2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案與解析

1、2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）（2015湖北）i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為（）AiBiC1D12（5分）（2015湖北）我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A134石B169石C338石D1365石3（5分）（2015湖北）已知（1+x）n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A212B211C210D2

2、94（5分）（2015湖北）設(shè)XN（1，12），YN（2，22），這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是（）AP（Y2）P（Y1）BP（X2）P（X1）C對(duì)任意正數(shù)t，P（Xt）P（Yt）D對(duì)任意正數(shù)t，P（Xt）P（Yt）5（5分）（2015湖北）設(shè)a1，a2，anR，n3若p：a1，a2，an成等比數(shù)列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，則（）Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件6（5分）（2015湖北）已知符號(hào)函

3、數(shù)sgnx=，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）f（ax）（a1），則（）Asgng（x）=sgnxBsgng（x）=sgnxCsgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）7（5分）（2015湖北）在區(qū)間0，1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記P1為事件“x+y”的概率，P2為事件“|xy|”的概率，P3為事件“xy”的概率，則（）AP1P2P3BP2P3P1CP3P1P2DP3P2P18（5分）（2015湖北）將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長a和虛半軸長b（ab）同時(shí)增加m（m0）個(gè)單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（）A對(duì)任意的a，b，e1e2B當(dāng)ab時(shí)，e1e

4、2；當(dāng)ab時(shí)，e1e2C對(duì)任意的a，b，e1e2D當(dāng)ab時(shí)，e1e2；當(dāng)ab時(shí)，e1e29（5分）（2015湖北）已知集合A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定義集合AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，則AB中元素的個(gè)數(shù)為（）A77B49C45D3010（5分）（2015湖北）設(shè)xR，x表示不超過x的最大整數(shù)若存在實(shí)數(shù)t，使得t=1，t2=2，tn=n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是（）A3B4C5D6二、填空題：本大題共4小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上答錯(cuò)位置，書寫

5、不清，模棱兩可均不得分11（5分）（2015湖北）已知向量，|=3，則=12（5分）（2015湖北）函數(shù)f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為13（5分）（2015湖北）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD=m14（5分）（2015湖北）如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A的上方），且|AB|=2（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）過點(diǎn)A任作一條直線與圓O

6、：x2+y2=1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：=； =2； +=2其中正確結(jié)論的序號(hào)是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）選修4-1：幾何證明選講15（5分）（2015湖北）如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的割線，且BC=3PB，則=選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程16（2015湖北）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線l的極坐標(biāo)方程為（sin3cos）=0，曲線C的參數(shù)方程為（ t為參數(shù)），l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（11分）（2015湖北）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x

7、）=Asin（x+）（0，|）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)（0）個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象若y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0），求的最小值18（12分）（2015湖北）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式（2）當(dāng)d1時(shí)，記cn=，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn19（12分）（2015湖北）九章算術(shù)中，將

8、底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬PABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EFPB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE（1）證明：PB平面DEF試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求的值20（12分）（2015湖北）某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1200元要求

9、每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí)假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率21（14分）（2015湖北）一種畫橢圓的工具如圖1所示O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON=1，MN=3，當(dāng)栓子D在

10、滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點(diǎn)若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由22（14分）（2015湖北）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，bn=n（1+）nan（nN+），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)f（x）=1+xex的單調(diào)區(qū)間，并比較（1+）n與e的大??；（2）計(jì)算，由此推測計(jì)算的公式，并給出證明；（3）令cn=（a1a2an

11、），數(shù)列an，cn的前n項(xiàng)和分別記為Sn，Tn，證明：TneSn答案：1、解：i607=i604+3=i3=i，它的共軛復(fù)數(shù)為：i故選：A2、解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1534×169石，故選：B3、解：已知（1+x）n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，可得n=3+7=10（1+x）10的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：=29故選：D4、解：正態(tài)分布密度曲線圖象關(guān)于x=對(duì)稱，所以12，從圖中容易得到P（Xt）P（Yt）故選：C5、解：由a1，a2，anR，n3運(yùn)用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）（a1a2+a2a3+an1an）

12、2，若a1，a2，an成等比數(shù)列，即有=，則（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=an=0，則a1，a2，an不成等比數(shù)列故p是q的充分不必要條件故選：A6、解：由于本題是選擇題，可以常用特殊法，符號(hào)函數(shù)sgnx=，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令f（x）=x，a=2，則g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以A不正確，B正確，sgnf（x）=sgnx，C不正確；D正確；對(duì)于D，令f（x）=x+1，a=2，則g（x）=f（x）f（

13、ax）=x1，sgnf（x）=sgn（x+1）=；sgng（x）=sgn（x1）=，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以D不正確；故選：B7、解：分別作出事件對(duì)應(yīng)的圖象如圖（陰影部分）：P1：D（0，），F(xiàn)（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），則陰影部分的面積S1=1×1=1=，S2=1×12×=1=，S3=1×+dx=+lnx|=ln=+ln2，S2S3S1，即P2P3P1，故選：B8、解：由題意，雙曲線C1：c2=a2+b2，e1=；雙曲線C2：c2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，=，當(dāng)ab時(shí)，e1e2；當(dāng)ab時(shí)，e1e2，故

