SARS傳播的數(shù)學模型

1、SARS傳播的數(shù)學模型題目SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴重，嚴重急性呼吸道綜合癥急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是俗稱：非典型肺炎）是21世紀第世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓，認識到定量地研從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對條件

2、的重要性。請你們對SARS 的傳播建立數(shù)學模型，的傳播建立數(shù)學模型，具體要求如下：具體要求如下： （1）對附件）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。性和實用性。題目（2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前

3、或延后評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數(shù)據(jù)供參提供的數(shù)據(jù)供參考。考。（3）收集）收集SARS對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應的數(shù)學模型并進行預測。附件的數(shù)學模型并進行預測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。提供的數(shù)據(jù)供參考。 （4）給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛?，說明建立傳染病數(shù)）給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛?，說明建立傳染病數(shù)學模型的重要性。學模型的重要性。 負反饋模型什么叫負反饋？ 將放大器的輸出信號（電壓或電流），按一定路徑回送將放大器的輸出信號（電壓或電流），

4、按一定路徑回送到放大器輸入端的過程稱為反饋。施加反饋的放大器稱到放大器輸入端的過程稱為反饋。施加反饋的放大器稱為反饋放大器。它是由一個基本放大器和反饋網(wǎng)絡構(gòu)成為反饋放大器。它是由一個基本放大器和反饋網(wǎng)絡構(gòu)成的閉合環(huán)路。如圖：的閉合環(huán)路。如圖：什么叫負反饋？ 給出反饋系數(shù)給出反饋系數(shù)K Kf f以及閉環(huán)增益以及閉環(huán)增益A Af f的定義，當反的定義，當反饋系數(shù)饋系數(shù)K Kf f00時，系統(tǒng)是負反饋的，反之，系統(tǒng)時，系統(tǒng)是負反饋的，反之，系統(tǒng)是正反饋的。是正反饋的。 負反饋具有自我調(diào)節(jié)作用，正是我們需要的負反饋具有自我調(diào)節(jié)作用，正是我們需要的基本假設n統(tǒng)計數(shù)據(jù)是可靠的統(tǒng)計數(shù)據(jù)是可靠的n病人處于潛伏

5、期時不傳染他人病人處于潛伏期時不傳染他人n采取的所有控制措施對于阻止采取的所有控制措施對于阻止SARS的傳播都是有效的的傳播都是有效的符號說明nI In n 到第到第n n天為止累計確診的病人數(shù)天為止累計確診的病人數(shù)nD Dn n - - 到第到第n n天為止累計的死亡人數(shù)天為止累計的死亡人數(shù)nS Sn n 第第n n天的疑似病人數(shù)天的疑似病人數(shù)nC Cn n - - 到第到第n n天為止治愈病人數(shù)天為止治愈病人數(shù)nd d 死亡率死亡率ng g 治愈率治愈率ns1 s1 新增病人與新增疑似病人的比值新增病人與新增疑似病人的比值ns2 s2 疑似病人轉(zhuǎn)化為正常人的比率疑似病人轉(zhuǎn)化為正常人的比率符

6、號說明（續(xù)）nK K0 0 區(qū)域內(nèi)的自反饋參量區(qū)域內(nèi)的自反饋參量nF Fn n 反饋變量反饋變量nfkfk 反饋變量的變化率反饋變量的變化率模型建立n設該區(qū)域內(nèi)的自反饋參量為設該區(qū)域內(nèi)的自反饋參量為K0，表示該地區(qū)在未來采，表示該地區(qū)在未來采取控制措施時取控制措施時SARS的傳播能力的傳播能力n設該地區(qū)自反饋量設該地區(qū)自反饋量Fn的變化率為的變化率為fk，即每增加一個病，即每增加一個病人引起反饋量人引起反饋量Fn的變化量。的變化量。fk表示該地區(qū)的病情控制表示該地區(qū)的病情控制情況情況時間序列模型Fn=K0+fk*(In+Sn)In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1)Dn+1=Dn+

