二、光纖傳輸基本理論

1、 我們知道光有波粒二重性，就是說即可以將其看成光波，也可以將其看成是由光子組成的粒子流。 因此，在描述光的傳輸特性時(shí)相應(yīng)的也有兩種理論，即波動(dòng)理論波動(dòng)理論和射線理論（幾何光學(xué)射線理論（幾何光學(xué)方法）方法）。前者描述起來比較復(fù)雜，需要麥克斯韋方程求解，但它可以精確的描述光的傳播特性；后者描述起來比較簡單直觀，易于理解。二、光纖傳輸基本理論（1）幾何光學(xué)射線法幾何光學(xué)射線法 當(dāng)光線芯徑遠(yuǎn)大于光波波長當(dāng)光線芯徑遠(yuǎn)大于光波波長 時(shí)，可近似認(rèn)為時(shí)，可近似認(rèn)為 ,從而將光波近似看成由一根光線所構(gòu)成。因此，可以用幾何從而將光波近似看成由一根光線所構(gòu)成。因此，可以用幾何光學(xué)的方法來分析光學(xué)的方法來分析光線的入

2、射、傳播光線的入射、傳播(軌跡軌跡)，以及時(shí)延，以及時(shí)延(色散色散)和光強(qiáng)分布和光強(qiáng)分布等特性。等特性。優(yōu)點(diǎn)：簡單直觀，在分析芯徑較粗的多模光纖時(shí)可以得到較優(yōu)點(diǎn)：簡單直觀，在分析芯徑較粗的多模光纖時(shí)可以得到較精確的結(jié)果；精確的結(jié)果；缺點(diǎn)：不能解釋諸如模式分布、包層模、模式耦合，以及光缺點(diǎn)：不能解釋諸如模式分布、包層模、模式耦合，以及光場(chǎng)分布等現(xiàn)象。而且當(dāng)工作波長于芯徑可比較場(chǎng)分布等現(xiàn)象。而且當(dāng)工作波長于芯徑可比較(單模光纖單模光纖)，誤，誤差較大。差較大。 000（2）波動(dòng)理論法波動(dòng)理論法這是一種嚴(yán)格的分析方法，嚴(yán)格性在于：這是一種嚴(yán)格的分析方法，嚴(yán)格性在于：a.) 從光波的本質(zhì)特性電磁波出發(fā)

3、，通過求解電從光波的本質(zhì)特性電磁波出發(fā)，通過求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程，導(dǎo)出電磁場(chǎng)的場(chǎng)分布，具磁波所遵從的麥克斯韋方程，導(dǎo)出電磁場(chǎng)的場(chǎng)分布，具有理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性。有理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性。b.) 未作任何前提近似，因此適用于各種折射率分未作任何前提近似，因此適用于各種折射率分布的單模光纖和多模光纖。布的單模光纖和多模光纖。幾何光學(xué)方法波動(dòng)理論法適用條件 d d研究對(duì)象光線模式基本方程射線方程波導(dǎo)場(chǎng)方程研究方法折射/反射定理邊值問題主要特點(diǎn)約束光線模式分析思路分析思路 光纖傳輸基本理論的分析，主要是為光纖技術(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。分析手段上，首先，利用光線理論來分析光在光纖中的傳播特性，并對(duì)光纖中的模式及其

4、基本性質(zhì)進(jìn)行初步討論；然后，用波動(dòng)理論來進(jìn)一步深入分析光纖中的導(dǎo)波場(chǎng)的特性，依據(jù)光纖波導(dǎo)的邊界條件求解波導(dǎo)場(chǎng)方程，導(dǎo)出本征值方程，并根據(jù)導(dǎo)模的截止和遠(yuǎn)離截止條件對(duì)光纖中的模式特性進(jìn)行詳細(xì)討論?；纠碚撋婕皟?nèi)容 光纖模式的激勵(lì)(或光的入射) 光纖中的模式分布(或光纖傳播軌跡) 模式的傳播速度(或光線的時(shí)延) 模式沿光纖橫截面場(chǎng)分布； 光信號(hào)的傳輸損耗； 光信號(hào)的畸變； 模式的偏振特性； 模式的耦合；麥克斯韋方程與亥姆霍茲方程 光纖是一種介質(zhì)光波導(dǎo)，這種波導(dǎo)有如下特點(diǎn)：a).無傳導(dǎo)電流；b).無自由電荷；c).線性各向同性；則其中傳播的電磁波遵從下列麥克斯韋方程：00/BDtBEtDH同時(shí)各量滿足

