高考數(shù)學按章節(jié)分類匯編人教A必修二第二章點直線平面之間的位置關系wwwks5ucom高考

1、高考資源網（） 您身邊的高考專家2012年高考數(shù)學按章節(jié)分類匯編（人教a必修二）第二章點直線平面之間的位置關系一、選擇題 （2012年高考（浙江文）設是直線,a,是兩個不同的平面（）a若a,則ab若a,則a c若a,a,則d若a, a,則 （2012年高考（四川文）下列命題正確的是（）a若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行b若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行c若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行d若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行 （2012年高考（浙江理）已知矩形abcd,ab=1,bc=.將abd沿矩形的對角線

2、bd所在的直線進行翻著,在翻著過程中,（）a存在某個位置,使得直線ac與直線bd垂直 b存在某個位置,使得直線ab與直線cd垂直 c存在某個位置,使得直線ad與直線bc垂直 d對任意位置,三直線“ac與bd”,“ab與cd”,“ad與bc”均不垂直 （2012年高考（四川理）下列命題正確的是（）a若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行b若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行c若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行d若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行 （2012年高考（上海春）已知空間三條直線若與異面,且與異面,則 答（）a

3、與異面.b與相交.c與平行.d與異面、相交、平行均有可能.二、填空題（2012年高考（四川文）如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成的角的大小是_.（2012年高考（大綱文）已知正方形中,分別為,的中點,那么異面直線與所成角的余弦值為_.（ 2012年高考（四川理）如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是_.（2012年高考（大綱理）三棱柱中,底面邊長和側棱長都相等,則異面直線與所成角的余弦值為_.三、解答題（2012年高考（重慶文）(本小題滿分12分,()小問4分,()小問8分)已知直三棱柱中,為的中點.()求異面直線和的距離;()若,求二面角的平面角的余

4、弦值.（2012年高考（浙江文）如圖,在側棱錐垂直底面的四棱錐abcd-a1b1c1d1中,adbc,adab,ab=.ad=2,bc=4,aa1=2,e是dd1的中點,f是平面b1c1e與直線aa1的交點.(ii)ba1平面b1c1ef;(2)求bc1與平面b1c1ef所成的角的正弦值.（2012年高考（天津文）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,.(i)求異面直線與所成角的正切值;(ii)證明平面平面;(iii)求直線與平面所成角的正弦值.（2012年高考（四川文）如圖,在三棱錐中,點在平面內的射影在上.()求直線與平面所成的角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海文）pabcd如圖

5、,在三棱錐p-abc中,pa底面abc,d是pc的中點.已知bac=,ab=2,ac=2,pa=2.求:(1)三棱錐p-abc的體積;(2)異面直線bc與ad所成的角的大小(結果用反三角函數(shù)值表示).（2012年高考（陜西文）直三棱柱abc- a1b1c1中,ab=a a1 ,=()證明;()已知ab=2,bc=,求三棱錐的體積.（2012年高考（山東文）如圖,幾何體是四棱錐,為正三角形,.()求證:;()若,m為線段ae的中點,求證:平面.（2012年高考（遼寧文）如圖,直三棱柱,aa=1,點m,n分別為和的中點.()證明:平面;()求三棱錐的體積.(椎體體積公式v=sh,其中s為地面面積,

6、h為高)（2012年高考（課標文）如圖,三棱柱中,側棱垂直底面,acb=90°,ac=bc=aa1,d是棱aa1的中點.(i) 證明:平面平面()平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.（2012年高考（江西文）如圖,在梯形abcd中,abcd,e,f是線段ab上的兩點,且deab,cfab,ab=12,ad=5,bc=4,de=4.現(xiàn)將ade,cfb分別沿de,cf折起,使a,b兩點重合與點g,得到多面體cdefg.(1)求證:平面deg平面cfg;(2)求多面體cdefg的體積.（2012年高考（湖南文）如圖6,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,底面abcd是等腰梯形,

