S(五章3講)勢壘貫穿

1、光電信息學(xué)院 李小飛第五章：求解定態(tài)薛定諤方程第五章：求解定態(tài)薛定諤方程第第三三講：講：勢壘貫穿勢壘貫穿 （量子隧道效應(yīng)）量子隧道效應(yīng)）1962年，年僅22歲（研究生）的Brian Josephson（猶太人）通過量子理論計(jì)算表明：中間用薄絕緣體隔開的兩超導(dǎo)體之間存在電流，這種宏觀的量子效應(yīng)在其后幾年就被實(shí)驗(yàn)測量到。獲1973年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)JosephsonJunction絕緣體電子波遇到勢壘而產(chǎn)生的干涉和隧穿效應(yīng)電子波遇到勢壘而產(chǎn)生的干涉和隧穿效應(yīng)1 1、計(jì)算過程、計(jì)算過程axUaxorxxU000, 0)(0特點(diǎn)： (1) 勢壘，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不為零，是擴(kuò)展態(tài)，能譜連續(xù) (2) 經(jīng)典力

2、學(xué)：若E U0, 則粒子將穿過勢壘運(yùn)動。 量子力學(xué)：由于粒子的波動性，此問題將與光透過一層介質(zhì) 相似，總有一部分穿過勢壘。因此，計(jì)算的重點(diǎn)是透射系數(shù)。 （）方型勢壘0 aU(x) U0I II III222202220(0,)2()0(0)dExxadxdEUxadxEUEU0 0 的情形的情形令 12122kE122022()kE U0 aU(x) U0I II IIIE（）定態(tài)薜定諤方程(經(jīng)過整理)222( )2dHU xdx（2）哈密頓算符（）解方程向右傳播的入射波向左傳播的反射波由左向右的透射波因區(qū)無由右向左傳播的平面波，故0C 分區(qū)取解112211(0)(1)(0)(2)()(3)i

3、k xik xIik xik xIIik xik xIIIAeA exBeB exaC eC exa)0(0), 0(022222122axkdxdaxxkdxd則方程變?yōu)榉匠痰那蠼膺^程消去 與 , 并設(shè)已知：BB0000()()()()I xI xIIIxxII x aIII x aIIIIIx ax adddxdxdddxdx由波函數(shù)的連續(xù)性條件 可得透射波振幅 與入射波振幅 間的關(guān)系CAAekkekkekkCaikaikaik22122122121)()(4（4）11221(0)(1)(0)(2)()(3)ik xik xIik xik xIIik xIIIAeA exBeB exaCe

4、xa 定系數(shù)：AABB1122k Ak Ak Bk B221ik aik aik aBeBeCe221221ik aik aikak Bek BekCe利用概率流密度公式:*()2iJ 求得入射波 的概率流密度 xikAe121|kJA透射波 的概率流密度 xikCe121| |TkJC反射波 的概率流密度 xikeA121| |RkJAAekkekkakkkiAaikaik2222122122221)()(sin)(2（5） 以及反射波振幅 與入射波振幅 間的關(guān)系A(chǔ)A 為了定量描述入射粒子透射勢壘的概率和反射概率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。透射透射系數(shù)系數(shù)22212222 2222122124

5、|() sin4TJk kCTJAkkakk k（6）反射反射系數(shù)系數(shù)22 222122222 222212212|() sin|() sin4RJkkakARJAkkakk k（7）以上二式說明入射粒子部分地隧穿勢壘 到達(dá)第III區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來區(qū)。(0)xa1TR表明概率守恒定義透射系數(shù)和反射系數(shù)當(dāng)然，上述結(jié)果對-U0 0的情況也成立 23kik令123022()kU E是實(shí)數(shù)其中122022()kE U 是虛數(shù)在(6)和(7)式中，把 換為 ，2k3ik得：EUEE，而 又不太小時(shí)，有k3a1，則a即勢壘既寬又高（）討論設(shè) E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10

6、-10 m = 2， 算得 T 0.51。若a=5 10-8cm = 5 ， 則 T 0.024，可見 透射系數(shù)迅速減小。 質(zhì)子與電子質(zhì)量比 p/e 1840。 對于a = 2 則 T 2 10-38。 可見透射系數(shù)明顯的依賴于 粒子的質(zhì)量和勢壘的寬度。量子力學(xué)提出后，Gamow 首先用勢壘穿透成功的說明 了放射性元素的衰變現(xiàn)象。若入射粒子換成質(zhì)子：衰變的理論解釋衰變的理論解釋 1928年，喬治伽莫夫解釋原子核衰變的模型，借助這模型，導(dǎo)引出粒子半衰期與能量關(guān)系的方程式透射透射系數(shù)系數(shù)22212222 2222122124|() sin4TJk kCTJAkkakk k22sin0ak 1202

