數(shù)值分析第7章答案

1、31數(shù)值分析第七章第七章非線性方程求根 一、重點(diǎn)內(nèi)容提要（一）問題簡介求單變量函數(shù)方程 (7.1)的根是指求（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），使得.稱為方程(7.1)的根,也稱為函數(shù)的零點(diǎn).若可以分解為 其中m為正整數(shù),滿足,則是方程(7.1)的根.當(dāng)m=1時,稱為單根;當(dāng)m>1時,稱為m重根.若充分光滑,是方程(7.1)的m重根,則有 若在a,b上連續(xù)且,則方程(7.1)在(a,b)內(nèi)至少有一個實(shí)根,稱a,b為方程(7.1)的有根區(qū)間.有根區(qū)間可通過函數(shù)作圖法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的幾種常用方法1.二分法設(shè)在a,b上連續(xù),則在(a,b)內(nèi)有根.再設(shè)在(a,b)內(nèi)僅有一個根.令,計(jì)算和.若則,結(jié)

2、束計(jì)算;若,則令,得新的有根區(qū)間;若,則令,得新的有根區(qū)間.,.再令計(jì)算,同上法得出新的有根區(qū)間,如此反復(fù)進(jìn)行,可得一有根區(qū)間套 且.故 因此,可作為的近似根,且有誤差估計(jì) (7.2)2.迭代法將方程式(7.1)等價(jià)變形為 (7.3)若要求滿足則;反之亦然.稱為函數(shù)的一個不動點(diǎn).求方程(7.1)的根等價(jià)于求的不動點(diǎn)由式(7.3)產(chǎn)生的不動點(diǎn)迭代關(guān)系式(也稱簡單迭代法)為 (7.4)函數(shù)稱為迭代函數(shù).如果對任意,由式(7.4)產(chǎn)生的序列有極限 則稱不動點(diǎn)迭代法(7.4)收斂.定理7.1(不動點(diǎn)存在性定理)設(shè)滿足以下兩個條件:1.對任意有2.存在正常數(shù),使對任意,都有 (7.5)則在上存在惟一的不

3、動點(diǎn).定理7.2(不動點(diǎn)迭代法的全局收斂性定理)設(shè)滿足定理7.1中的兩個條件,則對任意,由(7.4)式得到的迭代序列收斂.到的不動點(diǎn),并有誤差估計(jì)式 (7.6)和 (7.7)定理7.3(不動點(diǎn)迭代法的局部收斂性定理)設(shè)為的不動點(diǎn),在的某個鄰域連續(xù),且,則迭代法(7.4)局部收斂.收斂階的概念 設(shè)迭代過程(7.4)收斂于方程的根,如果迭代誤差當(dāng)時成產(chǎn)下列漸近關(guān)系式 (7.8) 則稱該迭代過程是p階收斂的.特別地,p=1時稱線性收斂,p>1時稱超線性收斂,p=2時稱平方收斂.定理7.4(收斂階定理)對于迭代過程(7.4),如果在所求根的鄰近連續(xù),并且 (7.9)則該迭代過程在點(diǎn)的鄰近是收斂的

4、,并有 (7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 當(dāng)不動點(diǎn)迭代法(7.4)只有線性收斂階,甚至于不收斂時,可用斯蒂芬森迭代法進(jìn)行加速.具體公式為 (7.11)此法也可寫成如下不動點(diǎn)迭代式 (7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收斂定理) 設(shè)為式(7.12)中的不動點(diǎn),則是的不動點(diǎn);設(shè)存在,則是的不動點(diǎn),則斯蒂芬森迭代法(7.11)是2階收斂的.3.牛頓迭代法牛頓迭代法是一種特殊的不動點(diǎn)迭代法,其計(jì)算公式為 其迭代函數(shù)為 (7.13) 牛頓迭代法的收斂速度 當(dāng)時,容易證明,由定理7.4知,牛頓迭代法是平方收斂的,且 (7.14)重根情形的牛頓迭代法 當(dāng)是的m重根時,迭代函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),且