7、adbc,acbd.()證明:bdpc;()若ad=4,bc=2,直線pd與平面pac所成的角為30°,求四棱錐p-abcd的體積.（2012年高考（湖北文）某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形的四棱臺,上不是一個底面與四棱臺的上底面重合,側面是全等的矩形的四棱柱.(1)證明:直線平面;(2)現(xiàn)需要對該零部件表面進行防腐處理,已知(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費為元,需加工處理費多少元?（2012年高考（廣東文）(立體幾何)如圖5所示,在四棱錐中,平面,是的中點,是上的點且,為中邊上的高.()證明:平面;()若,求三棱錐的體積;(

8、)證明:平面.（2012年高考（福建文）如圖,在長方體中,為棱上的一點.(1)求三棱錐的體積;(2)當取得最小值時,求證:平面.（2012年高考（大綱文）如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.()證明:平面;dabpce()設二面角為90°,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京文）如圖1,在rtabc中,c=90°,d,e分別是ac,ab上的中點,點f為線段cd上的一點.將ade沿de折起到a1de的位置,使a1fcd,如圖2. (1)求證:de平面a1cb;(2)求證:a1fbe;(3)線段a1b上是否存在點q,使a1c平面deq?說明理由. （2012

9、年高考（安徽文）如圖,長方體中,底面是正方形,是的中點,是棱上任意一點.()證明: ;()如果=2,=, , 求 的長.（2012年高考（天津理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設e為棱上的點,滿足異面直線be與cd所成的角為,求ae的長.（2012年高考（新課標理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點,(1)證明:(2)求二面角的大小.（2012年高考（浙江理）如圖,在四棱錐pabcd中,底面是邊長為的菱形,且bad=120°,且pa平面abcd,pa=,m,n分別為pb,pd的中點.()證明:mn平面abcd;() 過點a作aqpc,垂足為點q,

10、求二面角amnq的平面角的余弦值.（2012年高考（重慶理）(本小題滿分12分()小問4分()小問8分)如圖,在直三棱柱 中,ab=4,ac=bc=3,d為ab的中點()求點c到平面 的距離;()若,求二面角 的平面角的余弦值.（2012年高考（四川理）如圖,在三棱錐中,平面平面.()求直線與平面所成角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海理）如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是矩形,pa底面abcd,e是pc的中點.已知ab=2,abcdpead=2,pa=2.求:(1)三角形pcd的面積;(2)異面直線bc與ae所成的角的大小.（2012年高考（上海春）如圖,正四棱柱的

11、底面邊長為,高為,為線段的中點.求:(1)三棱錐的體積;(2)異面直線與所成角的大小(結果用反三角函數(shù)值表示)（2012年高考（陜西理）(1)如圖,證明命題“是平面內的一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則”為真.(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假 (不需要證明)（2012年高考（山東理）在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,平面.()求證:平面;()求二面角的余弦值.（2012年高考（遼寧理） 如圖,直三棱柱,點m,n分別為和的中點.()證明:平面;()若二面角為直二面角,求的值.（2012年高考（江西理）在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點。(1)證

12、明在側棱上存在一點,使得平面,并求出的長;(2)求平面與平面夾角的余弦值。（2012年高考（江蘇）如圖,在直三棱柱中,分別是棱上的點(點 不同于點),且為的中點.求證:(1)平面平面;(2)直線平面.（2012年高考（湖南理） 如圖5,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,ab=4,bc=3,ad=5,dab=abc=90°,e是cd的中點.()證明:cd平面pae;()若直線pb與平面pae所成的角和pb與平面abcd所成的角相等,求四棱錐p-abcd的體積.abcdpe圖5（2012年高考（湖北理）如圖1,過動點a作,垂足d在線段bc上且異于點b,連接ab,沿將折起,使(如圖

