獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立方法與研究

1、獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立方法與研究【摘要】 坐標(biāo)系統(tǒng)是所有測(cè)量工作的基礎(chǔ)，測(cè)量工作中坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇是一項(xiàng)非常重要的工作，它影響到測(cè)量成果的正確性和可靠性以及工程項(xiàng)目能否順利實(shí)施，而且針對(duì)不同的測(cè)量工作選擇恰當(dāng)?shù)莫?dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)將會(huì)測(cè)量工作事半功倍?！娟P(guān)鍵字】 獨(dú)立坐標(biāo)系 高斯投影帶 抵償高程面 新橢球常數(shù) 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 歸化高程面目錄緒論2第一章 坐標(biāo)系統(tǒng)的建立 5 §11 坐標(biāo)系統(tǒng)的概述 5 §12 長(zhǎng)度改正的計(jì)算 6第二章建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng) 16 §21建立獨(dú)立坐標(biāo)系應(yīng)注意的問題 16 §22建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的方法 21第三章 相鄰?fù)队皫У淖鴺?biāo)換算32

2、67;31概述 32§32換算方法 33 §33計(jì)算新橢球常數(shù) 35第四章 小 結(jié) 38第五章 參考文獻(xiàn)和后記 39緒 論坐標(biāo)系統(tǒng)是所有測(cè)量工作的基礎(chǔ)。所有測(cè)量成果都是建立在其之上的，一個(gè)工程建設(shè)應(yīng)盡可能地采用一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系統(tǒng)。這樣既便于成果通用又不易出錯(cuò)。例如對(duì)于一條線路,如果長(zhǎng)度變形超出允許的精度范圍，我們將建立新的坐標(biāo)系統(tǒng)加以控制。這就涉及到一個(gè)非常關(guān)鍵的問題，既坐標(biāo)系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一。對(duì)于不同的情況，我們可以采用適應(yīng)的方法盡可能建立統(tǒng)一的坐標(biāo)系統(tǒng)，且使其長(zhǎng)度變形在允許范圍之內(nèi)。如果適當(dāng)選擇橢球的半徑，使距離歸算到這個(gè)橢球面上所減小的數(shù)值，恰好等于由這個(gè)橢球面化算至高

3、斯平面所增加的數(shù)值，那么高斯平面的距離同實(shí)地距離就一致了。這就是抵償高程面。對(duì)于高低起伏較大線路，在建立坐標(biāo)系統(tǒng)時(shí)，以測(cè)區(qū)的平均高程為抵償高程面建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。在東西長(zhǎng)度較大的線路測(cè)量將幾個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)數(shù)值統(tǒng)一到一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中來，它是通過旋轉(zhuǎn)和平移而得到。在本文中我將討論如何建立各種坐標(biāo)系統(tǒng)以及坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系。由于地球表面高低不平很不規(guī)則，以及地層內(nèi)部密度的不均勻，地球的運(yùn)動(dòng)等原因，內(nèi)外業(yè)采用了不同的基準(zhǔn)線和基準(zhǔn)面，為了便于野外數(shù)據(jù)的采集與室內(nèi)的計(jì)算，外業(yè)通常采用鉛垂線為基準(zhǔn)線，以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面。而內(nèi)業(yè)計(jì)算時(shí)以參考橢球面為基準(zhǔn)面，以橢球法線為基準(zhǔn)線。因此，使得外業(yè)數(shù)據(jù)與內(nèi)業(yè)計(jì)算的不一

4、致。再加上大多數(shù)工程中采用的是平面直角坐標(biāo)系，這就要將橢球面上的長(zhǎng)度坐標(biāo)等數(shù)據(jù)換算為平面直角坐標(biāo)系。通常的方法是利用高斯克呂格投影來實(shí)現(xiàn)。但是，依據(jù)不同的用途和工程項(xiàng)目，應(yīng)分別采用不同的坐標(biāo)系來滿足工程項(xiàng)目的需要，限制誤差。地球是一個(gè)橢球體，將橢球面上的大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為平面直角坐標(biāo)系不可避免的會(huì)發(fā)生長(zhǎng)度變形，測(cè)區(qū)范圍越大，形變就越大。為了限制長(zhǎng)度變形，國(guó)家控制網(wǎng)通常采用分帶的方法，將投影區(qū)域限制在中央子午線兩旁的狹窄范圍之內(nèi)。我國(guó)規(guī)范規(guī)定：所有國(guó)家的大地點(diǎn)均按高斯正形投影計(jì)算其在帶內(nèi)的平面直角坐標(biāo)。在1：1萬和更大比例尺測(cè)圖的地區(qū)，還應(yīng)加算其在帶內(nèi)的直角坐標(biāo)系。我們通常將這種控制點(diǎn)在帶或帶內(nèi)的

5、坐標(biāo)系稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。高斯投影分帶有效的限制了長(zhǎng)度變形，但是在投影帶的邊緣地區(qū)，其長(zhǎng)度變形仍然達(dá)到了很大的數(shù)值，以至不能適合于城市和工程控制測(cè)量的應(yīng)用。各行業(yè)測(cè)量規(guī)范如公路勘測(cè)規(guī)范、工程測(cè)量規(guī)范、地籍測(cè)量規(guī)范等都規(guī)定了：投影變形應(yīng)滿足1 km邊長(zhǎng)不大于2.5 cm變形精度的要求，即投影變形精度應(yīng)達(dá)到1：4萬的精度。這樣，除了高等級(jí)的控制測(cè)量以外的絕大多數(shù)測(cè)量工作就可不加邊長(zhǎng)投影改正。為了達(dá)到城市和工程建設(shè)的要求，就必須對(duì)長(zhǎng)度變形加以限制，這就要考慮化算至橢球面的改正和投影至高斯平面的改正。一般情況下，可以考慮建立獨(dú)立坐標(biāo)系，目的是減小高程歸化與投影長(zhǎng)度變形產(chǎn)生的影響，將它們控制在一個(gè)微小的范

6、圍，使計(jì)算出來的長(zhǎng)度在實(shí)際應(yīng)用時(shí)（如工程放樣）不需要做任何的改正。獨(dú)立坐標(biāo)系的建立有多種方法，在如何建立獨(dú)立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)考慮到測(cè)區(qū)的實(shí)際情況。在本文中我將討論如何建立各種坐標(biāo)系統(tǒng)以及坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系，各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，以及如何選取獨(dú)立坐標(biāo)系進(jìn)行探討。第一章 坐標(biāo)系統(tǒng)的建立§11 坐標(biāo)系統(tǒng)的概述坐標(biāo)系統(tǒng)是所有測(cè)量工作的基礎(chǔ)，所有測(cè)量成果都是建立在其之上。由于線路測(cè)量的特殊性，坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇相當(dāng)重要。坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇影響到測(cè)量成果的正確性和可靠性。選擇一個(gè)合適的坐標(biāo)系統(tǒng)，它能為工程帶來十分方便的測(cè)量，使工程順利進(jìn)行，反之依然。地面上p的空間位置可用不同的坐標(biāo)系統(tǒng)來表示。一般常用的坐標(biāo)有：天

