整式的乘法一

1、整式的乘法（一）一、教學內(nèi)容及要求：節(jié)次知識要點71（1）同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)（2）三個或三個以上的同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)72（1）冪的乘方性質(zhì)（2）積的乘方性質(zhì)（3）三個或三個以上因式的積的乘方性質(zhì)73（1）單項式與單項式相乘的法則（2）含有用10的冪表示的數(shù)的乘法74（1）單項式與多項式相乘法則的依據(jù)（2）單項式與多項式相乘的運算法則75（1）多項式與多項式相乘的運算法則（2）兩個特殊形式的一次二項式相乘的法則 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab二、技能要求：1掌握正整數(shù)冪的運算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方），能用字母式子和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進

2、行運算。2掌握單項式與單項式，單項式與多項式，多項式與多項式相乘的法則，并能運用它們進行運算。三、重要數(shù)學思想 在學習整式乘法法則和運算中，初步掌握轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，注意由多項式到單項式，從未知向已知的轉(zhuǎn)化。四、主要數(shù)學能力 1通過冪的運算到多項式乘法的學習，初步理解“特殊一般特殊”的認識規(guī)律，發(fā)展思維能力。 2在學習冪的運算性質(zhì)、乘法法則的過程中，培養(yǎng)觀察、綜合、類比、歸納、抽象、概括等思維能力。五、學習指導 1同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n (m, n是自然數(shù)) 同底數(shù)冪的乘法法則是本章中的第一個冪的運算法則，也是整式乘法的主要依據(jù)之一。學習這個法則時應注意以下幾個問題：

3、（1）先弄清楚底數(shù)、指數(shù)、冪這三個基本概念的涵義。（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一個具體的數(shù)或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底數(shù)就是一個二項式(2x+y)。（3）指數(shù)都是正整數(shù)（4）這個法則可以推廣到三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap.=am+n+p+. (m, n, p都是自然數(shù))。（5）不要與整式加法相混淆。乘法是只要求底數(shù)相同則可用法則計算，即底數(shù)不變指數(shù)相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法則要求兩個相同；底數(shù)相同且指數(shù)也必須相同，實際上是冪相同系數(shù)相加，如-2

4、x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。例1計算：(1) (-)(-)2(-)3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) (-)(-)2(-)3 分析：(-)就是(-)1，指數(shù)為1 =(-)1+2+3 底數(shù)為-，不變。 =(-)6 指數(shù)相加1+2+3=6 = 乘方時先定符號“+”，再計算的6次冪解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5 分析：-a4與(-a)3不是同底數(shù)冪 =-(-a)4·(-a)3·(-a)5 可利用-(-a)4=-a4變?yōu)橥讛?shù)冪 =-(-a)4+3+5 本題也可作如下處理： =-

5、(-a)12 -a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5) =-a12 =-(a4·a3·a5)=-a12例2計算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6 解：(x-y)3(y-x)(y-x)6 分析：(x-y)與(y-x)不是同底數(shù)冪 =-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6 =-(x-y)3+1+6 變?yōu)?x-y)為底的同底數(shù)冪，再進行 =-(x-y)10 計算。例3計算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4解：x5·xn-3

6、·x4-3x2·xn·x4 分析：先做乘法再做減法 =x5+n-3+4-3x2+n+4 運算結果指數(shù)能合并的要合并 =x6+n-3x6+n 3x2即為3·(x2) =(1-3)x6+n x6+n，與-3x6+n是同類項， =-2x6+n 合并時將系數(shù)進行運算(1-3)=-2 底數(shù)和指數(shù)不變。2冪的乘方(am)n=amn，與積的乘方(ab)n=anbn(1)冪的乘方，(am)n=amn，(m, n都為正整數(shù))運用法則時注意以下以幾點：冪的底數(shù)a可以是具體的數(shù)也可以是多項式。如(x+y)23三次冪的底數(shù)為(x+y)，是一個多項式，(x+y)23=(x+y)6

7、要和同底數(shù)冪的乘法法則相區(qū)別，不要出現(xiàn)下面的錯誤。如：(a3)4=a7; (-a)34=(-a)7; a3·a4=a12(2)積的乘方(ab)n=anbn，（n為正整數(shù)）運用法則時注意以下幾點：注意與前二個法則的區(qū)別：積的乘方等于將積的每個因式分別乘方（即轉(zhuǎn)化成若干個冪的乘方），再把所得的冪相乘。積的乘方可推廣到3個以上因式的積的乘方，如：(-3a2b)3如(a1·a2·an)m=a1m·a2m·anm例4計算：(a2m)n (am+n)m (-x2yz3)3 -(ab)8解：(a2m)n 分析：先確定是冪的乘方運算 =a(2m)n 用法則底數(shù)