13、2所示). ()當?shù)拈L為多少時,三棱錐的體積最大;()當三棱錐的體積最大時,設點,分別為棱,的中點,試在棱上確定一點,使得,并求與平面所成角的大小.dabcacdb圖2圖1me.·（2012年高考（廣東理）如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.()證明:平面;()若,求二面角的正切值.（2012年高考（福建理）如圖,在長方體中為中點.()求證:()在棱上是否存在一點,使得平面?若存在,求的長;若不存在,說明理由. ()若二面角的大小為,求的長.（2012年高考（大綱理）(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.(1)證明:平面;

14、(2)設二面角為,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京理）如圖1,在rtabc中,c=90°,bc=3,ac=6,d,e分別是ac,ab上的點,且debc,de=2,將ade沿de折起到a1de的位置,使a1ccd,如圖2. (1)求證:a1c平面bcde;(2)若m是a1d的中點,求cm與平面a1be所成角的大小;(3)線段bc上是否存在點p,使平面a1dp與平面a1be垂直?說明理由. （2012年高考（安徽理）平面圖形如圖4所示,其中是矩形,.現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊,使與所在平面都與平面垂直,再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.()證明:

15、; ()求的長;()求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題 【答案】b 【命題意圖】本題考查的是平面幾何的基本知識,具體為線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質. 【解析】利用排除法可得選項b是正確的,a,則a.如選項a:a,時, a或a;選項c:若a,a,或;選項d:若若a, a,或. 答案c 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以a錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故b錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故d錯;故選項c正確. 點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關系及

16、線面的判定和性質,需要熟練掌握課本基礎知識的定義、定理及公式. 【答案】b 【解析】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進行翻著,觀察在翻著過程,即可知選項b是正確的. 答案c 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以a錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故b錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故d錯;故選項c正確. 點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質,需要熟練掌握課本基礎知識的定義、定理及公式. d 二、填空題 答案90º 解析方法一:連接d1m,易

17、得dna1d1 ,dnd1m, 所以,dn平面a1md1, 又a1m平面a1md1,所以,dna1d1,故夾角為90º 方法二:以d為原點,分別以da, dc, dd1為x, y, z軸,建立空間直角坐標系dxyz.設正方體邊長為2,則d(0,0,0),n(0,2,1),m(0,1,0)a1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故dnd1m,所以夾角為90º 點評異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標系,利用向量夾角公式解決. 【解析】正確的是 四面體每個面是全等三角形,面積相等 從

18、四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于 連接四面體每組對棱中點構成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長 解析方法一:連接d1m,易得dna1d1 ,dnd1m, 所以,dn平面a1md1, 又a1m平面a1md1,所以,dna1d1,故夾角為90º 方法二:以d為原點,分別以da, dc, dd1為x, y, z軸,建立空間直角坐標系dxyz.設正方體邊長為2,則d(0,0,0),n(0,2,1),m(0,1,0)a1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故dnd1m,所以夾角為90º 答案 【命題意圖】本試題考查

19、了斜棱柱中異面直線的角的求解.用空間向量進行求解即可. 【解析】設該三棱柱的邊長為1,依題意有,則 而 三、解答題 【答案】:()() 【解析】:()如答(20)圖1,因ac=bc, d為ab的中點,故cd ab.又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以異面直線 和ab的距離為 ():由故 面 ,從而 ,故 為所求的二面角的平面角. 因是在面上的射影,又已知 由三垂線定理的逆定理得從而,都與互余,因此,所以,因此得 從而 所以在中,由余弦定理得 【命題意圖】本題主要以四棱錐為載體考查線線平行,線面垂直和線面角的計算,注重與平面幾何的綜合, 同時考查空間想象能力和推理論證能力. (1)(i)因為, 平面

20、add1 a1,所以平面add1 a1. 又因為平面平面add1 a1=,所以.所以. (ii)因為,所以, 又因為,所以, 在矩形中,f是aa的中點,即.即 ,故. 所以平面. (2) 設與交點為h,連結. 由(1)知,所以是與平面所成的角. 在矩形中,得,在直角中,得 ,所以bc與平面所成角的正弦值是. 解:(1)如圖,在四棱錐中,因為底面是矩形,所以,且,又因為,故或其補角是異面直線與所成的角. 在中,所以異面直線與所成角的正切值為2. (2)證明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面內,過點作交直線于點,連接.由于平面平面,由此得為直線與平面所成的