7、d(In-Dn-Cn)Sn+1=Sn+(In+1-In)*s1-Sn*s2Cn+1=Cn+g*(In-In-1)模型求解n設實際數(shù)據(jù)為設實際數(shù)據(jù)為I In0n0，擬合數(shù)據(jù)為，擬合數(shù)據(jù)為I In n，則我們確定參數(shù)的，則我們確定參數(shù)的目標是使總殘量最小，即：目標是使總殘量最小，即： 我們使用我們使用matlab7.0matlab7.0中的中的fminsearchfminsearch函數(shù)來求解，得到函數(shù)來求解，得到總殘量最小時的各個參數(shù)，并擬合曲線總殘量最小時的各個參數(shù)，并擬合曲線niiiIIE020)(min原文數(shù)據(jù)不妥當處原文數(shù)據(jù)不妥當處nF Fk k應該為負數(shù)；應該為負數(shù)；d d應該大于應該

8、大于0 0按原文給出的數(shù)據(jù)所作的圖我們用fmins關(guān)于I解出的曲線我們用我們用fminsfmins關(guān)于關(guān)于I,D,SI,D,S解出的曲線解出的曲線原模型的不足之處g=(Cn+1-Cn)/(In-In-1) 并不是常量并不是常量我們根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)計算我們根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)計算g得到下圖：得到下圖：原模型的不足之處In+1=In+Fn*In-(Cn-Cn-1 )-(Dn-Dn-1)而不是而不是In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1)改進K=0.4460;fk=-0.0001;d=0.0020;g=0.0024;s1=1.2815;s2=0.0529微分方程模型基本假設n假設假設SA

9、RSSARS的傳播方式為接觸性傳播，不與患病者接觸的傳播方式為接觸性傳播，不與患病者接觸就不會被傳染就不會被傳染n假設人們被感染后需先進入潛伏期，在潛伏期內(nèi)不具假設人們被感染后需先進入潛伏期，在潛伏期內(nèi)不具備傳染性備傳染性n假設假設SARSSARS患者被發(fā)現(xiàn)后就立即被隔離，被隔離者不具患者被發(fā)現(xiàn)后就立即被隔離，被隔離者不具備傳染性，備傳染性，SARSSARS患者只在被發(fā)現(xiàn)前可以傳染他人患者只在被發(fā)現(xiàn)前可以傳染他人n假設假設SARSSARS康復者不會被再次感染，并且不具備傳染性康復者不會被再次感染，并且不具備傳染性n不考慮在不考慮在SARSSARS傳播期間人口的自然出生和自然死亡傳播期間人口的自

10、然出生和自然死亡n所研究地區(qū)的人口總量一定，不考慮該段時間內(nèi)人口所研究地區(qū)的人口總量一定，不考慮該段時間內(nèi)人口的遷入遷出的遷入遷出符號說明nN 我們所研究區(qū)域的人口總數(shù)我們所研究區(qū)域的人口總數(shù)nS 易感染類，該類成員沒有染上易感染類，該類成員沒有染上SARS，也沒有免疫，也沒有免疫能力，可以被傳染上能力，可以被傳染上SARSnE 潛伏期類，該類成員已經(jīng)感染了潛伏期類，該類成員已經(jīng)感染了SARS病毒，但尚病毒，但尚處于潛伏期內(nèi)，還不是處于潛伏期內(nèi)，還不是SARS患者，不能把病毒傳染給患者，不能把病毒傳染給S類成員類成員nIu 患病未被發(fā)現(xiàn)類，該類成員已經(jīng)成為真正的患病未被發(fā)現(xiàn)類，該類成員已經(jīng)成為

11、真正的SARS患者，能夠把病毒傳染給患者，能夠把病毒傳染給S類成員類成員nIi 患病已被發(fā)現(xiàn)類，該類成員雖然是患病已被發(fā)現(xiàn)類，該類成員雖然是SARS患者，但患者，但由于發(fā)現(xiàn)后立即被嚴格隔離，不能傳染給由于發(fā)現(xiàn)后立即被嚴格隔離，不能傳染給S類成員類成員 符號說明（續(xù)）nR 免疫類，該類成員為免疫類，該類成員為SARS康復者或因患康復者或因患SARS死死亡，已經(jīng)具有免疫力，不再對其它成員產(chǎn)生任何影響亡，已經(jīng)具有免疫力，不再對其它成員產(chǎn)生任何影響nH 潛伏期天數(shù)潛伏期天數(shù)nL 傳染期天數(shù)傳染期天數(shù)模型建立n我們把一個封閉區(qū)域內(nèi)我們把一個封閉區(qū)域內(nèi)的人群完備的分成的人群完備的分成5 5類：類：S S類

