復(fù)變函數(shù)課件：第二章2_3初等函數(shù)

1、12.3 初等函數(shù)初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、二、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三、三、冪函數(shù)冪函數(shù)四、三角函數(shù)四、三角函數(shù) 復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一樣的。兩者是一樣的。2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)的定義方式盡可能保持一致。的定義方式盡可能保持一致。特別是特別是當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí)當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí)，特別要注意與實(shí)初等函數(shù)的區(qū)別特別要注意與實(shí)初等函數(shù)的區(qū)別3一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù),yixz )sin(coseyiywx 對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)稱稱定義定義為為指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) ,記為記為 或或zwexp .ezw (最重要的函數(shù)最重

2、要的函數(shù))注注(1) . )sin(coseeeeeyiywxyixyixz (2) 從定義本身來(lái)看，從定義本身來(lái)看， 應(yīng)理解為應(yīng)理解為僅僅是一種記號(hào)僅僅是一種記號(hào)ze或者或者規(guī)定規(guī)定，僅僅作為代替僅僅作為代替 的符號(hào)使用。的符號(hào)使用。zexp P41定義定義 2.5 ze在在復(fù)平面上處處解析復(fù)平面上處處解析，且，且(3).e)(ezz 4一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) (1) 是是單值函數(shù)單值函數(shù)。ze事實(shí)上，在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有事實(shí)上，在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有(2) 除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，處處有定義。，處處有定義。ze當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， xy,0;e z當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， xy,0.0ez(3).0e z.0s

3、incos,0e yiyx因?yàn)橐驗(yàn)? )sin(coseeyiywxz (5) 是以是以 為周期的為周期的周期函數(shù)。周期函數(shù)。zeik2,111iyxz (4).eee2121zzzz ,222iyxz 有有5y4 (z)yxwyxezwe Lnwz vu(w)一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(6) 映射關(guān)系：映射關(guān)系：性質(zhì)性質(zhì)由由,)sin(coseeeeyixxzyiyw 有有y2 由由 z 的實(shí)部得到的實(shí)部得到 w 的模；的模；由由 z 的虛部得到的虛部得到 w 的輻角的輻角。,|exw ,2Argkyw ), 2, 1, 0( k xzy6二、二、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函

4、數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。.Lnzw 記作記作zwLn zizArg|ln 即即zw e)(zfw 滿足方程滿足方程的函數(shù)的函數(shù)稱為稱為對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)，定義定義計(jì)算計(jì)算 令令,|eeArg izirzz ,viuw 由由,ezw 有有,eee iviur , |lnlnzru .Argzv 由由 z 的模得到的模得到 w 的實(shí)部的實(shí)部 ；由由 z 的輻角得到的輻角得到 w 的虛部的虛部 。,2arg|lnikziz . ), 2, 1, 0( k P43定義定義 2.6 )0( z7二、二、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)為顯然對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)多值函數(shù)。主值主值( (枝枝) )zwL

5、n 稱稱為為的的主值主值( (枝枝) )，zizwarg|ln .lnzw 記為記為故有故有,2lnLnikzz . ), 2, 1, 0( k分支分支( (枝枝) )特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 xz的主值的主值 就是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。就是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。zLnxzlnln 對(duì)于任意一個(gè)固定的對(duì)于任意一個(gè)固定的 k，稱，稱 為為 的的ikz2ln zLn一個(gè)一個(gè)分支分支( (枝枝) )。,2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k8二、二、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)在原點(diǎn)無(wú)定義，故它的定義域?yàn)樵谠c(diǎn)無(wú)定義，故它的定義域?yàn)閦wLn .0 z(1)(2)的各分支在的各分支在除去原點(diǎn)

6、及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)連續(xù)；除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)連續(xù)；zLnzln在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)連續(xù)。在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)連續(xù)。特別地，特別地，,2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k注意到，注意到，函數(shù)函數(shù)在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。zarg(3)的各分支在的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析；除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析；zLnzln在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。特別地，特別地，9由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得進(jìn)一步有進(jìn)一步有( (在集合在集合意義下意義下) )二、二、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))(e

7、1lnwwdzzd we1 .1z dzzd ln dzikzd)2(ln .1z dzzd Ln;LnLn)Ln(2121zzzz (4).LnLn)Ln(2121zzzz 事實(shí)上，事實(shí)上，znznLn)Ln( )(1 n性質(zhì)性質(zhì),2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k10ikiiii2)1(arg|1 |ln)1(Ln (2),242ln)(iki 主值主值 .42ln)1(ln)(ii 例例 求下列對(duì)數(shù)以及它們的主值。求下列對(duì)數(shù)以及它們的主值。);1Ln( (1).1Ln(i (2);)12(ik 解解iki2)1(arg| 1|ln)1(Ln 主值主值 .)1