7、文坐標(biāo)系統(tǒng)，地面上一點(diǎn)p 的坐標(biāo)可表示為（，h常）；大地坐標(biāo)，地面上一點(diǎn)p 的坐標(biāo)可表示為（b，l，h）；空間大地坐標(biāo)，地面上一點(diǎn)p 的坐標(biāo)可表示為（x，y，z）。高斯平面直角坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系統(tǒng)是將橢球面上的各點(diǎn)的大地坐標(biāo)，按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)律投影到平面，并以相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)表示。如一點(diǎn)p的平面坐標(biāo)（x，y），（b，l）為p點(diǎn)在橢球面上相應(yīng)的大地坐標(biāo)，a,b我橢球的長(zhǎng)，短半軸，則他們的關(guān)系為：x=f1（b，l）y=f2（b，l）.其中f1，f2為投影函數(shù)。為了能更好地滿足測(cè)圖和工程測(cè)量需要，我國(guó)目前采用高斯投影平面直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系是由高斯投影即一種等角投影而得，顧名思義，其投影后角度保持不

8、變。其特點(diǎn)有：橢球面上的任意角度投影到平面上保持不變；作為平面坐標(biāo)軸的中央子午線，投影后為一直線，并且是投影后的對(duì)稱軸；中央子午線投影到平面后，其長(zhǎng)度不變。為了減少投影長(zhǎng)度變形，我們把投影區(qū)限定在中央子午線兩旁的狹窄范圍內(nèi)。為此，我們按精度每隔6º或3º用子午線把橢球面分成若干長(zhǎng)條形的投影帶，每一個(gè)投影帶獨(dú)立地投影到投影面上，形成獨(dú)立的坐標(biāo)系，即可減少因投影而產(chǎn)生的變形。目前我國(guó)采用的坐標(biāo)系統(tǒng)一般有三種：北京54坐標(biāo)系，西安80坐標(biāo)系，新北京54坐標(biāo)系。這幾種坐標(biāo)系都是借助一定的觀測(cè)手段，采用一的數(shù)學(xué)方法，在一個(gè)實(shí)在的運(yùn)動(dòng)和變化的物理空間中建立起來的，所以它的定義和描述都是

9、通過以下幾組基準(zhǔn)數(shù)據(jù)來描述和體現(xiàn)的：基本常數(shù)系統(tǒng)；地極及精度零點(diǎn)系統(tǒng)；位置和方位基準(zhǔn)；長(zhǎng)度基準(zhǔn)；高程基準(zhǔn)。以上介紹的均為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系，但在實(shí)際的工程測(cè)量中，有的國(guó)家坐標(biāo)系并不能滿足測(cè)圖及工程測(cè)量的要求，需要建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系。§12 長(zhǎng)度改正的計(jì)算建立獨(dú)立坐標(biāo)系所要考慮的主要因素就是長(zhǎng)度變形的問題，也就是實(shí)際的距離與轉(zhuǎn)化為獨(dú)立坐標(biāo)系中的距離之差要保證能夠滿足足夠小，即確定在一定的允許范圍之內(nèi)，這就是我們通常所說的相對(duì)誤差允許范圍。因此，討論獨(dú)立坐標(biāo)系的建立主要還是討論長(zhǎng)度的變形問題，所以后面的幾種獨(dú)立坐標(biāo)的建立都是圍繞著長(zhǎng)度變形而來的。1.2.1 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值換

10、算到橢球面上有兩項(xiàng)改正計(jì)算：1、將以鉛垂線為準(zhǔn)的大地觀測(cè)方向轉(zhuǎn)化為橢球面上以法線為準(zhǔn)的大地線方向（方位角改正）；2、將地面觀測(cè)邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為橢球面上的大地線長(zhǎng)度（邊長(zhǎng)改正）。1.2.1.1 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面上，有3個(gè)基本內(nèi)容：一是將測(cè)站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的地面觀測(cè)方向轉(zhuǎn)化為橢球面上以法線為基準(zhǔn)的觀測(cè)方向；二是將照準(zhǔn)點(diǎn)沿法線投影至橢球面，換算成橢球面上兩點(diǎn)間的法截線方向；三是將橢球面上的法截線方向換算成大地線方向。1、 垂線偏差改正測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面和基準(zhǔn)線是橢球面及其法線，而觀測(cè)方向的基準(zhǔn)線是測(cè)站點(diǎn)的鉛垂線。為了求得橢球面上以法線為基準(zhǔn)的方向觀測(cè)值，必須在觀測(cè)結(jié)果中加入

11、相應(yīng)的改正數(shù)，它稱之為垂線偏差改正，以表示。垂線偏差改正公式為： （11）其中，a和分別為觀測(cè)的大地方位角和垂直角。由式（11）可知，垂線偏差改正的大小主要取決于測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差和觀測(cè)方向的垂直角。例如在a = 0° 、tan = 0.01 的情況下，當(dāng)=時(shí)，得=0.0；當(dāng)=時(shí)，得=?？梢?，這項(xiàng)改正數(shù)是很小的，只有在國(guó)家一二等三角測(cè)量中，才加入該項(xiàng)改正。2、標(biāo)高差改正由于測(cè)站點(diǎn)和照準(zhǔn)點(diǎn)的兩條法線不在同一平面上，且照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面一定高度時(shí)，從而產(chǎn)生標(biāo)高差。假設(shè)a點(diǎn)為測(cè)站點(diǎn)，b點(diǎn)為照準(zhǔn)點(diǎn)。為簡(jiǎn)單起見，設(shè)a 點(diǎn)就在橢球面上。如果照準(zhǔn)點(diǎn)b高出橢球面某一高度h，在a點(diǎn)照準(zhǔn)b點(diǎn)得出的法截線為a

12、b， b沿法線至橢球面的投影點(diǎn)為b，觀測(cè)方向歸算至橢球面上應(yīng)該是ab方向。這樣，將ab方向換算為ab方向所加入的改正稱為標(biāo)高差改正，以表示。在次不加推導(dǎo)給出的計(jì)算公式： （12）式中，為照準(zhǔn)點(diǎn)的大地緯度；為測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；h為照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程；為測(cè)站點(diǎn)子午圈曲率半徑。假設(shè)=、=，當(dāng)h =200 m 時(shí)，=；當(dāng)h =2000 m 時(shí)，= ?？梢姌?biāo)高差 的數(shù)值很微小，在進(jìn)行局部地區(qū)的控制測(cè)量時(shí)，可不必考慮此項(xiàng)改正。 3、截面差改正經(jīng)過前面兩項(xiàng)改正，已將地面觀測(cè)的水平方向換算為橢球面上的相應(yīng)法截線方向。這時(shí)還需要將法截線方向換算為大地線方向，這項(xiàng)改正叫截面差改正，以表示。假如a到