21、角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直線與平面所成角的正弦值為. 解析(1)連接oc. 由已知,所成的角 設ab的中點為d,連接pd、cd. 因為ab=bc=ca,所以cdab. 因為等邊三角形, 不妨設pa=2,則od=1,op=, ab=4. 所以cd=2,oc=. 在rttan (2)過d作de于e,連接ce.由已知可得,cd平面pab. 據三垂線定理可知,cepa, 所以,. 由(1)知,de= 在rtcde中,tan 故 點評本題旨在考查線面位置關系和二面角的基礎概念,重點考查思維能力和空間想象能力,進一步深化對二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常

22、規(guī)步驟:一找(尋找現(xiàn)成的二面角的平面角)、二作(若沒有找到現(xiàn)成的,需要引出輔助線作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出該角相應的三角函數(shù)值). pabcde解(1), 三棱錐p-abc的體積為 (2)取pb的中點e,連接de、ae,則 edbc,所以ade(或其補角)是異面直線 bc與ad所成的角 在三角形ade中,de=2,ae=,ad=2, ,所以ade=. 因此,異面直線bc與ad所成的角的大小是 證明:(i)設中點為o,連接oc,oe,則由知, 又已知,所以平面oce. 所以,即oe是bd的垂直平分線,所以. (ii)取ab中點n,連接,m是ae的中點, 是等

23、邊三角形,.由bcd=120°知,cbd=30°, 所以abc=60°+30°=90°,即,所以ndbc, 所以平面mnd平面bec,又dm平面mnd,故dm平面bec. 另證:延長相交于點,連接ef.因為cb=cd,. 因為為正三角形,所以,則, 所以,又, 所以d是線段af的中點,連接dm, 又由點m是線段ae的中點知, 而平面bec, 平面bec,故dm平面bec. 【答案與解析】 (1)證明:取中點p,連結mp,np,而m,n分別是a與的中點,所以, mpa,pn,所以,mp平面ac,pn平面ac,又,因此平面mpn平面ac,而mn平面

24、mpn,所以,mn平面ac, 【點評】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計算,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明;第二小題求體積根據條件選擇合適的底面是關鍵,也可以采用割補發(fā)來球體積. 【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質及幾何體的體積計算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡單題. 【解析】()由題設知bc,bcac,面, 又面, 由題設知,=,即, 又, 面, 面, 面面; ()設棱錐的體積為,=1,由題意得,=, 由三棱柱的體積=1, =1:1, 平面分此

25、棱柱為兩部分體積之比為1:1. 法二:(i)證明:設,則, 因側棱垂直底面,即,所以, 又d是棱aa1的中點,所以 在中,由勾股定理得: ; 同理,又, 所以:, 即有 因平面,所以, 又,所以 ,所以側面,而平面, 所以:;由(1)和(2)得:平面, 又平面 ,所以平面平面 (ii) 平面bdc1分此棱柱的下半部分可看作底面為直角梯形,高為的一個四棱錐,其體積為:, 該四棱柱的總體積為, 所以,平面bdc1分此棱柱的上半部的體積為 所以 ,所求兩部分體積之比為 【解析】(1)由已知可得ae=3,bf=4,則折疊完后eg=3,gf=4,又因為ef=5,所以可得 又因為,可得,即所以平面deg平

26、面cfg. (2)過g作go垂直于ef,go 即為四棱錐g-efcd的高,所以所求體積為 【解析】()因為 又是平面pac內的兩條相較直線,所以bd平面pac, 而平面pac,所以. ()設ac和bd相交于點o,連接po,由()知,bd平面pac, 所以是直線pd和平面pac所成的角,從而. 由bd平面pac,平面pac,知. 在中,由,得pd=2od. 因為四邊形abcd為等腰梯形,所以均為等腰直角三角形, 從而梯形abcd的高為于是梯形abcd面積 在等腰三角形aod中, 所以 故四棱錐的體積為. 【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明,考查空間角的應用,及幾何體體積計算.第一問只要證明b

