人教A版高中數(shù)學(xué)必修2四章圓與方程信息技術(shù)應(yīng)用用幾何畫板探究點的軌跡圓教案2_第1頁
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文檔簡介

1、與圓有關(guān)的運動軌跡的探究活動課教學(xué)設(shè)計 一、教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo):引導(dǎo)學(xué)生掌握常見的求軌跡問題的方法,同時增強(qiáng)學(xué)生對平面幾何圖形更直觀的認(rèn)識能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,使學(xué)生的解題能力得到進(jìn)一步的提高,為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。德育目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神,從探索中獲得成功的體驗。二、教學(xué)重難點分析1重點:掌握求軌跡方程的幾種基本方法。2難點:如何靈活運用幾種方法來解決各種求軌跡問題。三、課時安排1課時四、教學(xué)設(shè)計課前學(xué)習(xí)課堂引入學(xué)習(xí)匯報方法小結(jié)鞏固提升課堂總結(jié)五、教學(xué)過程(一)課堂引入引例:公元2064年某月某日,“嘉祥太空夏令營”如期而至。小明代表數(shù)學(xué)興趣小組參加了此次活動,并做了

2、一次飛行軌跡的探究實驗。駕駛一架國產(chǎn)太空飛行器“神舟1000”以離月球的距離是離地球距離的2倍的位置遨游太空(保持在固定平面內(nèi)飛行)請問:小明的飛行軌跡是什么圖形?問題一:怎么才能正確的知道小明飛行的軌跡是什么圖形呢?答:應(yīng)該先求出飛行軌跡的方程!思考1:怎么求的運動軌跡的方程呢? 方法一:直接法(二)學(xué)習(xí)匯報1小組學(xué)習(xí)匯報(引例)直接法也叫直譯法,即根據(jù)題目條件,直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系,再利用解析幾何有關(guān)公式(如兩點間距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等)進(jìn)行整理、化簡。這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧。 方法步驟提煉解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)|ab|=2a,則a(-a,0)、

3、b(a,0) 建立撥適當(dāng)坐標(biāo)系設(shè)任意動點p(x,y) 設(shè)動點的坐標(biāo)pb=2pa 尋找?guī)缀侮P(guān)系 幾何關(guān)系代數(shù)化 化簡代數(shù)式小明的飛行軌跡為以(,0)為圓心r= 的圓。 檢驗并寫出結(jié)論小結(jié):當(dāng)題目中的條件有明顯的等量關(guān)系,或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系時,求方程可用直接法。方法二:相關(guān)點法2小組學(xué)習(xí)匯報 方法步驟提煉相關(guān)點法也稱 “ 代入法 ” ,如果軌跡動點p(x,y)依賴于另一動點q(),而q又按某個規(guī)律運動,則可先用x,y表示,再把代入它滿足的條件便得到動點p的軌跡方程。設(shè)動點的坐標(biāo)(所求動點設(shè)為(x,y);相關(guān)點設(shè)為();尋找兩動點的關(guān)系,并用x,y分別表示即,;解:設(shè)動點m(x,y

4、),a()m為a、b的中點, (*)將代入滿足的方程;a()滿足,即將(*)式代入,得整理,檢驗,寫出結(jié)論;整理,得點m的軌跡為以(1,2)為圓心,r=1的圓。小結(jié):所求動點因為某一個動點的動而動,則應(yīng)選擇相關(guān)點法為先。方法三:定義法3小組學(xué)習(xí)匯報定義法:若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如直線、圓等),可用定義直接探求。方法步驟提煉建系;解:如圖, 設(shè)m(x,y)oab為直角三角形,m為ab的中點,動點與定點的等量關(guān)系滿足圓的定義;,即,直接寫出結(jié)論;所以動點m的軌跡為以原點為圓心,r=a的圓。小結(jié):若動點與定點間的等量關(guān)系滿足圓的定義,則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型,寫出其方程。方法