13、b點(diǎn)的方位角為45度，a，b兩點(diǎn)的平均緯度為45度，即使ab間的距離s=30 km時(shí)，經(jīng)過計(jì)算1，只有。所以，只有在一等三角測(cè)量中，才進(jìn)行截面差改正。綜上所述，上面的三項(xiàng)改正都是比較小的，在不大的測(cè)區(qū)范圍內(nèi)，都是可以不用計(jì)算在內(nèi)的。對(duì)于一般需要建立獨(dú)立坐標(biāo)系的工程，基本上是可以忽略其影響。1.2.1.2 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面地面測(cè)距的結(jié)果，是兩端點(diǎn)之間的直線長(zhǎng)?？臻g直線長(zhǎng)與端點(diǎn)的鉛垂線沒有關(guān)系，可以直接沿端點(diǎn)的法線歸算至橢球面上。為了導(dǎo)出空間直線歸算至橢球面的計(jì)算公式，可以用下圖表示空間直線ab方向的橢球剖面。 圖 11 地面觀測(cè)距離化算至橢球面圖中，d 為連接ab的空間直線長(zhǎng)；s 為ab

14、在橢球面上的投影點(diǎn)ab之間的弧長(zhǎng)。圖中用球面弧長(zhǎng)代替了橢球面上的法截線弧長(zhǎng)。因?yàn)楫?dāng)法截線弧長(zhǎng)達(dá)600 km 時(shí)，用適當(dāng)半徑的球面弧長(zhǎng)代替法截線弧長(zhǎng)，其相對(duì)誤差只有1：2 500 000，此時(shí)球面半徑按公式計(jì)算取1式中，為兩端點(diǎn)之間的平均緯度，處的卯酉圈曲率半徑。若a 、b兩點(diǎn)的大地高分別為和，則由三角形aob按余弦公式可以寫出根據(jù)半角的三角函數(shù)得上式繼而寫為圖中，并設(shè)高差h = -，代入上式得由此可得ab間的弦長(zhǎng) （13）取， ，則可將上式寫得更直觀一些，將上式展開為 （14）上式即為空間直線d 換算為橢球面上弦長(zhǎng)的計(jì)算公式。其次，再將弦長(zhǎng)換算為弧長(zhǎng)s 。由圖11可知： 將上式右端函數(shù)展開成冪

15、級(jí)數(shù)的形式 （15）若將（13）、（14）寫成一個(gè)式子，取s = ，= ，則得 （16）上式右端第一項(xiàng)實(shí)際測(cè)距儀與反射鏡平均高程面上的水平距離；第二項(xiàng)是水平距離換算成橢球面上相應(yīng)弦長(zhǎng)的改正數(shù)；第三項(xiàng)是弦長(zhǎng)換算成橢球面上弧長(zhǎng)的改正數(shù)。因?yàn)闄E球面上的發(fā)截弧與大地線長(zhǎng)度相差甚微，二者可不加區(qū)別，所以經(jīng)過上列換算后的長(zhǎng)度，可以視為橢球面上的大地線長(zhǎng)度。1.2.2 高斯投影與國(guó)家直角坐標(biāo)系地圖投影有很多種，比較適用于控制測(cè)量的是正形投影。正形投影又可根據(jù)不同投影的本身特定條件區(qū)分為很多種，而高斯投影則是正形投影中的一種。我國(guó)數(shù)十年來一直采用高斯投影建立國(guó)家平面直角坐標(biāo)系。對(duì)于高斯投影，我們可以這樣理解：

16、設(shè)想有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球的外面，橢圓柱的中心軸通過橢球中心與橢球的長(zhǎng)軸相一致，此時(shí)橢圓柱面恰與地球的某一子午線相切，該子午線稱作中央子午線。將中央子午線東西各一定范圍內(nèi)的地區(qū)按正行條件投影到橢圓柱面上。如下圖所示。然后將橢圓柱面沿著通過南極和北極的母線展開，即成高斯投影平面，如圖： 圖 12 高斯平面投影示意圖在高斯投影面上，中央形，滿足正行投影要求。 、中央子午線投影后是一條直線。 、中央子午線投影后長(zhǎng)度不變，其投影長(zhǎng)度比恒等于1。高斯投影盡管保持了子午線和赤道的投影都是直線。若以中央子午線與赤道的交點(diǎn)o作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，即x 軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸，即

17、為y 軸，這就形成了高斯平面直角坐標(biāo)系。由上所述可知，形成高斯投影的條件是，也可以說其特性是： 、投影后角度不產(chǎn)生變投影后角度不變，但不能保持長(zhǎng)度不變，有些長(zhǎng)度變形還會(huì)達(dá)到很大，嚴(yán)重制約了高斯投影的應(yīng)用范圍。所以有必要對(duì)高斯投影的長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形作進(jìn)一步的研究。經(jīng)過計(jì)算推導(dǎo)，可以得出用大地坐標(biāo)表示的高斯投影長(zhǎng)度比m公式： （17）為便于實(shí)用，可以進(jìn)一步推求用平面坐標(biāo)表示的高斯投影長(zhǎng)度比公式： （18）其中，r為投影點(diǎn)處的橢球平均曲率半徑，y 為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)。上面的公式將有助于我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和分析高斯投影長(zhǎng)度變形的變化規(guī)律。首先看到，投影長(zhǎng)度比m隨點(diǎn)的位置不同而變化，而在一點(diǎn)處與方向無關(guān)，這和正

18、行投影要求是一致的。當(dāng)y = 0時(shí)，m = 1，即中央子午線投影后長(zhǎng)度不變，這和高斯投影本身?xiàng)l件是一致的。當(dāng)時(shí)，無論y 值為正為負(fù)，m值恒大于 1 ，即離開中央子午線的任何位置，投影到平面上的線段都變長(zhǎng)了。其次還增可以看到，長(zhǎng)度變形（m-1）與成正比的增大，隨著離開中央子午線距離的加，長(zhǎng)度變形急劇增大。若取r = 6371 km，根據(jù)上式可以算出不同y 值時(shí)的長(zhǎng)度變形情況，如下表所示：表 11 長(zhǎng)度變形隨距離y的變化y（km）10203050100150200250長(zhǎng)度變 形長(zhǎng)度變形是有害的，但是又不能完全避免。只能采取一定的措施對(duì)它加以限制，使它的有害影響減下到適當(dāng)?shù)某潭?。這其中有效方法之一

19、就是“分帶”。所謂分帶，就是把投影區(qū)域限定在中央子午線兩旁的狹窄范圍之內(nèi)。具體做法是，在橢球面上每隔一定的經(jīng)度，以子午線為界劃分出不同的投影區(qū)域，形成大小相等的彼此獨(dú)立的投影帶。位于各帶中央的子午線即為該帶的中央子午線，每一投影帶邊緣的子午線稱為分帶子午線。這樣，各帶就有著自己的坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，形成相對(duì)獨(dú)立的坐標(biāo)系。地球的形狀與大小,即大地水準(zhǔn)面的形狀與大小,十分接近一個(gè)兩極稍扁的旋轉(zhuǎn)橢球體.我們平常所用的地形圖一般采用高斯投影,即橫軸橢圓柱正形投影.如圖(略), 橢球與橢圓柱面相切的子午線成為中央子午線或軸子午線,即高斯平面直角坐標(biāo)系的x軸.將中央子午線東西方向一定經(jīng)差(一般為6°

