獨立性檢驗的思想及應用

1、2021-10-31鄭平正 制作3.2獨立性檢驗的獨立性檢驗的基本思想及其初基本思想及其初步應用步應用高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修2-3 第三章第三章 統(tǒng)計案例統(tǒng)計案例2021-10-31鄭平正 制作問題問題: 數(shù)學家龐加萊每天都從一家面包店數(shù)學家龐加萊每天都從一家面包店買一塊買一塊1000g 的面包，并記錄下買回的面的面包，并記錄下買回的面包的實際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學家發(fā)包的實際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設(shè)假設(shè)“面包份量足面包份量足”，則一年購買面包的質(zhì)量

2、數(shù)據(jù)，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應該不少于的平均值應該不少于1000g ；“這個平均值不大于這個平均值不大于950g”是一個與假設(shè)是一個與假設(shè)“面包份量面包份量足足”矛盾的小概率事件；矛盾的小概率事件；這個小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果這個小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。2021-10-31鄭平正 制作一一: :假設(shè)檢驗問題的原理假設(shè)檢驗問題的原理 假設(shè)檢驗問題由兩個互斥的假設(shè)構(gòu)成，其假設(shè)檢驗問題由兩個互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個叫做原假設(shè)，用中一個叫做原假設(shè)，用h0表示；另一個叫做備表示；另一個叫做備擇假設(shè)，用擇假設(shè)，用h1表示。表示。例如，在前面的例子中，例如，在前面的例子中

3、， 原假設(shè)原假設(shè)為：為： h0：面包份量足，：面包份量足，備擇假設(shè)備擇假設(shè)為：為： h1：面包份量不足。：面包份量不足。這個假設(shè)檢驗問題可以表達為：這個假設(shè)檢驗問題可以表達為： h0：面包：面包份份量足量足 h1：面包：面包份份量不足量不足2021-10-31鄭平正 制作二二: :求解假設(shè)檢驗問題求解假設(shè)檢驗問題考慮假設(shè)檢驗問題：考慮假設(shè)檢驗問題： h0：面包分量足：面包分量足 h1：面包分量不足：面包分量不足1. 在在h0成立的條件下，構(gòu)造與成立的條件下，構(gòu)造與h0矛盾的小概矛盾的小概率事件；率事件；2. 如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，就能如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言

4、以一定把握斷言h1成立；否則，斷言沒有成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與h0相矛盾的證據(jù)。相矛盾的證據(jù)。求解思路：求解思路：2021-10-31鄭平正 制作2 2定量變量回歸分析（畫散點圖、相關(guān)系數(shù)r、定量變量回歸分析（畫散點圖、相關(guān)系數(shù)r、變量 相關(guān)指數(shù)r 、殘差分析）變量 相關(guān)指數(shù)r 、殘差分析）分類變量分類變量研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國籍等等。宗教信仰、國籍等等。兩種變量：獨立性檢驗獨立性檢驗

5、本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。2021-10-31鄭平正 制作 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影

6、響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單位：人）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究2021-10-31鄭平正 制作不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計總計98749199651、列聯(lián)表通過圖形直觀判斷兩個分

7、類變量是否相關(guān)：2021-10-31鄭平正 制作不吸煙吸煙00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸煙不吸煙吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例2、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例。2021-10-31鄭平正 制作 上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實是否真的如此呢？患肺癌有關(guān)，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題。來考察這個問題。 現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先

8、假設(shè)為此先假設(shè) h0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計總計a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表 用用a表示不吸煙，表示不吸煙，b表示不患肺癌，則表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價于等價于“吸煙與患肺癌獨立吸煙與患肺癌獨立”，即假設(shè)，即假設(shè)h0等價于等價于 p(ab)=p(a)p(b).2021-10-31鄭平正 制作因此因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；越小，說明吸

9、煙與患肺癌之間關(guān)系越弱； |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強。越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計總計a+cb+da+b+c+dadbc即aa+ba+caa+ba+cnnnnnna+ba+bp(a),p(a),n na+ca+cp(b),p(b),n n.a ap(ab)p(ab)n n其中為樣本容量，即n = a+b+c+dn = a+b+c+d在表中，在表中，a恰好為事件恰好為事件ab發(fā)生的頻數(shù)；發(fā)生的頻數(shù)；a+b和和a+c恰好分別為事恰好分別為事件件a和和b發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在