14、選：D9、解：A=（x，y）|x2+y21，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2）AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，AB=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（

15、1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，3），（0，3），（2，3），（1，3），（1，3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，2）（3，2）（3，1），（1，3），（3，1），（3，0），（3，2）共45個(gè)元素故選：C10、解：t=1，t1，2），又t2=2，t22，3），t，），又t22，3），t44，9），t4=4，正整數(shù)n的最大值4故選

16、：B11、解：由，得=0，即（）=0，|=3，故答案為：912、解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簒|x1f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|=2sinx|ln（x+1）|=sin2x|ln（x+1）|，分別畫出函數(shù)y=sin2x，y=|ln（x+1）|的圖象，由函數(shù)的圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2所以函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè)故答案為：213、解：設(shè)此山高h(yuǎn)（m），則BC=h，在ABC中，BAC=30°，CBA=105°，BCA=45°，AB=600根據(jù)正弦定理得=，解得h=100（m）故答案為：10014、解：（1）圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），圓心的橫坐標(biāo)

17、x=1，取AB的中點(diǎn)E，|AB|=2，|BE|=1，則|BC|=，即圓的半徑r=|BC|=，圓心C（1，），則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x1）2+（y）2=2，故答案為：（x1）2+（y）2=2（2）圓心C（1，），E（0，），又|AB|=2，且E為AB中點(diǎn)，A（0，1），B（0，+1），M、N在圓O：x2+y2=1上，可設(shè)M（cos，sin），N（cos，sin），|NA|=，|NB|=，=，同理可得=，=，成立，=（）=2，正確+=+（）=，正確故答案為：15、解：由切割線定理可知：PA2=PBPC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在PAB與PAC中，P=P，PAB=PCA（同弧上的圓周角與弦切角

18、相等），可得PABPAC，=故答案為：16、解：由（sin3cos）=0，得y3x=0，由C的參數(shù)方程為（ t為參數(shù)），兩式平方作差得：x2y2=4聯(lián)立，得，即A（），B（），|AB|=故答案為：17、解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5，=2，=數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：x+02xAsin（x+）05050且函數(shù)表達(dá)式為f（x）=5sin（2x）（2）由（）知f（x）=5sin（2x），得g（x）=5sin（2x+2）因?yàn)閥=sinx的對(duì)稱中心為（k，0），kZ令2x+2=k，解得x=，kZ由于函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）成中心對(duì)稱，令=，解得=，kZ由0可知，當(dāng)K=1時(shí)，取得最小值18、解

19、：（1）設(shè)a1=a，由題意可得，解得，或，當(dāng)時(shí)，an=2n1，bn=2n1；當(dāng)時(shí)，an=（2n+79），bn=9；（2）當(dāng)d1時(shí)，由（1）知an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+（2n1），Tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1），Tn=2+（2n1）=3，Tn=619、解法1）（1）因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD為長方形，有BCCD，而PDCD=D，所以BC平面ABCD而DE平面PDC，所以BCDE又因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DEPC而PCCB=C，所以DE平面PBC而PB平面PBC，所以PBDE又PBEF，DEFE=E，所以PB平

20、面DEF由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB（2）如圖1，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ACBD的交線由（）知，PB平面DEF，所以PBDG又因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDDG而PDPB=P，所以DG平面PBD所以DGDF，DGDB故BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD=DC=1，BC=，有BD=，在RtPDB中，由DFPB，得DGF=FDB=，則 tan=tanDPF=，解得所以=故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，

21、=（解法2）（1）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)PD=DC=1，BC=，則D（0，0，0），P（0，0，1），B（，1，0），C（0，1，0），=（1，1），點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以E（0，），=（0，），于是=0，即PBDE又已知EFPB，而EDEF=E，所以PB平面DEF因=（0，1，1），=0，則DEPC，所以DE平面PBC由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)矩形，其四個(gè)面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB（2）由PD底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一個(gè)

22、法向量；由（）知，PB平面DEF，所以=（，1，1）是平面DEF的一個(gè)法向量若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，則運(yùn)用向量的數(shù)量積求解得出cos=，解得所以所以=故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，=20、（12分）解：（1）設(shè)每天A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x，y，相應(yīng)的獲利為z，則有，如圖1，目標(biāo)函數(shù)為：z=1000x+1200y當(dāng)W=12時(shí)，表示的平面區(qū)域如圖1，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）將z=1000x+1200y變形為，當(dāng)x=2.4，y=4.8時(shí)，直線l：在y軸上的截距最大，最大獲利Z=Zmax=2.4×1000+4.8

23、×1200=8160當(dāng)W=15時(shí)，表示的平面區(qū)域如圖2，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）將z=1000x+1200y變形為，當(dāng)x=3，y=6時(shí)，直線l：在y軸上的截距最大，最大獲利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200當(dāng)W=18時(shí)，表示的平面區(qū)域如圖3，四個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）將z=1000x+1200y變形為：，當(dāng)x=6，y=4時(shí)，直線l：y=56x+z1200在y軸上的截距最大，最大獲利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800故最大獲利Z的分布列為：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（）知，一天最大獲利超過10000元的概率P1=P（Z10000）=0.5+0.2=0.7，由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為