20、;或3°)范圍地區(qū)投影到橢圓柱面上再把橢圓柱面按某一棱線展開,便構(gòu)成了高斯平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。高斯投影中,除中央子午線外,橢球面上上任何兩點(diǎn)投影到橢圓柱面上,兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度均發(fā)生變形，且隨著中央子午線兩側(cè)經(jīng)差的增大，長(zhǎng)度變形加劇。為了控制這種長(zhǎng)度變形，使它在測(cè)圖和用圖時(shí)影響很小，在相隔一定地區(qū)另立中央子午線，即采用分帶投影。我國(guó)國(guó)家測(cè)量規(guī)定采用6°帶和3°代兩種分帶辦法。一般地，對(duì)于1/250001/100000的地形圖采用6°帶，對(duì)于1/10000或更大比例尺的地形圖采用3°帶，同時(shí)還規(guī)定每一個(gè)6°帶向東加寬30，向西加寬15或7.

21、5，以保證在投影帶的邊緣部分有兩套坐標(biāo)和地形圖，便于在邊緣部分補(bǔ)點(diǎn)、計(jì)算。有些測(cè)繪單位為了控制長(zhǎng)度變形，滿足工程放樣的需要，往往對(duì)1/1000、1/500或更大比例尺的地形圖采用1.5°帶或獨(dú)立投影帶。由于采用分帶投影，橢球面上統(tǒng)一的坐標(biāo)系被分割成相互獨(dú)立的坐標(biāo)系。在公路施工測(cè)量中，常常會(huì)遇到內(nèi)容完全相同的地形圖中點(diǎn)的坐標(biāo)不一樣的情況，就是在測(cè)圖時(shí)采用了不同中央子午線的緣故，需要進(jìn)行坐標(biāo)換帶計(jì)算。高斯投影分帶有效的限制了長(zhǎng)度變形，但是在投影帶的邊緣地區(qū)，其長(zhǎng)度變形還是達(dá)到了很大值，不能供城市和工程建設(shè)需要，因此，這就要建立獨(dú)立坐標(biāo)系，下一章將對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行探討。1.2.3高斯投影坐標(biāo)的

22、換算高斯投影的換算，包括由大地坐標(biāo)（b ，l ）求高斯平面直角坐標(biāo)（x ， y ），和由高斯平面直角坐標(biāo)（x ， y ）求大地坐標(biāo)（b ，l ）。前者稱為高斯投影坐標(biāo)正算，后者稱為高斯投影坐標(biāo)反算。本節(jié)主要介紹它們的計(jì)算公式和適用情況。1.2.3.1由大地坐標(biāo)計(jì)算平面直角坐標(biāo)的公式由大地坐標(biāo)計(jì)算平面直角坐標(biāo)的一般函數(shù)式是以大地經(jīng)度l從起始子午面起算的，而高斯投影分帶的結(jié)果，使得各投影帶均以起始子午線作為中央子午線，所以，以弧度作單位的經(jīng)度差 可以表示為： （19）則由大地直角坐標(biāo)計(jì)算平面直角坐標(biāo)的公式可以表示為：（1-10）式中：b為大地點(diǎn)的大地緯度； x為由赤道至緯度b的子午線弧長(zhǎng)； 為到中

23、央子午線的經(jīng)差，可由公式（19）算出，在中央子午線以東為正，以西為負(fù)。上式就是高斯投影坐標(biāo)的正算公式，在參考文獻(xiàn)1中有其完整的推導(dǎo)過程，在此只列出其最后的計(jì)算公式。由該公式可以由（b ，l ）計(jì)算（x ，y ），當(dāng)<3.5度時(shí)，使用該式計(jì)算（x ，y ）的精度為0.001m。1.2.3.2由平面直角坐標(biāo)的公式計(jì)算大地坐標(biāo)下面我將介紹由國(guó)家直角坐標(biāo)（x ，y ）計(jì)算大地坐標(biāo)（b ，l ）的計(jì)算公式，亦即高斯投影反算公式。由于參考文獻(xiàn)1中對(duì)其有詳細(xì)的論述推導(dǎo)過程，在此也只列出它的最終推導(dǎo)的結(jié)果。如下式，（111）說明：而式中b和均以弧度為單位表示，如以度為單位，等號(hào)的右端應(yīng)乘以。其中，凡腳注

24、有“f”的，表明這些函數(shù)符號(hào)都是以垂足緯度代入求得的。垂足緯度可以根據(jù)子午線弧長(zhǎng)公式，由x = x 反算求得，該公式如下：x =6367558.496932140.4048135.3303（0.70920.0041） （112）也可以將展開成近似垂足緯度余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的形式，直接解算：50221746+293622+（2350+22） （113）式中，為近似垂足緯度，按下式計(jì)算： （114）取=57.295 779 513度，所得的以度為單位。1.2.3.3 高斯投影坐標(biāo)正反算的數(shù)值公式在過去，高斯投影坐標(biāo)計(jì)算一直是借助數(shù)表來實(shí)現(xiàn)的，常用的如高斯克呂格投影計(jì)算表，它是以公式（110）和（11

25、1）為基礎(chǔ)編算的，在高斯計(jì)算中發(fā)揮了重要的作用。近20年來，隨著計(jì)算器的變革，有關(guān)測(cè)量的計(jì)算表以不再適應(yīng)需要，人們可以根據(jù)適宜的計(jì)算公式用普通的編程計(jì)算器來實(shí)施計(jì)算。下面將依據(jù)克拉夫斯基橢球參數(shù)計(jì)算的結(jié)果代入來求高斯投影坐標(biāo)正反算的數(shù)值公式?？紤]，0.006 738 525 4，結(jié)果可以得出公式：x = 6367 558.4969 （115）式中：（0.333 3333+0.001 123）0.166 66670.008 330.1667（0.1967+0.004） （116） 公式（115）就是高斯投影坐標(biāo)正算的數(shù)值公式 ，式中n為參考橢球卯酉圈曲率半徑，b為大地點(diǎn)的緯度，是經(jīng)差，可以按公式

26、（19）求得，=57.295 779 513°.下面將列出高斯投影坐標(biāo)反算的數(shù)值公式，首先由國(guó)家坐標(biāo)來求大地緯度b。若令：（0.5+0.003 369）0.25+（0.16161+0.00562） （117）則： （118）式中，為垂足緯度，關(guān)于它的計(jì)算在前面已有介紹；其中，z可以表示為。而的值可以經(jīng)下式算得： 6 399 698.90221 562.267108.973（0.6120.004） （119）下面再列出求經(jīng)度的計(jì)算公式。若令：0.333 333（0.166 6670.001 123） 0.2（0.16670.0088） （120）依舊令為垂足緯度，關(guān)于它的計(jì)算在前面已有