10、發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在h0成立的條成立的條件下應該有件下應該有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c),2021-10-31鄭平正 制作 為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分析，我們構(gòu)造一個隨機變量析，我們構(gòu)造一個隨機變量-卡方統(tǒng)計量卡方統(tǒng)計量22(),()()()()其中為樣本容量。n adbckab cdac bdnabcd（1） 若若 h0成立，即成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則，則k2應很小。應很小。根據(jù)表根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算得到）計算得到

11、k2的觀測值為：的觀測值為：那么這個值到底能告訴我們什么呢？那么這個值到底能告訴我們什么呢？242 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）（2） 獨立性檢驗獨立性檢驗2021-10-31鄭平正 制作在在h0成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率 即在即在h0成立的情況下，成立的情況下，k2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(6.635)0.01.p k （2） 也就是說，在也就是說，在h0成立的情況下，對隨機變量成立的情況下，對隨機變量k2進行多次觀進行多次觀測，觀測值

12、超過測，觀測值超過6.635的頻率約為的頻率約為0.01。思考 206.635?kh如果，就斷定不成立，這種判斷出錯的可能性有多大答：判斷出錯的概率為0.01。2009965 7775 49 42 2099566327817 2148 9874 91().khh 現(xiàn)現(xiàn)在在觀觀測測值值太太大大了了，在在成成立立的的情情況況下下能能夠夠出出現(xiàn)現(xiàn)這這樣樣的的觀觀測測值值的的概概率率不不超超過過0 0. .0 01 1，因因此此我我們們有有9 99 9% %的的把把握握認認為為不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握認認為為“吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌有有關(guān)關(guān)系系”。2021-10-31鄭平

13、正 制作判斷判斷 是否成立的規(guī)則是否成立的規(guī)則0h如果如果 ，就判斷，就判斷 不成立，即認為吸煙與不成立，即認為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷 成立，即認為吸煙成立，即認為吸煙與患肺癌沒有關(guān)系。與患肺癌沒有關(guān)系。6.635k 0h0h獨立性檢驗的定義獨立性檢驗的定義 上面這種利用隨機變量上面這種利用隨機變量k2來確定在多大程度上來確定在多大程度上可以認為可以認為“兩個分類變量有關(guān)系兩個分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩的方法，稱為兩個分類變量的個分類變量的獨立性檢驗獨立性檢驗。在該規(guī)則下，把結(jié)論在該規(guī)則下，把結(jié)論“ 成立成立”錯判成錯判成“ 不不成立成立”的概率不會差過

14、的概率不會差過0h0h2(6.635)0.01,p k 即有即有99%的把握認為的把握認為 不成立。不成立。0h獨立性檢驗的基本思想（類似獨立性檢驗的基本思想（類似反證法反證法）(1)(1)假設(shè)結(jié)論不成立假設(shè)結(jié)論不成立, ,即即 “兩個分類變量沒有關(guān)系兩個分類變量沒有關(guān)系”. .0:h(2)(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機變量在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機變量 k k2 2 應該很小應該很小, ,如果由如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到觀測數(shù)據(jù)計算得到k k2 2的觀測值的觀測值k k很大很大, ,則在一定可信程度上則在一定可信程度上說明說明 不成立不成立. .即在一定可信程度上認為即在一定可信程度上認為“兩

15、個分類變量有兩個分類變量有關(guān)系關(guān)系”；如果；如果k k的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對對 的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0h0h(3)(3)根據(jù)隨機變量根據(jù)隨機變量k k2 2的含義的含義, ,可以通過它評價該假設(shè)不合理可以通過它評價該假設(shè)不合理的程度的程度, ,由實際計算出的由實際計算出的, ,說明假設(shè)不合理的程度為說明假設(shè)不合理的程度為99%,99%,即即“兩個分類變量有關(guān)系兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.99%.2021-10-31鄭平正 制作怎樣判斷怎樣判斷k k2 2的觀測值的觀測值k是大還是

16、小呢？是大還是小呢？ 這僅需要確定一個正數(shù)這僅需要確定一個正數(shù) ，當，當 時就認為時就認為k k2 2的觀測的觀測值值 k大。此時相應于大。此時相應于 的判斷規(guī)則為：的判斷規(guī)則為：0k0kk0k如果如果 ，就認為，就認為“兩個分類變量之間有關(guān)系兩個分類變量之間有關(guān)系”；否則；否則就認為就認為“兩個分類變量之間沒有關(guān)系兩個分類變量之間沒有關(guān)系”。0kk0k-臨界值臨界值按照上述規(guī)則，把按照上述規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關(guān)系兩個分類變量之間沒有關(guān)系”錯誤的判斷錯誤的判斷為為“兩個分類變量之間有關(guān)系兩個分類變量之間有關(guān)系”的概率為的概率為p( ).20kk在實際應用中，我們把在實際應用中，我們把