5、.所以牛頓迭代法求重根只是線性收斂.若的重?cái)?shù)m知道,則迭代式 (7.15)求重根二階收斂.當(dāng)m未知時,一定是函數(shù)的單重零點(diǎn),此時迭代式 (7.16)也是二階收斂的.簡化牛頓法 如下迭代法稱為簡化牛頓法或平行弦法.牛頓下山法 為防止迭代不收斂,可采用牛頓下山法.具體方法見教材.4.弦截法 將牛頓迭代法(7.13)中的用在,處的一階差商來代替,即可得弦截法 (7.17)定理7.6假設(shè)在其零點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且對任意有,又初值,則當(dāng)鄰域充分小時,弦截法(7.17)將按階收斂到.這里p是方程的正根.5.拋物線法弦截法可以理解為用過兩點(diǎn)的直線方程的根近似替的根.若已知的三個近似根,用過的拋物線

6、方程的根近似代替的根,所得的迭代法稱為拋物線法,也稱密勒(Muller)法.當(dāng)在的鄰近有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則拋物線法局部收斂,且收斂階為. 二、知識結(jié)構(gòu)圖 表7-1k0123456789111.251.251.31251.31251.31251.32041.32431.324321.51.51.3751.3751.134381.32821.32821.32821.32631.51.251.3751.31251.34381.32821.32041.32431.32631.3253+-+-+-+ 表7-2k012342.52.0820849992.1246700042.1194723872.12009

7、49760.4179150010.0425850050.00051976170.000622589 表7-3k01234543.5642375873.3919951683.3541248273.3483333843.3475299030.4357624130.1722424190.0378703410.0057914430.000803481此時已滿足誤差要求，即（3）由于，故根據(jù)定理7 .4知方法是線性收斂的，并且有。例7-4 對于迭代函數(shù)，試討論：（1）當(dāng)C為何值時，產(chǎn)生的序列收斂于；（2）C為何值時收斂最快？（3）分別取，計(jì)算的不動點(diǎn)，要求 解： （1），根據(jù)定理7.3，當(dāng)，亦即時迭代收

8、斂。（2）由定理7.4知，當(dāng)，即時迭代至少是二階收斂的，收斂最快。（3）分別取，并取，迭代計(jì)算結(jié)果如表7-4所示。 表7-401612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此時都達(dá)到.事實(shí)上,例7-5 給定初值以及迭代公式,常數(shù)證明: (1)該迭代函數(shù)是二階收斂的;(2)該迭代產(chǎn)生的序列收斂的充要條件是解: (1) 顯然,迭代函數(shù)為,且,即是的不動點(diǎn).又,所以,，由定理7.4知，迭代是二階收斂的，且（）因，令，則然而故由此可知等價(jià)于，而又等價(jià)于，

9、即注（）的結(jié)論也可以直接用二階收斂函數(shù)的定義去證明另外，本題迭代式實(shí)際上是對使用牛頓迭代法而得例7-6 對為的一個不動點(diǎn),驗(yàn)證迭代對任意不收斂,但改用斯蒂芬森迭代卻是收斂的,并說明斯蒂芬森迭代計(jì)算的不動點(diǎn)時的收斂階.解 由于,當(dāng)時,且有,介于與0之間,若,迭代不收斂.若改用斯蒂芬森迭代(7 .12),可得 ,根據(jù)定理7.3,斯蒂芬森迭代法收斂.由于,故用斯蒂芬森迭代計(jì)算不動點(diǎn)時,收斂階.(請讀者注意,這一結(jié)論與定理7.5的結(jié)論是否矛盾?)例7-7 當(dāng)R取適當(dāng)值時,曲線與相切,試用迭法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值,要求不少于四位有效數(shù)字,且不必求R.解 的導(dǎo)數(shù),由確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足,由兩曲線相切的條件

10、,可得即 令,則在內(nèi)有實(shí)根.又,故僅有一個根,構(gòu)造迭代公式,則當(dāng)時,. 故迭代收斂.取,計(jì)算結(jié)果如表7-5所示. 表7-5011.51.4812480.018752231.4826711.4825630.001423由于,故可取,即可保證兩曲線切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的近似值具有四位有效數(shù)字.例7-8 曲線與在點(diǎn)附近相切,試用牛頓迭代法求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的近似值,使.解 兩曲線的導(dǎo)數(shù)分別為和,兩曲線相切,導(dǎo)數(shù)相等,故有 令,則,故區(qū)間是的有根區(qū)間.又當(dāng)時,因此在上有惟一實(shí)根.對應(yīng)用牛頓迭代法,得計(jì)算公式 由于,故取迭代計(jì)算一定收斂,計(jì)算結(jié)果如表7-6所示. 表7-60122.02.2930555561.817