5、物質(zhì)方程：HBED 光纖中電磁場(chǎng)傳播的另一個(gè)重要特性是：兩種介質(zhì)交界處(光纖纖壁)處電磁場(chǎng)滿足邊界條件，即與的切向分量以及與的法向分量均連續(xù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為EHDBttttttttDDBBHHEE21212121電磁場(chǎng)的規(guī)律是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的交替變化，可以發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程中，一方面，既有電場(chǎng)的量，也有磁場(chǎng)的量；另一方面，既有空間坐標(biāo)，又有時(shí)間坐標(biāo)，兩者相互影響。求解的基本思路，利用分離變量法進(jìn)行電、磁矢量分離和時(shí)、空坐標(biāo)的分離。分離變量分離變量 電矢量與磁矢量分離:波動(dòng)方程，是只與電場(chǎng)強(qiáng)度E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場(chǎng)強(qiáng)度H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式； 時(shí)、空坐標(biāo)分離:亥姆霍茲方程

6、，是關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式； 空間坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場(chǎng)方程，是關(guān)于E(x,y)和H(x,y)的方程式； 邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場(chǎng)矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。 電矢量與磁矢量分離：波動(dòng)方程對(duì)麥克斯韋方程第2式取旋度，并利用矢量關(guān)系，可得00/BDtBEtDHHBEDEDDDEEEE112可得到只與電場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)的方程式E12222tEEE同樣的過程對(duì)麥克斯韋方程的1式進(jìn)行處理，可以得到只與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)的方程式(2-1)式與(2-2)式稱為矢量波動(dòng)方程，這是一個(gè)普遍適用的精確方程。但在光纖中，折射率(或介電常數(shù))的變化非常緩慢(1的距離上折射率

7、變化小于)，因此可近似認(rèn)為。矢量波動(dòng)方程化簡為下述標(biāo)量波動(dòng)方程H22222tHHH4104032222222tHHtEE光纖中的一般問題均可用標(biāo)量波動(dòng)方程解決。 時(shí)、空坐標(biāo)分離：亥姆霍茲方程如果在光纖中傳播的是單色波，即電磁波具有確定的振蕩頻率f，角頻=2，則可時(shí)、空坐標(biāo)分離，令式中，可代表和的任一分量。tiezyxtzyx,EH再將上式代入標(biāo)量波動(dòng)方程(2-3)式，可得420,22zyxzyx這就是亥姆霍茲方程，該方程對(duì)任何電磁波的傳播都適用。加上邊界條件后，即可求出任意波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中光波場(chǎng)的場(chǎng)分布。 空間坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場(chǎng)方程亥姆霍茲方程有一個(gè)重要的特征：拉普拉斯算符作用在函數(shù)上的結(jié)果等于

8、該函數(shù)與一常數(shù)的乘積。這一類方程在數(shù)學(xué)上稱為本征方程，常數(shù)稱為本征值。因此，波動(dòng)理論的實(shí)質(zhì)是對(duì)于給定的邊界條件下求本征方程的解本征解及其對(duì)應(yīng)的本征值，數(shù)學(xué)上稱為本征值問題。222k 光纖波導(dǎo)中，電磁波在縱向(軸向)以“行波”的形式存在，在橫向以“駐波”的形式存在。其特征是：場(chǎng)分布沿軸向的變化只體現(xiàn)在相位上，場(chǎng)強(qiáng)度不隨軸向傳播距離而變化(假設(shè)光纖中無模式耦合，也不存在損耗與增益)。若數(shù)學(xué)處理上，規(guī)定光纖軸向?yàn)閦方向，則場(chǎng)分布與z坐標(biāo)的關(guān)系可用指數(shù)形式表示為，可進(jìn)一步對(duì)亥姆霍茲方程進(jìn)行空間坐標(biāo)縱、橫分離，令zjezieyxzyx, 上式代入亥姆霍茲方程(2-4)式，得 式中，是橫向拉普拉斯算符，與

9、分別是橫向與縱向傳播常數(shù)。 (2-5)式中的可以分別代表和的橫向場(chǎng)分布，即有 上式就是光纖波導(dǎo)中光傳播時(shí)遵從的波導(dǎo)場(chǎng)方程。這是波動(dòng)理論方法的最基本方程。顯然，它也是一個(gè)典型的本征方程。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時(shí),求解波導(dǎo)場(chǎng)方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”.520,2222222yxyxyxyxzt2tyx,EH620,22yxHyxEyxHyxEt 模式和基本特征a)每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波;b)每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件;c)模式具有確定的相速群速和橫場(chǎng)分布.d)模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性