27、d平面pac即可,第二問由()知,bd平面pac,所以是直線pd和平面pac所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積. 【解析】(1)因為四棱柱的側面是全等的矩形,所以 又因為,所以平面 連接,因為平面,所以 因為底面是正方形,所以.根據棱臺的定義可知,與共面. 又已知平面平面,且平面平面 平面,所以,于是 由,可得, 又因為,所以平面. (2)因為四棱柱的底面是正方形,側面是全等的矩形,所以 又因為四棱臺的上、下底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形,所以 于是該實心零部件的表面積為,故所需加工處理費為(元) 【點評】本題考查線面垂直,空間幾何體的表面積;考查空間想象,運算求解以及轉

28、化與劃歸的能力.線線垂直線面垂直面面垂直是有關垂直的幾何問題的常用轉化方法;四棱柱與四棱臺的表面積都是由簡單的四邊形的面積而構成,只需求解四邊形的各邊長即可.來年需注意線線平行,面面平行特別是線面平行,以及體積等的考查. 解析:()因為平面,平面,所以.又因為為中邊上的高,所以.,平面,平面,所以平面. (),因為是的中點,平面,所以點到平面的距離等于,即三棱錐的高,于是. ()取中點,連接、.因為是的中點,所以且.而是上的點且,所以且.所以四邊形是平行四邊形,所以.而,所以.又因為平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面. 【考點定位】本題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關系以

29、及體積等基本知識,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想. 【解析】(1)又長方體ad平面.點a到平面的距離ad=1, =×2×1=1 , (2)將側面繞逆時針轉動90°展開,與側面共面.當,m,c共線時, +mc取得最小值ad=cd=1 ,=2得m為的中點連接m在中,=mc=,=2, =+ , =90°,cm, 平面,cm ammc=c cm平面,同理可證am 平面mac 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用.從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應的垂直關系和長度,

30、并加以證明和求解. 解:設,以為原點,為軸,為軸建立空間直角坐標系,則設. ()證明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 設平面的法向量為,又,由得,設平面的法向量為,又,由,得,由于二面角為,所以,解得. 所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的正弦值為,所以與平面所成角為. 【點評】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時練習的試題和相似,底面也是特殊的菱形,一個側面垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是點的位置的選擇是一般的三等分點,這樣的解決對于學生來說就是比較有點難度的,因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好. 【考點定位】本題第二問是對基本功的考查,對于知識掌握

31、不牢靠的學生可能不能順利解決.第三問的創(chuàng)新式問法,難度比較大. 解:(1)因為d,e分別為ac,ab的中點,所以debc.又因為de平面a1cb,所以de平面a1cb. (2)由已知得acbc且debc,所以deac.所以dea1d,decd.所以de平面a1dc.而a1f 平面a1dc, 所以dea1f.又因為a1fcd,所以a1f平面bcde.所以a1fbe (3)線段a1b上存在點q,使a1c平面deq.理由如下:如圖, 分別取a1c,a1b的中點p,q,則pqbc. 又因為debc,所以depq.所以平面deq即為平面dep. 由(2)知de平面a1dc,所以dea1c. 又因為p是等

32、腰三角形da1c底邊a1c 的中點, 所以a1cdp,所以a1c平面dep,從而a1c平面deq. 故線段a1b上存在點q,使得a1c平面deq. 【解析】(i)連接,共面 長方體中,底面是正方形 面 ()在矩形中, 得: 【命題意圖】本小題主要考查空間兩條直線的位置關系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎知識,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力. 方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設平面的法向量則 取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設；則， 即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.