27、介紹；令，則有 （121）按上式計(jì)算的經(jīng)差以弧度為單位，將其代入（19）式中，就可以求出以度為單位的大地坐標(biāo)l。式（118）和式（121）就是高斯投影坐標(biāo)的反算的數(shù)值公式。當(dāng)經(jīng)差時(shí)，該2式計(jì)算大地坐標(biāo)的精度可達(dá)到，可以滿足高斯投影的多種計(jì)算的需要。最后說明的是，本節(jié)列出的高斯投影坐標(biāo)正反算的數(shù)值公式采用的是克拉夫斯基橢球參數(shù)，所以這些數(shù)值公式只實(shí)用于采用該橢球參數(shù)建立的坐標(biāo)系統(tǒng)（例如1954年北京坐標(biāo)系和新1954年北京坐標(biāo)系）。對(duì)于1980年國(guó)家大地坐標(biāo)系的有關(guān)計(jì)算，則需要另行推導(dǎo)相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算公式，只要將1975年國(guó)際橢球參數(shù)值代入公式（110）和（111）即可。詳細(xì)的公式推導(dǎo)可見參考文獻(xiàn)

28、1。第二章建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)§21建立獨(dú)立坐標(biāo)系應(yīng)注意的問題地面觀測(cè)邊長(zhǎng)s投影至大地水準(zhǔn)面和高斯平面的改正分別為： 式中， 、邊長(zhǎng)分別投影至大地水準(zhǔn)面、高斯平面的改正值；所測(cè)邊兩端點(diǎn)至大地水準(zhǔn)面的平均高程；s 所測(cè)邊長(zhǎng)的水平長(zhǎng)度；r 參考橢球體平均曲率半徑，可取r = 6371 km。2.1.1 投影改正值的變化規(guī)律一般情況下，光采用抵償高程時(shí)常將投影改正作為常數(shù)看待，不考慮測(cè)區(qū)內(nèi)不同位置投影改正值的變化問題。而實(shí)際情況是，即使在地形平坦的地區(qū)或較小范圍的測(cè)區(qū)，其影響也是不可忽視的。設(shè)測(cè)區(qū)中任一點(diǎn) k 與測(cè)區(qū)中心在東西方向（y軸）上的距離為y，與測(cè)區(qū)平均高程的高差為h 。k點(diǎn)的兩項(xiàng)

29、投影改正與測(cè)區(qū)中心過平均高程面的改正是不一樣的。2.1.1.1大地水準(zhǔn)面投影改正值的變化k 點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面投影改正為：上式中等號(hào)右邊的第二項(xiàng)即為橢球面投影改正的變化量，令 由上式可見，高差h與投影改正的變化量成正比，隨著h的增大而增大，但它們的符號(hào)相反。2.1.1.2高斯平面投影改正值的變化k點(diǎn)的高斯平面投影改正為：令 此即為高斯平面投影改正的變化量。由上式可見，與y 和兩項(xiàng)有關(guān)，其規(guī)律為： 、與有正比關(guān)系，隨著值的增加而增加； 、與y 成拋物線的關(guān)系，隨著y的增加而增加； 、當(dāng)一定時(shí)，隨著（y）的值增加，y（）的值急劇減小。由以上分析可見，光用抵償面建立的獨(dú)立坐標(biāo)系的方法雖然簡(jiǎn)單，但要進(jìn)行仔

30、細(xì)分析，防止出現(xiàn)不應(yīng)有的失誤。著也是本章重點(diǎn)介紹的問題。2.1.2 測(cè)區(qū)高差h 和東西一翼長(zhǎng)度y 的允許值為使投影改正達(dá)到應(yīng)有的精度，有必要分析h和y的最大允許值。以下計(jì)算時(shí)取s= 1 km，=25 mm 。2.1.2.1測(cè)區(qū)任一點(diǎn)與平均高程的高差允許值由式可以寫成 若取的極限值25 mm/km ，可得=159 m ，這在上一章也有所計(jì)算。由此可見，在只考慮投影至橢球面的改正而不顧及高斯平面投影改正的情況下，測(cè)區(qū)任一點(diǎn)與測(cè)區(qū)平均高程面的高差允許值不超過159 m ，也即測(cè)區(qū)總的高差不能超過318m。若再考慮高斯投影改正的變化量的話，則2.1.2.2測(cè)區(qū)東西一翼長(zhǎng)度的允許值這有兩種情況，即中央子

31、午線過測(cè)區(qū)中心時(shí)高斯平面的投影改正，和中央子午線在任意位置時(shí)的投影改正。 、中央子午線過測(cè)區(qū)中心時(shí)高斯平面的投影改正變化值此時(shí)，= 0 ，則由計(jì)算公式得：當(dāng) y = 5km時(shí) ，= 0.31 mm ； y =15km時(shí)，= 2.77 mm ； y =25 km時(shí) ，= 7.69 mm由上述結(jié)果可見，當(dāng)中央子午線經(jīng)過測(cè)區(qū)中心時(shí)，即使測(cè)區(qū)范圍很大，高斯平面的投影改正也很?。ㄟh(yuǎn)小于限差25 mm）。這就是一般文獻(xiàn)、資料和很多實(shí)際工程測(cè)量人員在采用抵償高程面建立獨(dú)立坐標(biāo)系時(shí)將高斯投影改正視作常數(shù)而對(duì)其變化量不予考慮的原因所在。 、中央子午線在任意位置時(shí)的值將計(jì)算的公式可以改寫成以下形式令 ，可得：若取

32、的極限值25 mm/km，則km 。由上式可以計(jì)算在不同的值時(shí)的允許值。由以上分析可以歸納為：、在不考慮投影至橢球面的改正的情況下，當(dāng)中央子午線經(jīng)過測(cè)區(qū)中心時(shí)，測(cè)區(qū)東西一翼長(zhǎng)度允許到45 km ，即測(cè)區(qū)東西長(zhǎng)度可允許至90 km 。、在一定的改正變化允許值和值時(shí)，測(cè)區(qū)中心至東西一翼的允許長(zhǎng)度是不一致的，越小，其差值就越大。因此，在用抵償面作投影面時(shí)，當(dāng)測(cè)區(qū)的范圍大小和高差變化使得變形總量接近極限時(shí)，可考慮不以測(cè)區(qū)中心的y值作值而作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整以滿足要求。、隨著中央子午線與測(cè)區(qū)中心的距離的增大，測(cè)區(qū)東西一翼的允許長(zhǎng)度迅速減小。帶橫坐標(biāo)自然值最大約160 km ，即在帶的邊緣地區(qū)，測(cè)區(qū)東西方向一翼長(zhǎng)