10、的表征。給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的,外界激勵(lì)源只能激勵(lì)起光波導(dǎo)中允許存在的模式而不會(huì)改變模式的固有性質(zhì)。模式場(chǎng)分量與縱橫關(guān)系式模式場(chǎng)分量與縱橫關(guān)系式模式的場(chǎng)矢量和具有六個(gè)場(chǎng)分量: 和 (或 和 )。只有當(dāng)這六個(gè)場(chǎng)分量全部求出方可認(rèn)為模式的場(chǎng)分布唯一確定。 但實(shí)際上這并不必要。因?yàn)閳?chǎng)的橫向分量可由縱向分量 和 來表示.（通過將麥克斯韋方程在相應(yīng)坐標(biāo)系中按分量形式展開比較后就可以得到模式各分量間的關(guān)系）zyxE,zyxH,zyxEEE,zyxHHH,zrEEE,zrHHH,zEzH模式命名模式命名 根據(jù)場(chǎng)的縱向分量Ez和Hz的存在與否,可將模式命名為:(1)橫電磁模(TEM):

11、EzHz0;(2)橫電模(TE): Ez0,Hz0;(3)橫磁模(TM): Ez0,Hz0;(4)混雜模(HE或EH):Ez0,Hz0。 光纖中存在的模式多數(shù)為HE(EH)模,有時(shí)也出TE(TM)模。 模式分析的基本參數(shù)a)場(chǎng)分布場(chǎng)分布就是指六個(gè)場(chǎng)分量和它們是波導(dǎo)場(chǎng)方程滿足條件條件的本征解；、b)縱向傳播常數(shù)縱向傳播常數(shù)即與本征解對(duì)應(yīng)的本征值，其意義是導(dǎo)模的相位在z軸單位長度上的變化量，也就是是K在z軸上的投影。導(dǎo)模的值是分立的，每一個(gè)值代表著一個(gè)導(dǎo)模(有時(shí)幾個(gè)導(dǎo)模具有相同的值，稱之為“簡并”)。zyxEEE,zyxHHH, C)橫向傳播常數(shù)橫向傳播常數(shù)即波矢K的橫向分量這里，j取1和2分別對(duì)

12、應(yīng)于纖芯和包層。纖芯中，為實(shí)數(shù)；在包層中，為虛數(shù)。為方便起見，定義三個(gè)實(shí)參數(shù)U，W和b01kn102kn22 , 12202jknjj222110222220222220222221020Un kWin kn kWbVn kn k 上式中，b在0和1之間取值，稱為場(chǎng)的歸一化常數(shù)； U和W是場(chǎng)的橫向傳播常數(shù)； U反映了導(dǎo)模在芯區(qū)中的駐波場(chǎng)的橫向振蕩頻率； W值則反映了導(dǎo)模在包層中的消逝場(chǎng)的衰減速度，其值越大衰減越快。 還可以看到U，W和V滿足如下關(guān)系222WUV 歸一化頻率模式分析時(shí)的一個(gè)重要參量：光纖的歸一化頻率 V包含了光纖的結(jié)構(gòu)及光波的工作波長，它是一個(gè)直接與光的頻率成正比的無量綱的量。光

13、纖的很多特性與之都有關(guān)。它定量表示了光纖支持橫模的能力。221022210anknnaVV越大，允許存在的導(dǎo)模數(shù)就越多。所謂導(dǎo)模“截止”，是指除基模外，其他導(dǎo)模都可能在某一V值下不允許存在，這時(shí)導(dǎo)模轉(zhuǎn)化為輻射模。而使某一導(dǎo)模截止的頻率值，稱為導(dǎo)模的“截止條件”。當(dāng)導(dǎo)模的本征值時(shí)，導(dǎo)模場(chǎng)緊緊束縛于纖芯中傳輸，稱之為導(dǎo)?！斑h(yuǎn)離截止”。每一個(gè)導(dǎo)模都對(duì)應(yīng)于一合適的V值使其遠(yuǎn)離截止，稱之為導(dǎo)模的“遠(yuǎn)離截止條件”。直觀的理解：光纖包層中出現(xiàn)輻射模，則導(dǎo)波“截止”，不出現(xiàn)輻射模，則導(dǎo)模“遠(yuǎn)離截止”。01kn 程函方程與射線方程從亥姆霍茲還可以導(dǎo)出幾何光學(xué)理論的基本方程程函方程和射線方程,它描述光線在任意光纖