8、a 不變指數(shù)2m和n相乘 =a2mn (am+n)m 分析：底數(shù)a不變，指數(shù)(m+n)與m相乘 =a(m+n)m =am+mn 運用乘法分配律進行指數(shù)運算。 (-x2yz3)3 分析：底數(shù)有四個因式：(-1), x2, y, z3 =(-1)3(x2)3y3(z3)3 分別3次方 =-x6y3z9 注意(-1)3=-1, (x2)3=x2×3=x6 -(ab)8 分析：8次冪的底數(shù)是ab。 =-(a8b8) “-”在括號的外邊先計算(ab)8 =-a8b8 再在結果前面加上“-”號。例5當ab=，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。解：(ambm)n 分析：對(ab)n=anb

9、n會從右向左進行逆 =(ab)mn 運算 ambm=(ab)m =(ab)mn 將原式的底數(shù)轉(zhuǎn)化為ab，才可將ab 當m=5, n=3時， 代換成。 原式=()5×3 ()15應將括起來不能寫成15。 =()15例6若a3b2=15，求-5a6b4的值。解：-5a6b4 分析：a6b4=(a3b2)2 =-5(a3b2)2 應用(ab)nanbn =-5(15)2 =-1125例7如果3m+2n=6，求8m·4n的值。解：8m·4n 分析：8m=(23)m=23m =(23)m·(22)n 4n=(22)n=22n =23m·22n 式子中出現(xiàn)

10、3m+2n可用6 =23m+2n 來代換 =26=643單項式乘法： 利用乘法交換律和乘法結合律再用同底數(shù)冪的乘法法則可完成單項式乘法。對于法則不要死記硬背，但要注意以下幾點：積的系數(shù)等于各單項式的系數(shù)的積，應先確定符號后計算絕對值相同字母因數(shù)相乘，是同底數(shù)冪的乘法。要注意只在一個單項式里含有的字母要連同它的指數(shù)寫在積里，不能將這個因式丟掉。單項式乘以單項式的結果仍是一個單項式。字母因式的底也可以是一個多項式，如：-2a(x+y)2·4ab2(x+y)3=-8a2b2(x+y)5單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘也適用。例如：ab2(-2a2b)(-4abc)=a4b4c例8計算

11、：(-3a2b)(-a2c2)·4c3 -3(a-b)22(a-b)3(a-b)解：(-3a2b)(-a2c2)·4c3 分析：不要將b的這個因式丟掉 =(-3) (-)(4)a2+2bc2+3 =6a4bc5 -3(a-b)22(a-b)3(a-b) 分析：將(a-b)看作底數(shù)，仍用 =(-3)(2)() (a-b)2+3+1 單項式乘法法則來作。 =-4(a-b)6例9計算(-3×106)·(-2×104)·(-5×105) 解：(-3×106)(-2×104)(-5×105) 分析：可用單

12、項式乘法法則 =(-3)(-2)(-5)·106+4+5 來作 =-30×1015 =-3×1016 用含10的冪記數(shù)將 -30×1015寫成-3×1016例10計算am+5bn+1·a-m+6bn-1解：am+5bn+1·a-m+6bn-1 分析：無論指數(shù)多繁雜同底冪結合 =(am+5·a-m+6)(bn+1·bn-1) 是關鍵。 =am+5-m+6 bn+1+n-1 =a11b2n例11計算(ab3)n·(ab3)4-n 解法（一）：(ab3)n·(ab3)4-n 分析：依照一般運

13、算順序、計算 =an(b3)n·a4-n(b3)4-n 先做乘方，再做乘法。 =anb3n·a4-nb12-3n =an·a4-n b3n·b12-3n =an+4-nb3n+12-3n =a4b12解法（二）：(ab3)n·(ab3)4-n 分析：運用換元思想使運算過程 =(ab3)n+4-n 大為簡化。即將ab3看成一個底數(shù) =(ab3)4 再運用同底數(shù)冪的乘法法則計算 =a4b12例12計算(a2b4)m(ab4)2-m 解法（一）：(a2b4)m(ab4)2-m 分析：先變形：(a2b4)m=am·(ab4)m =(a

14、3;ab4)m·(ab4)2-m 后用換元思想將ab4看成 =am·(ab4)m·(ab4)2-m 一個底數(shù)用同底數(shù)冪乘法法則 =am(ab4)m+2-m 最后再用單項式乘法法則 =am(ab4)2 =am·a2b8 =am+2b8解法（二）：(a2b4)m·(ab4)2-m =(a2)m(b4)m·a2-m(b4)2-m 分析：依照一般運算順序先 =a2mb4m·a2-mb8-4m 做積的乘方再做單項式乘法 =(a2m·a2-m)(b4m·b8-4m) 不換元反而簡便。所以解題 =a2m+2-mb4m+