5、四:參數(shù)法4小組學(xué)習(xí)匯報如果動點p(x,y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到,可考慮將x,y用一個或幾個參數(shù)來表示,消去參數(shù)得軌跡方程,此法稱為參數(shù)法。 思考:什么是參數(shù)方程?動點p(x,y)的橫、縱坐標(biāo)分別由參數(shù)t表示,即。稱方程為動點p的參數(shù)方程解:設(shè)圓心坐標(biāo)為則,消去參數(shù),得所以,圓心c的軌跡是以原點為圓心,r=2|a|的圓。思考:怎樣將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程(消參)?代入消參平方相加解:設(shè)圓心坐標(biāo)為思考:圓的參數(shù)方程?(其中(a,b)為圓心,r為半徑)則,消去參數(shù)m,得又所以,圓心的軌跡方程為()。小結(jié):求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,則可借助中間變量(參數(shù)),使x,

6、y之間建立起聯(lián)系,然而再從所求式子中消去參數(shù),得出動點的軌跡方程。5小組學(xué)習(xí)匯報(方法小結(jié))(1)求軌跡方程的基本方法:直接法、相關(guān)點法、定義法、參數(shù)法(一般地,一個問題可以有多種方法解決,如例1用的是相關(guān)點法,也可以用定義法。在做題時充分理解題意,一般首選直接法或定義法,若不能處理再選擇相關(guān)點法或參數(shù)法。)(2)圓幾種經(jīng)典生成:生成1 :平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的軌跡是圓。(定義)生成2 :平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為的點的軌跡是圓。(引例)生成3 :平面內(nèi)定長的線段的兩個端點分別在兩條互相垂直的線上滑動,線段中點的軌跡是圓。(例2)(三)鞏固提升1、動點p到直線xy=6的距離的平方等

7、于由兩坐標(biāo)軸及點p到兩坐標(biāo)軸之垂線所圍成的矩形面積,求p的軌跡方程解:設(shè)動點p(x,y)則 s=|x·y|點p到直線x十y=6的距離又,則故p點的軌跡方程為: 當(dāng)xy0時,方程為當(dāng)xy<0時,方程為。 2、如圖,已知定點a(),點q是圓上的動點,的平分線交于m,當(dāng)q點在圓上移動時,求動點m的軌跡方程。解:設(shè)動點m(x,y),q ()om為的平分線,則,(*)q ()滿足圓,即,將(*)式代入得,整理,得動點m的軌跡方程3、過點p(2,4)作兩條互相垂直的直線,若交x軸于a點,交y軸于b點,求線段ab的中點m的軌跡方程。解:設(shè)m(x,y),設(shè)直線l1的方程為y4k(x2),(k)

8、 m為ab的中點, 消去k,得x2y50。 另外,當(dāng)k0時,ab中點為m(1,2),滿足上述軌跡方程; 當(dāng)k不存在時,ab中點為m(1,2),也滿足上述軌跡方程。 綜上所述,m的軌跡方程為x2y50。(四)課堂小結(jié)(1)求軌跡方程的基本方法:直接法、相關(guān)點法、定義法、參數(shù)法(一般地,一個問題可以有多種方法解決,如例1用的是相關(guān)點法,也可以用定義法。在做題時充分理解題意,一般首選直接法或定義法,若不能處理再選擇相關(guān)點法或參數(shù)法。)(2)圓幾種經(jīng)典生成:生成1 :平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的軌跡是圓。(定義)生成2 :平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為的點的軌跡是圓。(引例)生成3 :平面內(nèi)定長的線

9、段的兩個端點分別在兩條互相垂直的線上滑動,線段中點的軌跡是圓。(例2)(3)學(xué)習(xí)感悟:六、課后練習(xí) 1兩條直線與的交點的軌跡方程是 _.2已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點o作圓的弦0a,則弦的中點m的軌跡方程是 3當(dāng)參數(shù)m隨意變化時,則拋物線的頂點的軌跡方程為_。4求與兩定點距離的比為1:2的點的軌跡方程為_5如圖所示,已知p(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點,a、b是圓上兩動點,且滿足apb=90°,求矩形apbq的頂點q的軌跡方程 解:設(shè)ab的中點為r,坐標(biāo)為(x,y),則在rtabp中,|ar|=|pr| 又因為r是弦ab的中點,依垂徑定理 在rtoar中,|ar|2=|ao|2|or|2=36(x2+y2)又|ar|=|pr|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點r在一個圓上,而當(dāng)r在此圓上運動時,q點即在所求的軌跡上運動 設(shè)q(x,y),r(x1,y1),因為r是pq的中點,所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得

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