12、、類、E E類、類、I Iu u類、類、I Ii i類和類和R R類，設第類，設第t t天時五類成天時五類成員的人數(shù)分別為員的人數(shù)分別為S(t)S(t)、E(t)E(t)、I Iu u(t)(t)、I Ii i(t)(t)、R(t)R(t)，該地區(qū)總?cè)丝跒?，該地區(qū)總?cè)丝跒镹 N。nN 人口總數(shù)人口總數(shù)nS 易感染類易感染類nE 潛伏期類潛伏期類nIu 患病未被發(fā)現(xiàn)類患病未被發(fā)現(xiàn)類nIi 患病已被發(fā)現(xiàn)類患病已被發(fā)現(xiàn)類nR 免疫類免疫類參數(shù)設置及其意義參數(shù)設置及其意義（續(xù)）微分方程EcIRcIzIIzIgEIEgESIESISiiuiuuuu1,010, 0, 0, 0, 0czgHgRIIESN

13、RIIESiuiu模型求解n我們調(diào)用我們調(diào)用Matlab軟件中的軟件中的ode45函數(shù)進行求解函數(shù)進行求解 ode45函數(shù)：函數(shù)： 專門用于解常微分方程的功能函數(shù)，有專門用于解常微分方程的功能函數(shù)，有ode23, ode45,ode23S等，主要采用等，主要采用Runge-Kutta方法，方法，其中其中ode23采用兩階、三階采用兩階、三階Runge-Kutta法解，適法解，適合要求精度較低的場合，合要求精度較低的場合，ode45采用四階、五階采用四階、五階Runge-Kutta法解。一般說來，法解。一般說來，ode45比比ode23的的積分段少，運算速度更快一些。積分段少，運算速度更快一些。

14、源代碼源代碼function dx = fun(t,x)%x(1)=S;x(2)=E;x(3)=Iu;x(4)=Ii;x(5)=R.o=0.0000382;u=0.0999;g=0.1-u;z=0.4;c=0.014;dx = zeros(5,1);dx(1) = -o*x(1)*x(3);dx(2) = o*x(1)*x(3)-(g+u)*x(2);dx(3) = g*x(2)-z*x(3);dx(4) = z*x(3)-c*x(4);dx(5) = c*x(4)+u*x(2); t,x = ode45(fun,0,160,6.7e6,0,1,0,0);y=x(:,4)+x(:,5)-0.0

15、999*x(:,2);plot(t,y); 返回返回求解過程n以香港數(shù)據(jù)為例，以香港數(shù)據(jù)為例，N=6.7e6N=6.7e6 取初值取初值I Iu u(0)=1(0)=1， S(0)=N-1S(0)=N-1，E(0)=IE(0)=Ii i(0)=R(0)=0(0)=R(0)=0 初始數(shù)據(jù)初始數(shù)據(jù)c=0.014c=0.014，H=10H=10， =2e-5=2e-5，z=0.5z=0.5 解出的圖像解出的圖像求解過程逐步調(diào)整各參數(shù)的值，可得到如下的曲線：逐步調(diào)整各參數(shù)的值，可得到如下的曲線：調(diào)整一下坐標可得鐘南山研究成果九成多非典病人可不藥而愈九成多非典病人可不藥而愈http:/ 2003年年09

16、月月14日日12:00 人民網(wǎng)人民網(wǎng)-江南時報江南時報廣州廣州9月月13日電中國工程院院士、中國著名日電中國工程院院士、中國著名呼吸疾病專家鐘南山呼吸疾病專家鐘南山12日在日在“2003防治防治非非典典（廣州）學術(shù)研討會（廣州）學術(shù)研討會”上表示，上表示，90的非的非典病人是典病人是“自限性自限性”的，只要好好休息，就可的，只要好好休息，就可以自己康復。他稱，以自己康復。他稱，93的病人自己能完全好的病人自己能完全好轉(zhuǎn)。因此，感染非典，首先是支持療法，而不轉(zhuǎn)。因此，感染非典，首先是支持療法，而不是特效藥是特效藥如果不存在自愈此模型的缺陷n模型中各變量的取值只能根據(jù)已有的數(shù)據(jù)擬合，模型模型中各變