33、 (2)解:如圖,作于點,連接,由,可得平面.因此,從而為二面角的平面角. 在中,由此得,由(1)知,故在中,因此,所以二面角的正弦值為. 【點評】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時練習的試題相似,但底面是非特殊 的四邊形,一直線垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點e的位置是不確定的,需要學生根據已知條件進行確定,如此說來就有難度,因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好. 【解析】(1)在中, 得: 同理: 得:面 (2)面 取的中點,過點作于點,連接 ,面面面 得:點與點重合 且是二面角的平面角 設,則, 既二面角的大小為 【解析】本題主要考察線面平行的證明方法,建

34、系求二面角等知識點. ()如圖連接bd. m,n分別為pb,pd的中點, 在pbd中,mnbd. 又mn平面abcd, mn平面abcd; ()如圖建系: a(0,0,0),p(0,0,),m(,0), n(,0, 0),c(,3,0). 設q(x,y,z),則. ,. 由,得:. 即:. 對于平面amn:設其法向量為. . 則. . 同理對于平面amn得其法向量為. 記所求二面角amnq的平面角大小為, 則. 所求二面角amnq的平面角的余弦值為. 【答案】()見解析;() . 【考點定位】本小題主要考查立體幾何的相關知識,具體涉及到線面垂直的關系,二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用,

35、解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征,熟練進行線線垂直與線面垂直的轉化,主要考查學生的空間想象能力與推理論證能力.本題可以利用空間向量來解題,從而降低了題目的難度. 解:(1)由,為的中點,得,又,故,所以點到平面的距離為 (2)如圖,取為的中點,連結,則,又由(1)知,故,所以為所求的二面角的平面角. 因為在面上的射影,又已知,由三垂線定理的逆定理得,從而都與互余,因此,所以,因此,即,得. 從而,所以,在中, 解析(1)連接oc.由已知,所成的角 設ab的中點為d,連接pd、cd. 因為ab=bc=ca,所以cdab. 因為等邊三角形, 不妨設pa=2,則od=1,op=,ab=4.

36、所以cd=2,oc=. 在rttan. 故直線pc與平面abc所成的角的大小為arctan (2)過d作de于e,連接ce. 由已知可得,cd平面pab 根據三垂線定理可知,cepa, 所以,. 由(1)知,de= 在rtcde中,tan 故 點評本小題主要考查線面關系、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識,考查思維能力、空間想象能力,并考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力. abcdpexyz解(1)因為pa底面abcd,所以pacd,又adcd,所以cd平面pad, 從而cdpd 因為pd=,cd=2, 所以三角形pcd的面積為 (2)解法一如圖所示,建立空間直角坐標系, 則b(2, 0,

37、0),c(2, 2,0),e(1, , 1), , 設與的夾角為q,則 ,q=. abcdpef由此可知,異面直線bc與ae所成的角的大小是 解法二取pb中點f,連接ef、af,則 efbc,從而aef(或其補角)是異面直線 bc與ae所成的角 在中,由ef=、af=、ae=2 知是等腰直角三角形, 所以aef=. 因此異面直線bc與ae所成的角的大小是 解(1),又為三棱錐的高, (2),所以或其補角為導面直線與所成的角. 連接平面,在中, ,故,即異面直線與所成的角為 解析:(1)證法一 如圖,過直線上任一點作平面的垂線,設直線的方向向量分別是,則共面,根據平面向量基本定理,存在實數(shù)使得

38、則 因為,所以 又因為,所以 故,從而 證法二 如圖,記,為直線上異于點a的任意一點,過p作,垂足為o,則 ,直線 又,平面, 平面,又平面, (2)逆命題:a是平面內一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則. 逆命題為真命題. 解析:()在等腰梯形abcd中,abcd,dab=60°,cb=cd, 由余弦定理可知, 即,在中,dab=60°,則為直角三角形,且.又aebd,平面aed,平面aed,且,故bd平面aed; ()由()可知,設,則,建立如圖所示的空間直角坐標系,向量為平面的一個法向量. 設向量為平面的法向量,則,即, 取,則,則為平面的一

