高中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽講座04平面幾何證明

1、競賽專題講座04平面幾何證明競賽知識點撥1 線段或角相等的證明（1）利用全等或相似多邊形；（2）利用等腰；（3）利用平行四邊形；（4）利用等量代換；（5）利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系（6）利用圓中的等量關(guān)系等。2 線段或角的和差倍分的證明（1）轉(zhuǎn)化為相等問題。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證明a=p，即所謂“截長補(bǔ)短”，角的問題仿此進(jìn)行。（2）直接用已知的定理。例如：中位線定理，rt斜邊上的中線等于斜邊的一半；的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。3 兩線平行與垂直的證明（1）利用兩線平行與垂直的判定定理。（2）利用平行四邊形

2、的性質(zhì)可證明平行；利用等腰的“三線合一”可證明垂直。（3）利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等?！靖傎惱}剖析】【例1】從o外一點p向圓引兩條切線pa、pb和割線pcd。從a點作弦ae平行于cd，連結(jié)be交cd于f。求證：be平分cd?！痉治?】構(gòu)造兩個全等。連結(jié)ed、ac、af。cf=dfacfedfpab=aeb=pfb【分析2】利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)of、op、ob。pfb=pob注：連結(jié)op、oa、of，證明a、o、f、p四點共圓亦可。【例2】abc內(nèi)接于o，p是弧 ab上的一點，過p作oa、ob的垂線，與ac、bc分別交于s、t，ab交于m、n。求證：pm=ms

3、充要條件是pn=nt?！痉治觥恐恍枳C， pm·pn=ms·nt。（1=2，3=4）apmpbnpm·pn=am·bn（bnt=ams，btn=mas）bntsmams·nt=am·bn【例3】已知a為平面上兩半徑不等的圓o1和o2的一個交點，兩外公切線p1p2、q1q2分別切兩圓于p1、p2、q1、q2，m1、m2分別為p1q1、p2q2的中點。求證：o1ao2=m1am2?！痉治觥吭O(shè)b為兩圓的另一交點，連結(jié)并延長ba交p1p2于c，交o1o2于m，則c為p1p2的中點，且p1m1cmp2m2，故cm為m1m2的中垂線。在o1m上截取

4、mo3=mo2，則m1ao3=m2ao2。故只需證o1am1=o3am1，即證。由p1o1m1p2o2m2，m1o3=m2o2，o1p1=o1a，o2p2=o2a可得?！纠?】在abc中，ab>ac，a的外角平分線交abc的外接圓于d，deab于e，求證：ae=?！痉治觥糠椒?、2ae=ab-ac 在be上截取ef=ae，只需證bf=ac，連結(jié)dc、db、df，從而只需證dbfdca df=da，dbf=dca，dfb=dac dfa=daf=dag。方法2、延長ca至g，使ag=ae，則只需證be=cg 連結(jié)dg、dc、db，則只需證dbedcg de=dg，dbe=dcg，deb=d

5、gc=rt?！纠?】abc的頂點b在o外，ba、bc均與o相交，過ba與圓的交點k引abc平分線的垂線，交o于p，交bc于m。求證：線段pm為圓心到abc平分線距離的2倍?！痉治觥咳艚瞧椒志€過o，則p、m重合，pm=0，結(jié)論顯然成立。若角平分線不過o，則延長do至d，使od=od，則只需證dd=pm。連結(jié)dp、dm，則只需證dmpd為平行四邊形。過o作mpk，則dd,kp，dpk=dkpbl平分abc，mkblbl為mk的中垂線dkb=dmkdpk=dmk，dpdm。而d dpm，dmpd為平行四邊形?！纠?】在abc中，ap為a的平分線，am為bc邊上的中線，過b作bhap于h，am的延長線

6、交bh于q，求證：pqab。【分析】方法1、結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。倍長中線：延長am至m，使am=ma，連結(jié)ba，如圖6-1。pqababq=180°-(hba+bah+cap)= 180°-90°-cap=90°-bap=abq方法2、結(jié)合角平分線和bhah聯(lián)想對稱知識。延長bh交ac的延長線于b，如圖6-2。則h為bb的中點，因為m為bc的中點，連結(jié)hm，則hmb/c。延長hm交ab于o，則o為ab的中點。延長mo至m，使om=om，連結(jié)ma、mb，則ambm是平行四邊形，mpam，qmbm。于是，所以pqab。【例7】菱形a

7、bcd的內(nèi)切圓o與各邊分別切于e、f、g、h，在ef與gh上分別作o的切線交ab于m，交bc于n，交cd于p，交da于q。求證：mqnp。（95年全國聯(lián)賽二試3）【分析】由abcd知：要證mqnp，只需證amq=cpn，結(jié)合a=c知，只需證amqcpn，am·cn=aq·cp。連結(jié)ac、bd，其交點為內(nèi)切圓心o。設(shè)mn與o切于k，連結(jié)oe、om、ok、on、of。記abo=，mok=，kon=，則eom=，fon=，eof=2+2=180°-2。bon=90°-nof-cof=90°-=cno=nbo+nob=+=aoe+moe=aom又ocn

8、=mao，ocnmao，于是，am·cn=ao·co同理，aq·cp=ao·co?！纠?】abcd是圓內(nèi)接四邊形，其對角線交于p，m、n分別是ad、bc的中點，過m、n分別作bd、ac的垂線交于k。求證：kpab?！痉治觥垦娱Lkp交ab于l，則只需證pal+apl=90°，即只需證pdc+kpc=90°，只需證pdc=pkf，因為p、f、k、e四點共圓，故只需證pdc=pef，即efdc。dmecnf【例9】以abc的邊bc為直徑作半圓，與ab、ac分別交于點d、e。過d、e作bc的垂線，垂足分別是f、g，線段dg、ef交于點m。求證：ambc?！痉治觥窟B結(jié)be、cd交于h，則h為垂心，