33、度若超過了6.2 km，高斯平面投影的改正變化量就已經(jīng)超過了25mm，即使整個(gè)測(cè)區(qū)地形平坦，以測(cè)區(qū)地面作投影面，其總的投影改正值也已超過限差要求。這就是用抵償高稱面作投影面時(shí)應(yīng)仔細(xì)考慮的地方。若再考慮大地水準(zhǔn)面改正的變化量，則： 若測(cè)區(qū)邊緣高于測(cè)區(qū)平均高稱的高差達(dá)到了100 m，測(cè)區(qū)的中心橫坐標(biāo)值為150 km ，則=15.7 mm ，可得：=2.5 km ，這對(duì)測(cè)區(qū)的范圍要求是非常嚴(yán)格的，因此，在山區(qū)測(cè)量時(shí)應(yīng)特別注意。2.1.3 坐標(biāo)系統(tǒng)最佳位置分析在建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)，選擇中央子午線和投影面的位置時(shí)，只需計(jì)算測(cè)區(qū)中任一點(diǎn)的兩項(xiàng)投影改正之和不超過1：40000的精度要求即可，即：25 mm/k

34、m式中：為k點(diǎn)的在獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)自然值，為k點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)中的高程。當(dāng)然，在實(shí)際工作中如此考慮不現(xiàn)實(shí)，那么，如何確定中央子午線和投影面的位置呢？2.1.3.1確定中央子午線位置的原則考慮到測(cè)區(qū)距中央子午線的距離和測(cè)區(qū)本身東西方向的范圍大小以及地形的起伏狀況后，在允許的情況下，采用抵償高程面建立坐標(biāo)系統(tǒng)不失為一種簡(jiǎn)便的方法。但在測(cè)區(qū)距中央子午線較遠(yuǎn)，測(cè)區(qū)范圍或地形起伏比較大時(shí)，能否采用抵償高程面作投影面的方法就需要進(jìn)行仔細(xì)的分析和準(zhǔn)確的計(jì)算了。根據(jù)以上分析可知，如果采用一個(gè)坐標(biāo)系能覆蓋整個(gè)測(cè)區(qū)的話，將中央子午線設(shè)在測(cè)區(qū)中心應(yīng)該是最合適的解決方法。最佳投影面的位置將中央子午線設(shè)在測(cè)區(qū)中心后

35、，還需考慮投影面的位置。當(dāng)?shù)匦纹鸱^大而相對(duì)范圍較小的地區(qū)，投影面設(shè)在測(cè)區(qū)的平均高程面上是考慮較多的也是恰當(dāng)?shù)倪x擇。對(duì)于地形平坦或高低起伏較小而范圍相對(duì)較大的測(cè)區(qū)，取平均高程面作投影面也不是理想的選擇，尤其是測(cè)區(qū)范圍達(dá)到了極限（如平原地區(qū)的大型線路工程）或是將來還有可能繼續(xù)擴(kuò)大（如城鎮(zhèn)規(guī)劃、地籍測(cè)量）的測(cè)區(qū)。選擇最佳投影面位置的思路是：高斯平面投影始終為正值，中央子午線設(shè)在測(cè)區(qū)中心，則高斯平面投影改正最小值就在測(cè)區(qū)中心，其值為0 。這時(shí)應(yīng)考慮將投影面盡可能的下移而非測(cè)區(qū)的平均高程，使大地水準(zhǔn)面投影改正為負(fù)值以盡可能的控制最大的測(cè)區(qū)范圍。具體要求是：、測(cè)區(qū)中心處的高斯平面投影改正值不超過其允許值

36、；、測(cè)區(qū)邊緣兩項(xiàng)改正之和不超過其允許值 。設(shè)測(cè)區(qū)中心地區(qū)的高程為 ，測(cè)區(qū)邊緣與中心處的高差為，當(dāng)整個(gè)測(cè)區(qū)地形條件允許時(shí)，投影面的最佳位置為 h =-159 m 。測(cè)區(qū)邊緣的大地水準(zhǔn)面投影改正為： ，兩項(xiàng)改正之和為： ，取25mm/km ，s = 1 km ，可得：當(dāng)測(cè)區(qū)地形平坦的時(shí)， 0 ，則=63 km 。這種結(jié)果和上一章第四節(jié)中的結(jié)果是基本吻合的。這樣盡可能的加大測(cè)區(qū)范圍，對(duì)于大型線狀工程和逐步擴(kuò)大面積的城鎮(zhèn)地區(qū)的規(guī)劃與地籍測(cè)量工作是非常有利的。實(shí)際工作中，一個(gè)工程應(yīng)盡可能采用一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，這是基本要求。如果根據(jù)以上分析還不能滿足要求的話，那就只能采用兩個(gè)甚至多個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)了。由以上可以得出

37、結(jié)論：一、采用抵償高程面建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)時(shí)，不但要考慮測(cè)區(qū)距中央子午線的距離和測(cè)區(qū)的平均高程，還要仔細(xì)分析測(cè)區(qū)地形的高低和測(cè)區(qū)范圍的大小，以防不能滿足規(guī)范的要求；二、以測(cè)區(qū)中心為中央子午線位置時(shí)，盡可能的下移投影面的位置，即最大限度的加大測(cè)區(qū)中心處的大地水準(zhǔn)面投影改正，以使坐標(biāo)系統(tǒng)能最大限度的控制測(cè)區(qū)的范圍。§22建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的方法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的方法較多，下面討論幾種可供選擇的方案。討論之前，讓我們先看看長(zhǎng)度元素高程歸化改正與高斯投影長(zhǎng)度改化計(jì)算。 一個(gè)導(dǎo)線網(wǎng)觀測(cè)邊長(zhǎng)的歸算可分為高程歸化和長(zhǎng)度改化，而方向觀測(cè)值也要經(jīng)過方向改化后，才能作為平面的邊與邊之間的連接方向值，但

38、由于其值較小，不作敘述。這里主要看一看高程歸化和長(zhǎng)度改化對(duì)邊長(zhǎng)帶來的影響。 將地面上觀測(cè)的長(zhǎng)度元素歸算到參考橢球面上按以下公式計(jì)算： 平均高程面橢球面hm 圖23 高程歸化 ,。式中： 為歸化到參考橢球體面上的長(zhǎng)度； 為地面上的觀測(cè)長(zhǎng)度； 為高程歸算改正； 為觀測(cè)邊的平均大地高； 為觀測(cè)邊相對(duì)于大地水準(zhǔn)面的平均高程；為大地水準(zhǔn)面至參考橢球面的距離；為該地區(qū)平均曲率半徑； 為參考橢球子午圈曲率半徑； 為參考橢球卯酉圈曲率半徑。對(duì)于不同的大地高，長(zhǎng)度歸算的每千米相對(duì)數(shù)值見表21（設(shè)rm=6370km）。hm( hm1+hm2)m- hm rm101:60萬201:30萬501:10萬1001:6萬