17、 解釋為有解釋為有的把握認為的把握認為“兩個分類變量之間有關(guān)系兩個分類變量之間有關(guān)系”；把；把 解釋為解釋為不能以不能以 的把握認為的把握認為“兩個分類變量兩個分類變量之間有關(guān)系之間有關(guān)系”，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“兩個分類變量兩個分類變量之間有關(guān)系之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0kk20(1() 100%p kk0kk20(1() 100%p kk2021-10-31鄭平正 制作在實際應用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：在實際應用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：0.500.400.250.150.100.455 0.7081.3232

18、.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.841 5.0246.6367.87910.8280)k2p(k0k0k0)k2p(k具體作法是：具體作法是：(1)根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值 ；(2)利用公式利用公式(1)，由觀測數(shù)據(jù)計算得到隨機變量，由觀測數(shù)據(jù)計算得到隨機變量 的觀測值；的觀測值；(3)如果如果 ，就以，就以 的把握認為的把握認為“x與與y有關(guān)系有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“x與與y有關(guān)系有關(guān)系”的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0k2k0kk20(1() 100%p kk202

19、1-10-31鄭平正 制作第一步：第一步：h h0 0： 吸煙吸煙和和患病患病之間沒有關(guān)系之間沒有關(guān)系 患病患病不患病不患病總計總計吸煙吸煙a ab ba+ba+b不吸煙不吸煙c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d第二步：列出第二步：列出2 22 2列聯(lián)表列聯(lián)表 獨立性檢驗的步驟獨立性檢驗的步驟第三步：計算第三步：計算第四步：查對臨界值表，作出判斷。第四步：查對臨界值表，作出判斷。)()()()(22dcbadbcabcadnkp(k kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.45

20、5 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282021-10-31鄭平正 制作反證法原理與假設(shè)檢驗原理對比反證法原理： 在一個已知假設(shè)下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗原理：在一個已知假設(shè)下，如果一個與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設(shè)不成立。2021-10-31鄭平正 制作例例1 在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有名男性病人中，有214人禿頂；而另外人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人

21、禿頂。利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)？能否在犯人禿頂。利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)？能否在犯錯誤的概率不超過錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂和患心臟病有關(guān)系？的前提下認為禿頂和患心臟病有關(guān)系？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437其中深色條的高分別表示禿頂其中深色條的高分別表示禿頂和不禿頂樣本中患心臟病的頻和不禿頂樣本中患心臟病的頻率。比較兩圖中深色條的高度率。比較兩圖中深色條的高度可以發(fā)現(xiàn)，禿頂樣本中患心臟可以發(fā)

22、現(xiàn)，禿頂樣本中患心臟病的頻率明顯高于不禿頂樣本病的頻率明顯高于不禿頂樣本中患心臟病的頻率，因此認為中患心臟病的頻率，因此認為“禿頂與患心臟病有關(guān)禿頂與患心臟病有關(guān)”。0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%禿頂不禿頂不患心臟病患心臟病2021-10-31鄭平正 制作例例1 在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有名男性病人中，有214人禿頂；而另外人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂。利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)？能否在犯人禿頂。利用圖形判斷禿頂與患

23、心臟病是否有關(guān)？能否在犯錯誤的概率不超過錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂和患心臟病有關(guān)系？的前提下認為禿頂和患心臟病有關(guān)系？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437 根據(jù)聯(lián)表根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到中的數(shù)據(jù)，得到221437 (214 597 175 451)16.3736.635.389 1048 665 772k所以在犯錯誤的概率不超過所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂與患的前提下認為禿頂與患心臟病有關(guān)

24、系。心臟病有關(guān)系。2021-10-31鄭平正 制作例1.禿頭與患心臟病 在解決實際問題時，可以直接計算k2的觀測值k進行獨立檢驗，而不必寫出k2的推導過程 。本例中的邊框中的注解，主要是使得學生們注意統(tǒng)計結(jié)果的適用范圍（這由樣本的代表性所決定）。因為這組數(shù)因為這組數(shù)據(jù)來自住院據(jù)來自住院的病人，因的病人，因此所得到的此所得到的結(jié)論適合住結(jié)論適合住院的病人群院的病人群體體2021-10-31鄭平正 制作例例2 為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，在為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機抽取某城市的某校高中生中隨機抽取300名學生，得到如下聯(lián)表：名學生