11、7835923451.7068152871.7000256111.7繼續(xù)計(jì)算仍得,故.注 本題也可令,解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足方程,用有重根時的牛頓迭代法(7.15)式計(jì)算,此時.仍取,經(jīng)四步可得.例7-9(牛頓迭代法收斂定理)設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足條件(1)(2)在上(3)滿足.則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于在內(nèi)的惟一實(shí)根,并且是平方收斂的.證明 因在上連續(xù),由條件(1)知,方程在內(nèi)有根.又由于條件(2)知在上恒正或恒負(fù),所以在上嚴(yán)格單調(diào),因而是在內(nèi)的惟一實(shí)根.條件(1),(2)共有四種情形:(1)(2)(3)(4)僅就(1)進(jìn)行定理證明,其余三種情況的證明方法是類似的.由可知,再由知

12、單增且.又由牛頓迭代法知 又臺勞展開得 其中介于與之間.利用,得 由以及前面證明的,有 一般地,設(shè),則必有且 同樣由臺勞公式 及,得 根據(jù)歸納法原理知,數(shù)列單調(diào)下降有下界,因此有極限.設(shè).對迭代式兩端取的極限,并利用.的連續(xù)性知,即.由上述證明知,有關(guān)系式,即對于單根,牛頓迭代法是平方收斂的.例7-10 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明 解 牛頓迭代法為 故 其中介于與之間,介于與之間,根據(jù)式(7.14)得 例7-11 設(shè)具有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù),是的重根是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明(1)(2)(3)證明 (1)因是的重根,則可以表示成 所以 由牛頓迭代法得 故 (2) 利用及

13、(1)的結(jié)論得 (3)先證明牛頓迭代函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 因是的重零點(diǎn),則由假設(shè),具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù),得 且 其中介于與之間,故有 而 所以 注 結(jié)論(1)和都表明牛頓迭代法求重根時僅為線性收斂.結(jié)論(3)可以用來計(jì)算重根數(shù).例7-12 考慮下列修正的牛頓公式(單點(diǎn)斯蒂芬森方法) 設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試證明該方法是二階收斂的.證明 將在處作臺勞展開,得 其中介于與之間,于是 由于是的單根,故 所以 故 即迭代法是二階收斂的. 四、學(xué)習(xí)效果測試題及答案1、證明方程在內(nèi)有一個實(shí)根,并用二分法求這個根.若要求,需二分區(qū)間多少次?(答案:當(dāng)時對分次數(shù).)2、對方程,確定及,使對任意均收斂,并求出方程的各個根,誤差不

14、超過.(答案:(1);(2);(3)3、建立一個迭代公式計(jì)算,分析迭代的收斂性,取,計(jì)算.(答案:.)4、試分別采用和的斯蒂芬森迭代法求方程在區(qū)間內(nèi)的根,要求.(答案:取,其解分別為和.)5、由方程求二重根,試用牛頓法(7.13),有重根時的牛頓法(7.15),(7.16)計(jì)算,要求.(答案:三種方法均取,分別得)6、用弦切法求方程的根,要求.(答案:取,用式(7.17)得.)7、用拋物線法求解方程在附近的根,要求.(答案:取)8、試構(gòu)造一個求方程根的收斂的迭代格式,要求說明收斂理由,并求根的近似值,使.(答案:有根區(qū)間,不動點(diǎn)迭代式,取.另外,也可用牛頓迭代法求解得)9、試確定常數(shù),使迭代公