39、1501:4萬2001:3萬3001:2萬4001:1.5萬5001:1.2萬10001:600020001:300030001:200040001:1000表21由大地高程引起的相對(duì)誤差說明：（m）為平均大地高程；為每公里相對(duì)改正 。而將橢球面上的大地線改換為平面上投影面兩端點(diǎn)之間的長(zhǎng)度（距離），由圖22，可通過演算推導(dǎo)出距離改正的計(jì)算公式： ，對(duì)于三、四等極其以下的測(cè)量，采用精度足夠 ，也就是： （223）式中：d 改化到高斯平面上的長(zhǎng)度； s 參考橢球面上的長(zhǎng)度； s在高斯平面上離中央子午線垂踞的平均值； 該地區(qū)平均曲率半徑；將橢球面的長(zhǎng)度改化到高斯平面的長(zhǎng)度按下列公式計(jì)算：ds12 圖

40、 24 長(zhǎng)度改正 式中：為改化到高斯平面上的長(zhǎng)度； 為在參考橢球面上的長(zhǎng)度； 為在高斯平面上離中央子午線垂距的平均值； 為該地區(qū)平均曲率半徑。設(shè)，邊長(zhǎng)離中央子午線垂距的相對(duì)變形見表22。101:80萬201:20萬301:9萬401:5萬451:4萬501:3萬1001:80001501:36002001:20003001:900表22測(cè)量位置引起的相對(duì)誤差說明：為測(cè)區(qū)中心到中央子午線距離；為相對(duì)變形量。一般情況下，上述兩項(xiàng)改正都是同時(shí)考慮的，從數(shù)值上來說，一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)。這樣，地面上的一段距離，經(jīng)過2 次改正計(jì)算后，被改變了實(shí)際長(zhǎng)度，這種高斯投影面上的長(zhǎng)度與實(shí)際長(zhǎng)度之差既為長(zhǎng)度綜合變形，

41、可以表示為： （224）為計(jì)算上的方便，可將橢球視為圓球，取其半徑為r = =6371 km ，又取不同的投影面上的的距離近似值相等，既= s ，將上式寫成相對(duì)變形形式，則為： （225）式中：y 表示測(cè)區(qū)中心的橫坐標(biāo)（自然值），h 為平均高程，y 與h 均以 km 為單位。方法一 選擇“高程抵償面”作為投影面，按高斯正形投影帶計(jì)算平面直角坐標(biāo)公式表明，將距離由較高的高程面化算至較低的橢球面時(shí)，長(zhǎng)度總是減小的；公式(223)表明，將橢球面上的距離化算至高斯平面時(shí)，長(zhǎng)度總是增加的。所以兩個(gè)投影過程對(duì)長(zhǎng)度變形具有抵償?shù)男再|(zhì)。如果恰當(dāng)選擇橢球的半徑，使距離化算到這個(gè)橢球面上所減小的數(shù)值，恰好等于由這

42、個(gè)橢球面化算至高斯平面所增加的數(shù)值的話，那么，高斯平面上的距離就同實(shí)地的距離一致了。這個(gè)適當(dāng)?shù)臋E球面，就稱之為“抵償高程面”。 欲使長(zhǎng)度綜合變形得以抵償，最好是以測(cè)區(qū)中心的綜合長(zhǎng)度變形為0 ，既= 0 ，也就是保證 ： 。將推導(dǎo)公式（225）所引用的關(guān)系和數(shù)據(jù)代入，則有 式中，若y以百公里為單位，h以米作為單位，則有h = 785 （31）利用上式就可以確定抵償高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影帶的坐標(biāo)為 y =91 km ，該地區(qū)的平均高程為400 m ，按上式算得：h = 785 =650 m即抵償面應(yīng)比高程面低650 m 如圖所示： 圖 31 以抵償面作投影面抵償面的高程應(yīng)為抵償面的

43、位置確定后，就可以選擇其中一個(gè)國(guó)家控制點(diǎn)作為“原點(diǎn)” ，保持它在國(guó)家?guī)?nèi)的國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)值（ ，）不變，而將其他大地控制點(diǎn)的坐標(biāo)（x ，y）換算到抵償高程面相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)戲中去，換算公式為： 式中，r為該地區(qū)平均緯度處的橢球平均曲率半徑。這樣，經(jīng)過上式換算的大地控制點(diǎn)坐標(biāo)就可以作為控制測(cè)量的起算數(shù)據(jù)。通過上述方法測(cè)得的控制點(diǎn)的局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，可以按下式反算成國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)： 可以看出，通過此方法建立的獨(dú)立坐標(biāo)系，其測(cè)區(qū)中心的綜合變形為 0 ，單離測(cè)區(qū)中心越遠(yuǎn)，變形也就越大，抵償面與平均高程面的高差越大，測(cè)區(qū)的范圍越小，而由（31）可知，此高差是由測(cè)區(qū)中心距帶中央子午線的距離來決定的，也

44、就是說，測(cè)區(qū)中心離中央子午線越遠(yuǎn)，測(cè)區(qū)的范圍也就越小，這些可以由變形相似公式推導(dǎo)出來：而在實(shí)際應(yīng)用中的允許值大都為2.5 cm/km，即1：4萬，將其代入上式，即得： 此式中，y的單位為km ，h的單位也是 km ，將此式改變一下，并保持y的單位不變，h以米作為單位，則得到：當(dāng)h < 170 m時(shí) 當(dāng)h >170m時(shí) 將此式標(biāo)注為（32）由（31）式可以由測(cè)區(qū)中心算出抵償高程面的位置，而由（32）式可以由抵償高程面的高低計(jì)算測(cè)區(qū)的范圍。因此，測(cè)區(qū)中心的位置決定了高程抵償面的位置和測(cè)區(qū)范圍。為了更加明了的，并方便實(shí)際應(yīng)用，可以計(jì)算得出下表：表31 以測(cè)區(qū)中心決定的抵償面位置及測(cè)區(qū)范圍

45、測(cè)區(qū)中心距中央子午線的位置 （km）抵償高程面的位置h （km）測(cè)區(qū)范圍（km）00- 45 452031.4- 29 4940126- 20 605019621 676028339 758050266 9210078589 1101201130111 128方法二 保持國(guó)家統(tǒng)一的橢球面做投影面不變，選擇“任意投影帶”，按高斯投影計(jì)算平面直角坐標(biāo)不同投影帶的出現(xiàn)，是因?yàn)檫x擇了不同經(jīng)度的中央子午線的緣故。如果合適的選擇中央子午線的位置，使長(zhǎng)度投影到該帶所產(chǎn)生的變形，恰好抵償這一長(zhǎng)度投影到橢球面所產(chǎn)生的變形，此時(shí)，高斯投影面上的長(zhǎng)度仍然和實(shí)地的長(zhǎng)度一致。我們稱這種抵償長(zhǎng)度變形的投影帶為“任意投影帶

