第四講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點講義非常好有解析

1、函數(shù)的零點【題型一】函數(shù)的零點個數(shù)【解題技巧】用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的零點個數(shù)，常通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，描繪出函數(shù)的圖象，再借助圖象加以判斷?！纠?】已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間； 若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。變式：已知定義在r上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程在區(qū)間上有四個不同的根，則【答案】 -8【解析】因為定義在r上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以, 由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為在區(qū)間0,2上 是增函數(shù)，所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù)如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在區(qū)間上

2、有四個不同的根，不妨設(shè)，由對稱性知，所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 【題型二】復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)復(fù)合函數(shù)是由內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)復(fù)合而成的，在處理其零點個數(shù)問題時，應(yīng)分清內(nèi)層和外層函數(shù)與零點的關(guān)系?！窘忸}技巧】函數(shù)的零點個數(shù)的判斷方法可借助換元法解方程的思想分兩步進行。即令，則 第一步：先判斷的零點個數(shù)情況 第二步：再判斷的零點個數(shù)情況【例2】已知函數(shù) 設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)1（江蘇省連云港市2013屆高三上學(xué)期摸底考試（數(shù)學(xué)）已知函數(shù).若方程在l,2恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)a的取值范圍(注:1n20.69):【題型三】如何運用導(dǎo)數(shù)

3、求證函數(shù)“存在、有且只有一個”零點【解題技巧】（1）要求證一個函數(shù)存在零點，只須要用“函數(shù)零點的存在性定理”即可證明。即：如果函數(shù)在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷曲線，并且，則函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點。即存在一點，使得，這個也就是方程的根.（2）要求證一個函數(shù)“有且只有一個”零點，先要證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，即存在零點；再用“函數(shù)零點的存在性定理”求證函數(shù)零點的唯一性。其依據(jù)為：如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，并且，則函數(shù)在區(qū)間上至多有一個零點?！纠?】設(shè)函數(shù) （1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍 變式：設(shè)函數(shù)，。若方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；解析

4、：方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解等價于方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解。記，則， 令，得：，當時，遞增；當時，遞減。所以。易求得：，。為使方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，則直線與函數(shù)的圖象有唯一交點，根據(jù)的圖象可知： 或 。故的取值范圍是?！纠?】已知函數(shù)在上沒有零點，求的取值范圍；【題型四】如何運用導(dǎo)數(shù)來判斷與求證含參函數(shù)的零點【例5】（2013·江蘇卷）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論基礎(chǔ)練習(xí)：1己知，其中常數(shù) （1）當時，求函數(shù)的極值； 2已知函數(shù)f（x）m（x1）22x3lnx ，mr當m0時，若曲線yf（x）在點p（1，1）處的切線l與曲線yf（x）有且只有

5、一個公共點，求實數(shù)m的值3已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.4已知函數(shù)f（x）=x3+x2-ax-a,xr,其中a>0若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2,0）內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍；5設(shè)，函數(shù) (1) 求的單調(diào)區(qū)間 ； (2) 證明：在上僅有一個零點；參考答案與解析【例1】解析：（1）當時，對，有當時，的單調(diào)增區(qū)間為當時，由解得或；由解得，當時，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。（2）因為在處取得極大值，所以所以由解得。由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，在處取得極小值。因為直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，又，結(jié)合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。【例2】

6、令，則： (1)先討論關(guān)于 的方程即根的情況：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增。 描繪出函數(shù)的草圖，并據(jù)草圖可得：方程根的情況如下表所示：c的取值范圍根的個數(shù)根或根的范圍2個根或3個根 、2個根或(2)下面考慮方程即根的情況：據(jù)上述表格及圖形和的根的情況如下表根的個數(shù)根的范圍根的個數(shù)2個根、3個根5個根2個根3個根、3個根9個根3個根3個根2個根、3個根5個根2個根綜上所述：當時，函數(shù)有5 個零點；當時，函數(shù)有9 個零點?！纠?】解：(1) , 因為, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值為(2) 因為 當時, ;當時, ;當時, ; 所以 當時,取極大值 ; 當時,取極小值

7、 ; 故當 或時, 方程僅有一個實根. 解得 或.【例4】 方法一：當，可得，因為，所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以只需，解得，從而 當時，由，解得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增所以函數(shù)在上有最小值為，令，解得，所以 綜上所述， 方法二：當， 當時，顯然不成立；當且時，令，則，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，又，由題意知【例5】0在上恒成立，則ex，故：（）若0，令0得增區(qū)間為（0，）；令0得減區(qū)間為（，）當x0時，f（x）；當x時，f（x）；當x時，f（）lna10，當且僅當時取等號故：當時，f（x）有1個零點；當0時，f（x）有2個零點（）若a0，則f（x

8、）lnx，易得f（x）有1個零點（）若a0，則在上恒成立，即：在上是單調(diào)增函數(shù)，當x0時，f（x）；當x時，f（x）此時，f（x）有1個零點綜上所述：當或a0時，f（x）有1個零點；當0時，f（x）有2個零點練習(xí)1、【答案】（1）有極小值0，沒有極大值 【解析】函數(shù)的定義域為，（1）當時， 而在上單調(diào)遞增，又，當時，則在上單調(diào)遞減；當時，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，沒有極大值 2、【解析】由f（x）mxm2，得f（1）1，所以曲線yf（x）在點p（1，1）處的切線l的方程為yx2 由題意得，關(guān)于x的方程f（x）x2有且只有一個解，即關(guān)于x的方程m（x1）2x1lnx0有且只有一個解 令g（x

9、）m（x1）2x1lnx（x0）則g（x）m（x1）1（x0） 當0m1時，由g（x）0得0x1或x，由g（x）0得1x，所以函數(shù)g（x）在（0，1）為增函數(shù)，在（1，）上為減函數(shù)，在（，）上為增函數(shù)又g（1）0，且當x時，g（x），此時曲線yg（x）與x軸有兩個交點故0m1不合題意 當m1時，g（x）0，g（x）在（0，）上為增函數(shù)，且g（1）0，故m1符合題意當m1時，由g（x）0得0x或x1，由g（x）0得x1，所以函數(shù)g（x）在（0，） 為增函數(shù)，在（，1）上為減函數(shù)，在（1，）上為增函數(shù)又g（1）0，且當x0時，g（x），此時曲線yg（x）與x軸有兩個交點故m1不合題意綜上，實數(shù)m的

10、值為m1 3、【答案】解: 當時, 令, 則直線:與曲線沒有公共點, 等價于方程在上沒有實數(shù)解. 假設(shè),此時, 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾,故. 又時,知方程在上沒有實數(shù)解. 所以的最大值為. 解法二: ()()同解法一. ()當時,. 直線:與曲線沒有公共點, 等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程: (*) 在上沒有實數(shù)解. 當時,方程(*)可化為,在上沒有實數(shù)解. 當時,方程(*)化為. 令,則有. 令,得, 當變化時,的變化情況如下表:當時,同時當趨于時,趨于, 從而的取值范圍為.所以當時,方程(*)無實數(shù)解, 解得的取值范圍是. 綜上,得的最大值為. 5、【答案】（1）；（2）見解析； 【解析】（1）依題， 在上是單調(diào)增函數(shù)；（2） ， 且， 在上有零點，又由（1）知在上是單調(diào)增函數(shù)，在上僅有一個零點；【考點定位】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、零點、