39、個法向量. ,而二面角f-bd-c的平面角為銳角,則 二面角f-bd-c的余弦值為. 解法二:取的中點,連接,由于,因此, 又平面,平面,所以 由于平面,所以平面 故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因為,又,所以, 故,因此二面角的余弦值為. 【答案及解析】 【命題意圖】本題主要考查線面平行的判定、二面角的計算，考查空間想象能力、運算求解能力，是容易題.【解析】（1）連結，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點.又因為為中點所以，又平面 平面，因此 6分（2）以為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸建立直角坐標系，如圖所示設則，于是，所以，設是平面的法向量，由得，可取設是平面的法向量，由

40、得，可取因為為直二面角，所以，解得12分【點評】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定,借助空間直角坐標系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直關系,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明. 【解析】 解:(1)證明:連接ao,在中,作于點e,因為,得, byocaeza11b1c1x因為平面abc,所以,因為, 得,所以平面,所以, 所以平面, 又, 得 (2)如圖所示,分別以所在的直線 為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則a(1,0,0), c(0,-2,0), a1(0.0,2),b(0,

41、2,0) 由(1)可知得點e的坐標為,由(1)可知平面的法向量是,設平面的法向量, 由,得,令,得,即 所以 即平面平面與平面bb1c1c夾角的余弦值是. 【點評】本題考查線面垂直,二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應用以及空間想象的能力. 高考中,立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直,平行有關的線面關系的證明;二、考查空間幾何體的體積與表面積;三、考查異面角,線面角,二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問,第3種考查多出現(xiàn)在第2問;對于角度問題,一般有直接法與空間向量法兩種求解方法. 【答案】證明:(1)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面

42、. (2),為的中點,. 又平面,且平面,. 又平面,平面. 由(1)知,平面,. 又平面平面,直線平面 【考點】直線與平面、平面與平面的位置關系. 【解析】(1)要證平面平面,只要證平面上的平面即可.它可由已知是直三棱柱和證得. (2)要證直線平面,只要證平面上的即可. 【解析】 解法1(如圖(1),連接ac,由ab=4, e是cd的中點,所以 所以 而內的兩條相交直線,所以cd平面pae. ()過點b作 由()cd平面pae知,bg平面pae.于是為直線pb與平面pae 所成的角,且. 由知,為直線與平面所成的角. 由題意,知 因為所以 由所以四邊形是平行四邊形,故于是 在中,所以 于是

43、又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 abcdpe圖 xyz345h解法2:如圖(2),以a為坐標原點,所在直線分別為建立空間直角坐標系.設則相關的各點坐標為: ()易知因為 所以而是平面內的兩條相交直線,所以 ()由題設和()知,分別是,的法向量,而pb與 所成的角和pb與所成的角相等,所以 由()知,由故 解得. 又梯形abcd的面積為,所以四棱錐的體積為 . 【點評】本題考查空間線面垂直關系的證明,考查空間角的應用,及幾何體體積計算.第一問只要證明即可,第二問算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積,或者建立空間直角坐標系,求得高幾體積. 考點分析:本題考察立體幾何線面的基本關系,考察如何取到最

44、值,用均值不等式和導數(shù)均可求最值.同時考察直線與平面所成角.本題可用綜合法和空間向量法都可以.運用空間向量法對計算的要求要高些. 解析: ()解法1:在如圖1所示的中,設,則. 由,知,為等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如圖2),且, 所以平面.又,所以.于是 , 當且僅當,即時,等號成立, 故當,即時, 三棱錐的體積最大. 解法2: 同解法1,得. 令,由,且,解得. 當時,;當時,. 所以當時,取得最大值. 故當時, 三棱錐的體積最大. ()解法1:以為原點,建立如圖a所示的空間直角坐標系. 由()知,當三棱錐的體積最大時,. 于是可得, 且. 設,則. 因為等價于,即 ,故,. 所以當(即是的靠近點的一個四等分點