46、” 。而且，變動(dòng)高程歸化面的計(jì)算是比較復(fù)雜的，這不僅要計(jì)算出新的橢球參數(shù)和一切常數(shù)，還要把本地區(qū)國(guó)家坐標(biāo)系控制點(diǎn)（作為獨(dú)立坐標(biāo)系的起算點(diǎn)）轉(zhuǎn)換到新產(chǎn)生的橢球面上，工作量比較大。為了避免這些復(fù)雜的計(jì)算，建立新坐標(biāo)系可以不變動(dòng)高程歸化面（即還是把長(zhǎng)度歸算到國(guó)家坐標(biāo)系的參考橢球面上），而只移動(dòng)中央子午線的辦法。根據(jù)下式可以計(jì)算出中央子午線離開測(cè)區(qū)中央地帶的遠(yuǎn)近：設(shè)某城市或工程建設(shè)地區(qū)的平均大地高為，則 這就是說將中央子午線設(shè)在西離城市或工程建設(shè)中心50km的地方，可以使中央地區(qū)的相對(duì)誤差為零。該坐標(biāo)系控制的最大距離用下式計(jì)算： 式中：表示相對(duì)誤差。設(shè) =1/4萬，則按上面假設(shè)數(shù)據(jù) 上例說明，如果該地

47、區(qū)大地高為200m時(shí)，而又不改變高程投影面，只要將中中央子午線設(shè)在西離測(cè)區(qū)中央50km的位置，就可以保證在測(cè)區(qū)中央東西各距18km范圍內(nèi)，兩項(xiàng)改正之和小于1/4萬。以上兩式可以計(jì)算任何地區(qū)獨(dú)立坐標(biāo)系中央子午線的位置及控制的最大范圍。在此方法中：將中央子午線西移一個(gè)常數(shù)（如50km），形成縱坐標(biāo)軸，其橫坐標(biāo)軸是在赤道處與縱坐標(biāo)軸垂直相交，如需要亦可向北移動(dòng)一個(gè)常數(shù)。根據(jù)綜合變形長(zhǎng)度相對(duì)變形形式可知，測(cè)區(qū)中心離子午線的距離 y 的選擇與允許相對(duì)誤差和測(cè)區(qū)的平均高程有關(guān)。將長(zhǎng)度綜合變形的允許值1：4萬代入上式，即可得： = 0.78· （33）對(duì)于某以知高程面的測(cè)區(qū)，利用上式可以計(jì)算出相對(duì)

48、的變形不超過1：4萬的國(guó)家統(tǒng)一帶內(nèi)的 y 坐標(biāo)取值范圍；同理，對(duì)于帶內(nèi)的不同投影區(qū)域，可以算出綜合變形不超過允許數(shù)值時(shí)測(cè)區(qū)的平均高程的取值范圍。如果測(cè)區(qū)中心的坐標(biāo)為橫軸，取測(cè)區(qū)的平均高程為縱軸，根據(jù)式（33）就可以畫出相對(duì)變形恒為允許數(shù)值之間的兩條曲線。這兩條曲線就是適用于控制測(cè)量的投影帶范圍的臨界限，或者說兩條曲線間的區(qū)域就是適用于城鎮(zhèn)測(cè)圖和工程測(cè)量的投影帶范圍。如果根據(jù)式（33）畫圖，可以直觀形象的判斷國(guó)家統(tǒng)一帶坐標(biāo)系是否適合于本測(cè)區(qū)的需要。如果根據(jù)本測(cè)區(qū)的平均高程和帶 y 坐標(biāo)所確定的位置，處于兩曲線以外的“不適用區(qū)” ，就應(yīng)該考慮另行選擇坐標(biāo)系。由公式（32）當(dāng)h < 170 m

49、時(shí) 當(dāng)h >170m時(shí) 可以根據(jù)測(cè)區(qū)平均高程計(jì)算由此方法可以適用的范圍。為方便應(yīng)用，可以計(jì)算編制下表：表 32 以測(cè)區(qū)平均高程確定的任意帶子午線位置及測(cè)區(qū)范圍測(cè)區(qū)平均高程h（m）中央子午線離測(cè)區(qū)中心位置（km）測(cè)區(qū)的范圍（km）00-454510036-215715044-196320050216730062427640071558450080659260087749870094821058001019011090010797116100011310312111001181091261200124115131方法三 選擇平均高程面做投影面，通過測(cè)區(qū)中心的子午線為中央子午線，按高斯投影計(jì)算

50、平面直角坐標(biāo)系我們已經(jīng)知道，影響長(zhǎng)度變形的因素主要有兩個(gè)，一是將實(shí)地距離化算至參考橢球面的變形，再者是將投影面上的長(zhǎng)度投影至平面坐標(biāo)的變形。前面所述的兩種方法都是改變其中的一種長(zhǎng)度變形而將綜合變形控制在允許的范圍之內(nèi)的。而此種方法則同時(shí)改變了兩種變形量，這也是一般工程中經(jīng)常采用的建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法。把中央子午線移到城市或工程建設(shè)地區(qū)中央，歸化高程面提高到該地區(qū)的平均高程面（嚴(yán)格地講，要提高到那個(gè)地區(qū)的大地高平均面）。這樣既可以使該測(cè)區(qū)的高程歸化改正和中央地區(qū)的投影變形幾乎為零，又可保證在離中央子午線45km 以內(nèi)的地區(qū)其投影變形的相對(duì)誤差小于1/4萬。這種獨(dú)立坐標(biāo)系最適合工程建設(shè)區(qū)的需要，因

51、為工程建設(shè)的所轄面積不會(huì)太大，東西跨度90km完全可以滿足需要。選擇平均高程面做投影面，通過測(cè)區(qū)中心的子午線為中央子午線，按高斯投影計(jì)算的平面直角坐標(biāo)的建立可以分成以下幾步： 、 利用高斯投影正反算的方法 ，將國(guó)家點(diǎn)的平面坐標(biāo)換算為大地坐標(biāo)（ b ，l ）；并由大地坐標(biāo)計(jì)算這些點(diǎn)在選定的中央子午線投影帶內(nèi)的直角坐標(biāo)（ x ，y ） 。關(guān)于高斯投影坐標(biāo)的正反算問題在前面已經(jīng)做了詳細(xì)的介紹。 、選擇其中一個(gè)國(guó)家點(diǎn)作為“原點(diǎn)” ，保持該點(diǎn)在選定的投影帶內(nèi)的坐標(biāo)（設(shè)為 ， ）不變其他的國(guó)家控制點(diǎn)可以換算到選定的坐標(biāo)系中去，公式為：經(jīng)過換算后的各國(guó)家控制點(diǎn)可以作為新建立的獨(dú)立坐標(biāo)系里的控制點(diǎn)，作為控制網(wǎng)的起算數(shù)據(jù)。由于這種方法將測(cè)區(qū)的平均高程面作為投影面，測(cè)區(qū)的中心子午線為中央子午線，所以無論測(cè)區(qū)的平均高程的高低還是測(cè)區(qū)中心離中央子午線的遠(yuǎn)近，其測(cè)區(qū)的范圍基本上是不變的，都可保