15、式 產(chǎn)生的序列收斂到,并使其收斂階盡可能高.(答案:利用定理7.4可得,且,此時迭代法三階收斂.)10、,試確定函數(shù)和,使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.(答案:利用定理(7.4)可得) 五、課后習(xí)題全解1、用二分法求方程的正根,要求誤差小于0.05.解 設(shè),故1,2為的有根區(qū)間.又,故當(dāng)時,單增,當(dāng)時單增.而,由單調(diào)性知的惟一正根.根據(jù)二分法的誤差估計(jì)式(7.2)知要求誤差小于0.05,只需,解得,故至少應(yīng)二分6次.具體計(jì)算結(jié)果見表7-7. 表7-701234511.51.51.51.56251.59375221.751.6251.6251.6251.51.751.6251.5625

16、1.593751.609375-+-即.2、為求在附近的一個根,設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式,并建立相應(yīng)的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式;(3),迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性,并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根.解 取的鄰域1.3,1.6來考察.(1)當(dāng)時,故迭代公式在上整體收斂.(2)當(dāng)時 故在1.3,1.6上整體收斂.(3)故發(fā)散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式計(jì)算.要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字,只需 即 取計(jì)算結(jié)果見表7-8. 表7-81231.4812480341.4727057301.4688173144561.4670479731.466243010

17、1.465876820由于,故可取.3、比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量:(1)在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法;(2)用迭代法,取初值.解 (1)因,故,用二分法計(jì)算結(jié)果見表7-9. 表7-90123456789101112131400000.06250.06250.07781250.08593750.089843750.089843750.089843750.0903320310.0903320310.0904541010.09051513610.50.250.1250.1250.093750.093750.093750.093750.0917968750.0908203120.0908203120

18、.0905761710.0905761710.0905761710.50.250.1250.06250.093750.0781250.08593750.089843750.0917968750.0908203120.0903320310.0905761710.0904541010.0905151360.090545653+-+-+-+-+0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.003906250.0019531250.0009765620.0004882810.000244140.000122070.0000610350.000030517此時具

19、有三位有效數(shù)字.(2)當(dāng)時,故迭代試在0,0.5上整體收斂.取,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-10所示. 表7-101230.10.0894829080.0906391354560.0905126160.0905264680.090524951此時,故精確到三位小數(shù).4、給定函數(shù),設(shè)對一切,存在且,證明對于范圍內(nèi)的任意定數(shù),迭代過程均收斂于的根.證明 由于,為單增函數(shù),故方程的根是惟一的(假定方程有根).迭代函數(shù),.由及得,故,由此可得即.5、用斯蒂芬森迭代法計(jì)算第2題中(2)的近似根,精確到.解 記第2題中(2)的迭代函數(shù),(3)的迭代函數(shù)為,利用迭代式(7.11),計(jì)算結(jié)果見表7-11. 表7-11

20、01231.51.4655584851.4655712331.465571232012341.51.4673422861.4655760851.4655712321.4655712326、設(shè),試確定函數(shù)和,使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.解 要求三階收斂到的根,根據(jù)定理7.4,應(yīng)有.于是由 得 故取 即迭代至少三階收斂.7、用下列方法求在附近的根.根的準(zhǔn)確值,要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字.(1)用牛頓法;(2)用弦截法,取;(3)用拋物線法,取.解 ,對(1)取,用牛頓迭代法 計(jì)算得,故.(2)取,利用弦截法 得,故取.(3).拋物線法的迭代式為迭代結(jié)果為:已達(dá)四位有效數(shù)字.8、分

21、別用二分法和牛頓迭代法求的最小正根.解 顯然滿足.另外當(dāng)較小時,故當(dāng)時,因此,方程的最小正根應(yīng)在內(nèi).記,容易算得,因此4,4.6是的有限區(qū)間.對于二分法,計(jì)算結(jié)果見表7-12. 表7-1201234567894.04.34.454.454.48754.48754.48754.49218754.49218754.4933593754.64.64.64.5254.5254.506254.4968754.4968754.494531254.494531254.34.454.5254.48754.506254.4968754.49218754.494531254.4933593754.493445313+-+-+-+-此時.若用牛頓迭代法求解,由于,故取,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-13所示. 表7-131234.5457321224.5061455884.494171634564.4934121974.4934094584.493409458所以的最小正根為.9、研究求的牛頓公式 證明對一切且序列是遞減的.證法一 用數(shù)列的辦法,因由知,且.又由 故,即單減有下界.根據(jù)單調(diào)原理知,有極限.易證起極