15、8-4m 前要就題取法。 =am+2b8 通過前邊幾例的解法對比，目的在于培養(yǎng)我們自覺地分析例題特點，采取合理的簡捷的方法，就題取法也是一種解題能力，只有通過解題中自我體會，不要造題型，這樣才能提高我們觀察思維的能力。例13計算(-1)2k+1·(-)2k 解：(-1)2k+1·(-)2k 分析：(-1)的奇次冪是-1 =(-1)·(-)2k （-1）的偶次冪是+1 =-1·()k 利用amn(am)n將(-)2k =-()k 變形(-)2k=(-)2k=()k例14計算 (32)10+(92)5 (23)63+(83)23解法（一）：(32)10+(9

16、2)5 分析：利用“化歸”思想將兩項 =320+910 都化成以3為底數(shù)的冪，再合并 =320+(32)10 同類項。 =320+320 =2×320解法（二）：(32)10+(92)5 分析：利用“化歸”思想將兩項 =910+910 都化成以9為底數(shù)的冪，再合并 =2×910 同類項。解法（一）(23)63+(83)23 =(86)3+(86)3 分析：利用“化歸”思想將兩項 =818+818 都化成以8為底數(shù)的冪 =2×818解法（二）(23)63+(83)23 =23×6×3+83×2×3 分析：將兩項都化為以2為底的

17、冪 =254+818 =254+(23)18 =254+254 =2×254 =255 由以上四例解法可以看出，在冪的運算中，把不同底數(shù)冪化為同底數(shù)冪，以便于應用同底數(shù)冪的運算性質(zhì)來處理，這是化簡計算結果的一個重要環(huán)節(jié)。專題檢測1.下列計算正確的是：a、a3·a4=a12 b、(a3)4=a7 c、(a2b)3=a6b3 d、a4- a3 =a2、計算正確的是（ ）a、(-0.5)×(-8)=-4 b、(-36)÷9=-4c、3ab-(-2ab)=ab d、c·c3=c33、2m·4n=（ ）a、 (2×4)m+n b、 2

18、×2m+n c、 2n·2m+n d、 2m+2n4、下列各式中，正確的是（ ）a、a3+a3=a6 b、(3a3)2=6a6 c、a3·a2=a6 d、(a3)2=a65、下列計算正確的是（ ）a、2+(2)0=1b、104·104=1c、(104)2=1016 d、(3×10)3=9×103答案：c b d d b 1. 評析：解該題時必須準確地把握住冪的運算性質(zhì)的結論，通過分析易判斷出正確的結果為c。2. 評析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，經(jīng)過排除a、c、d不對，選b。答案：b3. 評析：首先將2m和4n化成底數(shù)相同的冪,然后根據(jù)同

19、底數(shù)冪的乘法法則再進行計算。解：2m·4n =2m·(22)n=2m·22n=2m+2n. 故選d。注意：有的學生常會因2m和4n不是同底數(shù)冪，而不能求解，其實不同底的冪的運算，如果一個底數(shù)是另一個底數(shù)的冪，那么這兩個冪可以化成較小底數(shù)的冪的形式，達到化不同底數(shù)冪為同底數(shù)冪的目的。4. 評析思路：根據(jù)整式運算法則，逐一核對各備選答案，再做判斷，（整式的運算作為單獨命題出現(xiàn)的不多，即使單獨命題，也是比較簡單的一些題型，如填空或選擇題，但是整式運算是解方程，解不等式和解決函數(shù)問題的基礎，所以必須引起大家的高度重視.解：a、a3+a3=2a3. b、(3a3)2=32&

20、#183;(a3)2=9a6. c、a3·a2=a3+2=a5. d、(a3) 2=a3´2=a6. 答案：選d。5. 答案：b.中考解析一 整式的乘法71 同底數(shù)冪的乘法考點掃描：掌握同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)并能熟練地應用名師精講：1同底數(shù)冪的概念：幾個相同因數(shù)a相乘，即，記作an,讀作a的n次冪，其中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù) 2同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加用式子表達：am·an=am+n（m，n都是正整數(shù)）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)如am·an·ap=am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)） 3底數(shù)可以

21、是一個數(shù)，也可以是一個單項式或多項式中考典例：（2001 濟南市） ÷a=a3考點：同底數(shù)冪的乘法評析：該題表面是除法運算，但方法卻用乘法，因為給出的條件是商和除式，求被除式. a3·a=a4 應填a4。真題專練：（2001 浙江紹興）計算x2·x3= 答案：x5說明：本節(jié)知識是整式乘除及混合運算的基礎，雖然單獨命題較少，但是教學重點72 冪的乘方與積的乘方考點掃描：掌握冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)并能熟練地應用名師精講：1冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方冪的乘方與積的乘方都是整式乘法的基礎2冪的乘方的性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相