7、0, ,2 2(),.aE UmaxTT 2 . 共 振 輸 運(yùn) .任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成許 多小勢壘，這些小勢壘可以近 似用方勢壘處理。22 ( )0U xE dxTT e對每一小方勢壘透射系數(shù)0 a bU(x)x22( )0baU xE dxTT e 則貫穿整個(gè)勢壘的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積，即此式的推導(dǎo)雖不太嚴(yán)格，但與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致。dx22( )0baU xE dxTT e . 場 致 發(fā) 射 （ 冷 發(fā) 射 ）欲使金屬發(fā)射電子，欲使金屬發(fā)射電子，可以將金屬加熱或用光照可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就射給電子提供能量，這就是我們所熟知的是

8、我們所熟知的熱發(fā)射熱發(fā)射和和光電效應(yīng)光電效應(yīng)。 但是但是，施加一個(gè)，施加一個(gè)外電場外電場，金屬中電子的所感受到的電金屬中電子的所感受到的電勢如圖勢如圖(b)(b)所示。金屬中電子所示。金屬中電子面對一個(gè)勢壘，能量最大的面對一個(gè)勢壘，能量最大的電子就能通過隧道效應(yīng)穿過電子就能通過隧道效應(yīng)穿過勢壘漏出，從而導(dǎo)致所謂勢壘漏出，從而導(dǎo)致所謂場場致電子發(fā)射致電子發(fā)射。圖圖 （b b）圖圖 （a a）. 隧道二極管 1957年江崎玲於奈發(fā)明隧道二極管。它是高摻雜半導(dǎo)體形成的窄的PN結(jié)；這種電流隨電壓增大反而變小的現(xiàn)象稱為負(fù)微分電導(dǎo)效應(yīng)年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng) 當(dāng)加前向偏壓時(shí), N區(qū)電子可以通過隧道

9、效應(yīng)，穿過禁帶進(jìn)入 P區(qū)空帶。隨偏壓增大，隧道電流變大；隨后到達(dá)極大值然后逐漸下降（因?yàn)榭蛇M(jìn)入空態(tài)減少），最后下降到 零（空態(tài)沒了）氮摻雜石墨烯產(chǎn)生負(fù)微分電導(dǎo)行為的物理機(jī)理Xiao-Fei Li et al. Half-filled energy bands induced negativedifferential resistance in nitrogen-doped graphene (2015) Nanoscale, IF(6.7). 閃存與固態(tài)硬盤利用量子隧道效應(yīng)進(jìn)行穿隧注入(Tunnel injection)寫入，以及穿隧釋放(Tunnel release)抹除,可實(shí)現(xiàn)信息的讀寫。

10、他在1984年舊金山IEEE國際電子會議宣讀了自己的發(fā)現(xiàn)， Intel于會者看到了它的巨大潛力，于1988年推出第一款商業(yè)性閃存,現(xiàn)在的閃存市場：268億舛岡富士雄博士在東芝公司工作期間，通過理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)：(Scanning Tunneling Microscope).掃描隧穿顯微鏡（STM）SAUei S 樣品和針尖間的距離U 加在樣品和針尖間的微小電壓A 常數(shù) 平均勢壘高度隧道電流公式05090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象神經(jīng)細(xì)胞的STM掃描圖象單原子搬運(yùn)，白春禮先生（中科院院長） 鑲嵌了48個(gè) Fe 原子的 Cu 表面的掃描隧道顯微鏡照片。48 個(gè) Fe 原子形成“電子

11、圍欄”，圍欄中的電子形成駐波世界上第一次測量到波函數(shù)形態(tài) 1986年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)由賓尼、羅赫爾與魯斯卡三人分享。 前兩者就是掃描隧穿顯微鏡的直接發(fā)明者，（魯斯卡是（魯斯卡是19321932年電子顯微鏡的年電子顯微鏡的發(fā)明者，這里只是發(fā)明者，這里只是為了追為了追朔他的朔他的功勞）功勞）羅赫爾賓尼魯斯卡例1：0 U(x) U0 I II作業(yè)1：作業(yè)：作業(yè)：已知核的勢能曲線如圖，計(jì)算粒子的透射系數(shù)加分.2.電子通過單一勢壘時(shí)，透射系數(shù)一般很小，但是在通過雙勢壘時(shí)，卻可以出現(xiàn)透射系數(shù)為100%的情況，稱為共振隧穿，試研究這種情況并給出共振隧穿發(fā)生的條件加分附錄：了解納米與分子電子學(xué)附錄：1.方勢阱的透射與共振：入射粒子E0，勢阱深度-V0，寬a。求透射系數(shù)T，并討論T的極大，極小條件。解：解：00( )00Vxau xxxa，或E-V0oax當(dāng)粒子能量E入射高度為u0的勢壘(E u0 )時(shí)，透射系數(shù)為： ，其中此公式也適用于勢阱的透射，只須改定義 即在k表達(dá)式中以-V0替代勢壘高度u0。討論:(1)V0=0時(shí)，k= k，T=1，此時(shí)無勢阱。 T=1驗(yàn)證公式正確(2) V00時(shí)，T1， 粒子不能以100的幾率透過勢阱，有一定的幾率被反射，這是量子力學(xué)特有的效應(yīng)