17、量的取值只能根據(jù)已有的數(shù)據(jù)擬合，模型的精確度嚴重的依賴于所給的數(shù)據(jù)的準確度，不具有的精確度嚴重的依賴于所給的數(shù)據(jù)的準確度，不具有預測性預測性n對于不同的地區(qū)需要重新確定各變量的取值，計算量對于不同的地區(qū)需要重新確定各變量的取值，計算量大，缺乏一般的原則和算法大，缺乏一般的原則和算法基于基于SmallSmallWorldWorldNetworkNetwork的的模擬模型模擬模型基于基于SmallSmallWorldWorldNetworkNetwork的模擬模型的模擬模型n模型的建立模型的建立n算法的設計算法的設計n結(jié)果的分析結(jié)果的分析模型的建立n用SmallWorldNetwork模型模擬現(xiàn)代

18、社會網(wǎng)絡（N，K，P）n模型中每個節(jié)點的狀態(tài)（S，E，Im，Ii，R） 符號說明nN區(qū)域人口總數(shù)；區(qū)域人口總數(shù)；nS易感染類人群易感染類人群 E潛伏類人群潛伏類人群nIu患病未被發(fā)現(xiàn)類人群患病未被發(fā)現(xiàn)類人群nIi患病已被發(fā)現(xiàn)類人群患病已被發(fā)現(xiàn)類人群nR免疫類人群免疫類人群nH潛伏期天數(shù)；潛伏期天數(shù)； L傳染期天數(shù)；傳染期天數(shù)；nPSWN模型中每條邊模型中每條邊“斷鍵重連斷鍵重連”的選中概率的選中概率nJ SWN模型中每條邊再次模型中每條邊再次“斷鍵重連斷鍵重連”的選中概的選中概率率nQS類成員被感染的概率類成員被感染的概率基于基于SmallSmallWorldWorldNetworkNetwo

19、rk的模擬模型的模擬模型n模型的建立模型的建立n算法的設計算法的設計n結(jié)果的分析結(jié)果的分析算法的設計n構(gòu)建構(gòu)建SWN網(wǎng)絡網(wǎng)絡n初始化初始化n以時間以時間t遍歷各節(jié)點遍歷各節(jié)點1。對各節(jié)點連出的邊的重新隨機。對各節(jié)點連出的邊的重新隨機2。對。對Iu類節(jié)點的處理類節(jié)點的處理3。對。對E類節(jié)點的處理類節(jié)點的處理4。對。對Ii類節(jié)點的處理類節(jié)點的處理模型中各成員的流動情況 基于基于SmallSmallWorldWorldNetworkNetwork的模擬模型的模擬模型n模型的建立模型的建立n算法的設計算法的設計n結(jié)果的分析結(jié)果的分析結(jié)果的分析n運用控制變量法運用控制變量法1.對參數(shù)對參數(shù)Q、L的討論的

20、討論2.對參數(shù)對參數(shù)J的討論的討論3.對參數(shù)對參數(shù)V的討論的討論對Q、L的討論n1。固定。固定Q=0.1,運用運用MATLAB做患病人做患病人數(shù)關(guān)于模擬天數(shù)和數(shù)關(guān)于模擬天數(shù)和L的取值的三維圖像。的取值的三維圖像。觀察：隨著觀察：隨著L的增大，圖像峰值的大小變化的增大，圖像峰值的大小變化以及到達峰值的速度變化。以及到達峰值的速度變化。將整個模型節(jié)點數(shù)控制在2000時候的圖像節(jié)點總數(shù)為100000的時候的圖像對Q、L的討論n2。固定。固定L=10,運用運用MATLAB做患病人數(shù)做患病人數(shù)關(guān)于模擬天數(shù)和關(guān)于模擬天數(shù)和Q的取值的三維圖像。的取值的三維圖像。觀察：隨著觀察：隨著Q的增大，圖像峰值的大小變的增大，圖像峰值的大小變化以及到達峰