25、，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學課程喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計總計男男3785122女女35143178總計總計72228300由表中數(shù)據(jù)計算由表中數(shù)據(jù)計算k2的觀測值的觀測值k 4.514。能夠以。能夠以95%的把握認為高的把握認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系嗎？請詳細闡述得出中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系嗎？請詳細闡述得出結(jié)論的依據(jù)。結(jié)論的依據(jù)。解：可以有解：可以有95%以上的把握認為以上的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”。分別用分別用a,b,c,d表示樣本中喜歡數(shù)學課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學課的男生表示樣本中喜歡數(shù)學課的男生

26、人數(shù)、不喜歡數(shù)學課的男生人數(shù)、喜歡數(shù)學課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學課的女生人數(shù)。人數(shù)、喜歡數(shù)學課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學課的女生人數(shù)。如果性別與是否喜歡數(shù)學課沒有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學課的比例如果性別與是否喜歡數(shù)學課沒有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學課的比例 與女生中喜歡數(shù)學課的比例與女生中喜歡數(shù)學課的比例 應該相差很多，即應該相差很多，即aabccd()()acadbcabcdab cd()()()()()abcd ab cdac bd 2021-10-31鄭平正 制作例例2 為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，在為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機抽取某

27、城市的某校高中生中隨機抽取300名學生，得到如下聯(lián)表：名學生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學課程喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計總計男男3785122女女35143178總計總計72228300由表中數(shù)據(jù)計算由表中數(shù)據(jù)計算k2的觀測值的觀測值k 4.514。能夠以。能夠以95%的把握認為高的把握認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系嗎？請詳細闡述得出中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系嗎？請詳細闡述得出結(jié)論的依據(jù)。結(jié)論的依據(jù)。()()()()()abcd ab cdac bd 22(),()()()()n adbckab cd ac bd因此，因此， 越大，越大， “性別與喜歡數(shù)學

28、課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”成立的可能性就越大。成立的可能性就越大。2k另一方面，在假設(shè)另一方面，在假設(shè)“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”的前提下，事件的前提下，事件 的概率為的概率為23.841k 2(3.841)0.05,p k 因此事件因此事件a是一個小概率事件。而由樣本數(shù)據(jù)計算得是一個小概率事件。而由樣本數(shù)據(jù)計算得 的觀測值的觀測值k=4.514,即即小概率事件小概率事件a發(fā)生。因此應該斷定發(fā)生。因此應該斷定“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”成立，成立，并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為5

29、%。所以，約有。所以，約有95%的把握認為的把握認為“性性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”。2k2021-10-31鄭平正 制作例例3.3.在在500500人身上試驗某種血清預防感冒作用，把他們一年中的人身上試驗某種血清預防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外感冒記錄與另外500500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。表所示。未感冒未感冒感冒感冒合計合計使用血清使用血清252248500未使用血清未使用血清224276500合計合計4765241000試畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預試畫出列聯(lián)表的條

30、形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預防感冒的作用？并進行獨立性檢驗。防感冒的作用？并進行獨立性檢驗。解：設(shè)解：設(shè)h0：感冒與是否使用該血清沒有關(guān)系。：感冒與是否使用該血清沒有關(guān)系。075.7500500526474216242284258100022k因當因當h0成立時，成立時，k26.635的概率約為的概率約為0.01，故有，故有99%的把握認的把握認為該血清能起到預防感冒的作用。為該血清能起到預防感冒的作用。p(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841

31、5.024 6.635 7.879 10.8282021-10-31鄭平正 制作p(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828有效有效無效無效合計合計口服口服585840409898注射注射646431319595合計合計1221227171193193解：設(shè)解：設(shè)h0：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系。：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系。3896.19598711224064315819322k因當因當h0成立時，成立時，

32、k21.3896的概率大于的概率大于15%，故不能否定假設(shè)，故不能否定假設(shè)h0，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論。，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論。例例4 4：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關(guān)，進行了相應的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果列與無效）是否有關(guān)，進行了相應的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果列在表中，根據(jù)所選擇的在表中，根據(jù)所選擇的193193個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果和給藥方式有關(guān)的結(jié)論？和給藥方式有關(guān)的結(jié)論？2021-10-31鄭平正 制作p(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828例例5：氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人：氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行對比，員