14、波導(dǎo)中傳播的光線軌跡。需要說明的是，光學(xué)發(fā)展史上，幾何光學(xué)基本概念的形成，包括直線傳播，以及反射、折射等，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于光學(xué)的波動(dòng)理論。程函數(shù)方程也完全可以從費(fèi)馬原理得到，而不必借助麥克斯韋的電磁波理論。為說明方法的統(tǒng)一性和理論的自洽性，可以從波動(dòng)理論推導(dǎo)出幾何光學(xué)的基本方程。需要注意的是，幾何光學(xué)理論物理概念清晰，易于理解，但僅僅是波動(dòng)理論的零波長近似，其結(jié)果僅適用于多模光纖，不適合單模光纖。 幾何光學(xué)中，光線定義為等相面的法線。一般情況下，麥克斯韋的試探解可以寫成振幅與相位的形式上式中和都是位置的函數(shù)，而則稱為光程函數(shù)，把這個(gè)表達(dá)形式代入麥克斯韋方程后，可以得到 rjkrHHrjkrEE000

15、0expexp00000000000000020lnHkjHkjEHkjHEkjHEHkjEnH rE0 rH0 r根據(jù)光線理論的幾何光學(xué)近似條件，這里我們感興趣的是電磁波的波長趨于零或頻率趨于無窮的情況，即。在這種短波長極限下，我們可以把上式右邊的項(xiàng)忽略，從而得到把上述方程組的(2)式代入(1)式，并利用矢量恒等式，可以得到又因?yàn)殡妶?chǎng)振幅矢量不能處處為零，因而必有這就是程函方程，它描述了光程函數(shù)的變化，是幾何光學(xué)中的基本方程。00, 0 k00000000020EHHEEnH0020EnE0E22n 上述程函數(shù)方程，當(dāng)已知折射率分布，就可以得到光程函數(shù)，并進(jìn)而可由下式確定等相位面于是就確定了

16、光線軌跡，因?yàn)楣饩€定義為等相位面的法線方向。 用幾何光學(xué)研究光的傳播問題，最直觀的還是對(duì)光線這一概念的操作，希望能夠直接確定光線軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 constr 考察右圖所示的光線軌跡圖。其軌跡用光線上各點(diǎn)到參考點(diǎn)的矢徑r表示，則光線的軌跡上任意一點(diǎn)的方向?yàn)檫@一點(diǎn)的切線方向，其單位矢量為另一方面，垂直于等相位面，所以與平行,所以又有聯(lián)立上兩式，同時(shí)由程函方程得，則再將上式兩邊對(duì)S求導(dǎo)，對(duì)右式交換求導(dǎo)順序，再利用程函方程，可得這就是折射率分布為n的媒質(zhì)中光線傳播的路徑方程(射線方程)。rdrzxyr+dr路徑dsdrndsdrnndsdrndsd射線方程射線方程)()(rndSrdndSd物理意

17、義： 將光線軌跡(由r r描述)和空間折射率分布(n)聯(lián)系起來; 由光線方程可以直接求出光線軌跡表達(dá)式; dr r/dS是光線切向斜率, 對(duì)于均勻波導(dǎo)，n為常數(shù),光線以直 線形式傳播;對(duì)于漸變波導(dǎo),n是r r的函數(shù),則dr r/dS為一變量, 這表明光線將發(fā)生彎曲。而且可以證明,光線總是向折射率 高的區(qū)域彎曲。光線分類光線分類 子午光線： 限制在子午平面內(nèi)傳播的光線 與光軸相交 傾斜光線： 軌跡曲線不限制在一個(gè)平面內(nèi) 不過光軸z子午平面子午平面pQazz1n2np1n2nQ2a子午光線的傳播路徑及其在橫截面的投影它的傳播路徑是平面折線，在光纖截面內(nèi)的投影是長度為2a的線段，也就是光纖纖芯的某一條直徑。階躍折射率光纖子午光線仍然定義為傳播過程中過光纖纖芯的光線。從上圖可以看到，在梯度光纖中，此類光線是光纖纖芯縱剖面內(nèi)的平面曲線，這在橫截面內(nèi)的投影是長度的線段，是光線外焦散面的半徑。tpr2tpr梯度折射率光纖apQ1n2nicrpQT偏斜光線的傳播路徑及其在橫截面內(nèi)