衣+3X*k -1 =0= %k 1=0= k=1 。1 一 1 h =一、k=。2 2，拋物線的解析式為y = _(x_1)2+1即y=x2+x+3。 24【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)，解方程和方程組，平行的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?I)將b=2, c =3代入后化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。(n)根據(jù)平移的性質(zhì)

30、，上下平移只有縱坐標(biāo)變化，故設(shè)拋物線的解析式為 2y = _(x -1) +m。根據(jù)平行線間三角形等高的性質(zhì)，E作EF/ CB與x軸交于點(diǎn)F ,連接CF ,則Sa bce= Sabcf。5由已知 Sa bce = S"bc 得 BF =AB=2jm 。然后，根據(jù) RtA EDF< RtA COB ,求得 C(0 ,-),4B( -, 0)。用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)直線BC的解析式。2(出)根據(jù)平移的性質(zhì)，設(shè)拋物線的解析式為y = (xh)2+k ( h>0 , k>0)。仿(n),由RtAEDFRtACOB,求得h, k的關(guān)系h=14k ,將其代入直線方程， 求得，

31、h, k 2即可得此時(shí)拋物線的解析式。21.(天津市2011年10分)在平面直角坐標(biāo)系中. 已知O坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)A(3. 0), B(0, 4).以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把 ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得 ACD .記旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角為 / ABO為日(I)如圖，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn) D恰好落在AB邊上時(shí).求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(n )如圖，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足 BC / x軸時(shí).求a與3之聞的數(shù)量關(guān)系；(m)當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足/ AOD邛 時(shí).求直線CD的解析式(直接寫出即如果即可)，圖圖【分析】(I)作輔助線DM，X軸，由勾股定理求出 AB的長(zhǎng)，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例 的性質(zhì)即可求出。(n)由旋轉(zhuǎn)的 性質(zhì)，知/ ABC= /ACB ,由三角形三

32、內(nèi)角和1800的定理可得 a =180° 2y ABC。又由于 BC / X軸，可得/ ABC=90°從而a =2隊(duì)而的關(guān)系。如圖1,連接BD ,作DFX軸于F。由/ AOD= /ABO 可證 AOBADB ,/ ADB= / AOB=90 0。又: / ADC=90 0,B 在直線 CD 上?？稍O(shè)直線 CD方程式為y=kx+4。由 AOEs abo 得 OEOBOAOA OB二 OE 二ABAB3 4 12 h55,24OD 。596 a= ,解之得 25,72 b二,25設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則有4 . . _ _=312DFs 怩AO)f2 M5代入直線 CD方程y

33、=kx+4,得k=二。.直線CD的解析式為y =工x+4。2424同樣考慮/ AOD在X軸下方的情況，如圖2,可得直線CD的解析式y(tǒng)=x-4o241 2,22.(天津市2011年10分)已知拋物線 G： y=x x+1.點(diǎn)F(1, 1). 2(I )求拋物線Ci的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(n )若拋物線Ci與y軸的交點(diǎn)為 A.連接AF,并延長(zhǎng)交拋物線 Ci于點(diǎn)B,求證：1 12AF BF拋物線C1上任意一點(diǎn)P ( xP, yP) ) (0<xP <1).連接PF.并延長(zhǎng)交拋物線 C111于點(diǎn)Q( xQ, yQ),試判斷 '+'=2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由； PF QF12(田)將拋物

34、線C1作適當(dāng)?shù)钠揭?得拋物線C2 : y2=(xh) ，若2cxMm時(shí).y2Mx 2恒成立，求m的最大值.1 O1 O 11【答案】解：(I)： y1 =x2x+1= (x1)2+, 拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 一).2 222(II)根據(jù)題意，可得點(diǎn)A(0,1)J-F(1,1).，AB / x軸.得斗11 八AF=BF=1 , 十=2 AF BF小11十=2成立.理由如下： PF QF如圖，過(guò)點(diǎn)P ( xp, yp )作PM ±AB于點(diǎn)M ,則FM= 1 -xP , PM=1yP (0<xP<1)。.RtPMF 中，有勾股定理，得 PF2 =FM2+PM2 = (1x