8、(lni iki21ln P43 例例2.11 可見，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是可以求對(duì)數(shù)的可見，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是可以求對(duì)數(shù)的。 11三、三、冪函數(shù)冪函數(shù)稱為復(fù)變量稱為復(fù)變量 z 的的冪函數(shù)冪函數(shù)。 還還規(guī)定規(guī)定：當(dāng)：當(dāng) a a 為正實(shí)數(shù)，且為正實(shí)數(shù)，且 時(shí)，時(shí)， 0 z.0 a az( ( 為復(fù)常數(shù)，為復(fù)常數(shù)， ) )a azw zzLnea aa a 定義定義 函數(shù)函數(shù) 規(guī)定規(guī)定為為0 za a P45定義定義 2.7 zLn是多值函數(shù)，是多值函數(shù)，zLnea由于由于所以所以一般也是多值函數(shù)。一般也是多值函數(shù)。12討論討論此時(shí)，此時(shí)， 處處解析，且處處解析，且.)(1 a aa aa azz

9、a az當(dāng)當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí), a a.lnLneeznznnz ( (單值單值) )(1)此時(shí)，此時(shí)， 除原點(diǎn)外處處解析，且除原點(diǎn)外處處解析，且.)(1 a aa aa azza az當(dāng)當(dāng) 為負(fù)整數(shù)時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí), a a.1nnzz (2)( (單值單值) )當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 a a.10 z(3)三、三、冪函數(shù)冪函數(shù)zzLneaa 13討論討論其中，其中，m 與與 n 為互質(zhì)的整數(shù)，且為互質(zhì)的整數(shù)，且 .1 n(5) 當(dāng)當(dāng) 為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)( )( )時(shí)時(shí)，a a0Im a a當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)時(shí)為有理數(shù)時(shí), a a(4).nmnmzz 此時(shí)，此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析

10、，除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析，a az一般為一般為無(wú)窮多值無(wú)窮多值。此時(shí)，此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析，除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析，a az.)(1 a aa aa azz且且三、三、冪函數(shù)冪函數(shù).)(1 a aa aa azz且且).1, 1 , 0( nk)2(lneikznm ,ee2lnnimkznm znmnmzLne zzLneaa n（ 個(gè)值）個(gè)值）14解解iiiiLne )(22eikii . ), 2, 1, 0( k,)(22ek 可見，可見， 是正實(shí)數(shù)，是正實(shí)數(shù)，它的主值是它的主值是例例 求求 的值。的值。ii. ), 2, 1, 0( k, )22(sin)22(cos

11、kik ik22e )20(02e ki 求求 的值。的值。21例例1Ln22e1 解解 可見，不要想當(dāng)然地認(rèn)為可見，不要想當(dāng)然地認(rèn)為P46 .e2 ii. 11 a15四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)啟示啟示 由歐拉公式由歐拉公式,sincose ii 有有,sincose ii , )(21cosee ii . )(21sinee iii 余弦函數(shù)余弦函數(shù); )(21coseeziziz 正弦函數(shù)正弦函數(shù). )(21sineeziziiz 定義定義 P47定義定義 2.8 ,cossintanzzz 其它三角函數(shù)其它三角函數(shù),sincoscotzzz ,cos1seczz ,sin1csczz （

12、單值）（單值）16四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) 周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣；周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣； 各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬；各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬； 有界性有界性( (即即 ) )不成立不成立。1|sin| ,1|cos| zz P47-48注注iyz 例如：例如： zcoszsin在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，和和,sin)(coszz .cos)(sinzz 例如：例如： iyzcoscos 2yyee |cos|z)( y212121sincoscossin)sin(zzzzzz17四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)性

13、質(zhì)性質(zhì) 有界性有界性( (即即 ) )不成立不成立。1|sin| ,1|cos| zz P47-48注注iyz 例如：例如： z2cos)(sin2i 例如：例如：z2sin21)e(e41 不總是非負(fù)的不總是非負(fù)的。及及. 0 周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣；周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣； 各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬；各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬； zcoszsin在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，和和例如：例如： ,sin)(coszz .cos)(sinzz 212121sincoscossin)sin(zzzzzz18 討論函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性討論函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性第二章小結(jié)第二章小結(jié) 求給定初等函數(shù)的值求給定初等函數(shù)的值（指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)）（指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)） 求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式xvixuzf )( 已知實(shí)部已知實(shí)部 u，求虛部，求虛部 v ( (或者或者已知虛部已知虛部 v，求實(shí)部，求