22、乘，用式子表達：（am）n=amn（m，n都是正整數(shù)）運用這個性質(zhì)時，要與同底數(shù)冪的乘法區(qū)別開來，不能混淆性質(zhì)對形如(am)np仍適用底數(shù)a可以是一個數(shù)，也可以是一個整式性質(zhì)也可逆向運用：amn=（am）n 3積的乘方的性質(zhì)：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方再把所得的冪相乘用式子表達：（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）三個或三個以上的積的乘方，也具有這一性質(zhì)，如（abc）n=an·bn·cn，運用這一性質(zhì)時，不要犯(ab)n=abn的錯誤，也不要犯(a+b)n=an+bn的錯誤，性質(zhì)中的a、b可以是數(shù)也可以是整式性質(zhì)也可逆向運用：anbn=（ab）n中考典例：1（20

23、01 廣東省）計算(x4)3·x7的結果是（）a、x12b、x14c、x19d、x84考點：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方評析：對(x4)3·x7進行運算，再與四個選項進行比較即可(x4)3·x7= x12·x7=x19，因此，應選c真題專練：1（2002 北京石景山區(qū)）( a2)3的運算結果為 （）a、a5b、a5c、a6d、a62（2001 北京西城區(qū)）(a2)3的計算結果是（）a、a5b、a6c、a8d、a93（2001 北京西城區(qū)）某種細菌在培養(yǎng)過程中，細菌每半小時分裂一次（由一個分裂為兩個），經(jīng)過兩小時，這種細菌由1個可分裂繁殖成（）a、8個b、16

24、個c、4個d、32個4（2001 北京宣武區(qū)）(a2)3的計算結果是（）a、a5b、 a5c、a6d、 a65（2001 北京海淀區(qū)）下列計算中，正確的是（）a、a·a2a2 b、(a+1)2a2+1c、( a)3 a3d、(ab)2ab26（2001 吉林?。┫旅孢\算正確的是（）a、( 2x)2·x3=4x6b、x2÷x=xc、(4x2)3=4x6 d、3x2 (2x)2=x27（2001 陜西?。┯嬎? x2)3的結果是（）a、 x5b、x5c、 x6d、x68（2001 濟南市）計算( 2a2)2的結果是（）a、 4a4b、 2a4c、4a4d、2a4答案：

25、1、c；2、b3、b（提示：1個細菌2小時分裂繁殖成4次，24=16，應選b）；4、d；5、c；6、b；7、c；8、c73 單項式的乘法考點掃描：掌握單項式與單項式相乘的法則并能熟練地應用名師精講：1單項式乘法法則：兩個單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其乘積分別是積的系數(shù)和同底數(shù)冪，只在一個單項式中含有字母，連同其指數(shù)寫在積中，作為積的一個因式2單項式乘以單項式，一般按下列步驟進行。系數(shù)相乘，其積作為積的系數(shù)；同底數(shù)冪相乘，其積作為積中該字母冪；只在一個因式中含有的字母，連同指數(shù)寫在積中。中考典例：1（2001 天津市）計算: 3xy2·( 2xy)=_ 考點：單項式的乘法 評

26、析：本題只需掌握單項式乘法法則，即系數(shù)相乘作為積中的系數(shù)，相同字母的指數(shù)和作為積中該字母的指數(shù)，只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式可求出其結果為 6x2y3解題過程如下：3xy2·( 2xy)=3·( 2)x1+1y2+1= 6x2y3真題專練：1（2001 德陽市）計算： 2a3·3a2=2（2001 鎮(zhèn)江市）計算：a3b·（ 4a3b）=3（2001 重慶市）若（am+1bn+2）(a2n 1b2m)=a5b3，則m+n的值為（） a、1b、2c、3d、 34（2001 福建福州）下列運算正確的是（）a、a (b+c)=a b

27、+cb、a3+a3=2a6c、(x+1)2=x2+1 d、2a2·( 3a3)= 6a55（2001 福建龍巖市、寧德市）下列計算正確的是（）a、b2+b5=b10b、(a5)2=a7c、( 2a2)2= 4a4d、6x2·3xy=18x3y6（2001 黑龍江?。┤绻麊雾検?3x4a+by2與x3ya+b是同類項，那么這兩個單項式的積是（）a、x6y4b、-x3y2c、-x3y2d、-x6y4答案：1、 6a5；2、 4a6b2； 3、b（提示：(am+1bn+2)·(a2n 1b2m) = am+1+2n 1bn+2+2m=a2n+mbn+2m+2，得 解這個方程組，得,故m+n=2）； 4、d；5、d；6、冪的運算法則的逆用 學習了冪的運算法則后，同學們對法則的正向運用比較得心應手。但把它們逆過來運用卻不習慣，其實逆用冪的運算法則，能使難題變易、繁題變簡。（有幾個地方比較難，可能有的同學看不懂。主要是希望大家先掌握這種逆用法則的思路，可以以后再回