35、P)2+(1 yP)2111.9又點(diǎn) P (xp, Yp)在拋物線 C1 上，得 yP =-(改 一1) +-，即(xp1) =2yP1 22- PF2=2yp1+(1yp)2=yp2,即 PF = yp。過(guò)點(diǎn)Q(%, Yq)作QNAB,與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) N可 得 QF =yQ/ PMF= / QNF=90° , / MFP= / NFQ , . PMFA QNF。PFPMQF QN，這里 PM =1 yP =1PF , QN =yQ T =QF1。PF 1-PFQF =QF -111一 +PF QFo（m）令y3=x,設(shè)其圖象與拋物線C2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xo , Xo ,且Xo&

36、lt;Xo ,拋物線C2可以看作是拋物線1 2 ,，一,y 二X2左右平移得到的,2觀察圖象.隨著拋物線 C2向右不斷平移，Xo, Xo的值不斷增大,當(dāng)滿足2 <X <m , y2WX恒成立時(shí)，m的最大值在X'當(dāng)Xo =2時(shí).所對(duì)應(yīng)的Xo即為m的最大值。1 ,.、21、2 一.,.將 Xo =2 甲入（x h） =x，得（2 h） =2。 22解得h =4或h =。（舍去）。.1 . 21 . 一 2y2 =（x -4）。此時(shí)，> 得 一（x 4） = X。2 2解得 xo =2 , xo =8。，m的最大值為8?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，拋物線的性質(zhì)，勾股定理，相似三

37、角形的判定和性質(zhì)， 解一元二次方程。2【分析】（I）只要把一次函數(shù)變形為 y=a（x-m） +n的形式即可。（II）求出AF和BF即可證明。應(yīng)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求出PF和QF即可。（出）應(yīng)用圖象平移和拋物線的性質(zhì)可以證明。23. （2012天津市10分）已知一個(gè)矩形紙片 OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A （11,。），點(diǎn)B （。，6）,點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn) O、P 折疊該紙片，得點(diǎn) B'和折痕OP.設(shè)BP=t.（I）如圖，當(dāng)/ BOP=3oo時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（n）如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB'上

38、，得點(diǎn)C'和折痕PQ,若AQ=m,試用含有t的式子表示m；（出）在（n）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C”恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.處取得。圖象平移,在RtAOBP中，由/BP=t,得 OP=2t。BOP=30 ,- OP2=OB2+BP2,即(2t) 2=62+t：解得：t1=2*5t2= 2>/3 (舍去).點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2、3（n） OB P、AQ（C P分別是由 OBP、AQCP折疊得到的, .OB PAOBP, QC QCPo ./ OPB =/OPB, /QPC=/QPC。. / OPB +/OPB+/ QPC+/QPC=180 , . . / OPB+/

39、 QPC=90 。. / BOP+/OPB=90 , ./ BOP= /CPQ。又. / OBP=Z C=90 ,OBPA PCQoOB BPPC CQ由題意設(shè)BP=t, AQ=m,BC=11 , AC=6 ,貝U PC=11-t, CQ=6 - m .11 -t 6 -m1 2 11。-m=-tt+6 (0vtv11)。66（出）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11 一"136）或（蟲運(yùn)【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚↖）根據(jù)題意得，/OBP=90 , OB=6,在 RtAOBP 中，由/ BOP=30 , BP=t,

40、得OP=2t,然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（n ）由OB' P、QC P 分別是由OBP、AQCP 折疊得到的，可知 OB OBP, QC QCP,易證得 OBPsPCQ,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（出）首先過(guò)點(diǎn)P作PEXOA于E,易證得 PC D C QA由勾股定理可求得 C' Q的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與m =112 -11 t+6 ,即可求得t的值:66過(guò)點(diǎn) P 作 PE± OA 于 E,PEA=/QAC =90°。PCE吆 EPC =90°o/ PCE吆 QC A=90° ,/ EPC =Z QC A。.PCPE PCD C QA工=二。AC CQ. PC =PC=1 卜 t, PE=OB=6 , AQ=m , C' Q=CQ=6- m,B0ACCQ2 -AQ2=< 36 12m 。11 -t36 -12m6 -m11 -t 6 -m11 -t6 - m636 -12m62一，即 3612m二t 。 t1 2 11m =-t t +6 代入6611+ 13并化簡(jiǎn)，