初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)8頁(yè)

1、初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 初三數(shù)學(xué) 圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、本章知識(shí)框架二、本章重點(diǎn)1圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合2判定一個(gè)點(diǎn)P是否在O上設(shè)O的半徑為R，OPd，則有d>r點(diǎn)P在O 外；dr點(diǎn)P在O 上；d<r點(diǎn)P在O 內(nèi)3與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等90&#

2、176;的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半4圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等(2)軸對(duì)稱(chēng)：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱(chēng)

3、軸垂徑定理及推論：(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦(5)平行弦?jiàn)A的弧相等5三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的

4、距離相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)6切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線(2)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角7圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四

5、個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等8直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d(1)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R(2)直線和O有唯一公共點(diǎn)直線l和O相切dR(3)直線l和O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和O 相交d<R9圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距(1)沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離d>Rr(2)沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部?jī)?nèi)含d<Rr(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部

6、外切dRr(4)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切dRr(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)相交Rr<d<Rr10兩圓的性質(zhì)：(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩圓連心線(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)11圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面積公式：，周長(zhǎng)C2R圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2Rl，全面積為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為Rl ，全面積

7、為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有【經(jīng)典例題精講】例1 如圖23-2，已知AB為O直徑，C為上一點(diǎn)，CDAB于D，OCD的平分線CP交O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律解：連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷例2 下列命題正確的是( )A相等的圓周角對(duì)的弧相等B等弧所對(duì)的弦相等C三點(diǎn)確定一個(gè)圓D平分弦的直徑垂直于弦解：A在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以A不正確B等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確C三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定

8、一個(gè)圓D平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦故選B例3 四邊形ABCD內(nèi)接于O，ABC123，求D分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等解：設(shè)Ax，B2x，C3x，則DACB2xx2x3x2x360°，x45°D90°小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于O，周長(zhǎng)為20，且ABBCCD123，求AD的長(zhǎng)例4 為了測(cè)量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑若測(cè)得PA5cm，則鐵環(huán)的半徑是_cm分析：測(cè)量鐵環(huán)半徑的方法

9、很多，本題主要考查切線長(zhǎng)性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行合作解決，即過(guò)P點(diǎn)作直線OPPA，再用三角板畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識(shí)求解解：小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)將實(shí)際問(wèn)題變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型例5 已知相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB16，求兩圓的圓心距解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)與AB交于C，連結(jié)，則垂直平分AB，又AB16AC8在中，在中，故(2)若位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)的延長(zhǎng)線與AB交于C，連結(jié)垂直平分AB，又AB

10、16，AC8在中，在中，故注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問(wèn)題時(shí)，要注意雙解或多解問(wèn)題 三、相關(guān)定理：1.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1 已知P為O內(nèi)一點(diǎn)，O半徑為，過(guò)P任作一弦AB，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為     。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割線定理推論：如果弦與直徑

11、垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2=PA·PB例2 已知PT切O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長(zhǎng)。解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即   ，（舍）由切割線定理，  由勾股定理，      四、輔助線總結(jié)1.圓中常見(jiàn)的輔助線1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半

12、徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角5)作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角直角6)遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角7)遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角8)欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心向直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑9)遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)10)遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)11)遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線12)遇兩圓相切，常過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線13)求

13、公切線時(shí)常過(guò)小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊2、圓中較特殊的輔助線1)過(guò)圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線2)將割線、相交弦補(bǔ)充完整3)作輔助圓例1如圖23-10，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，如果AB10，CD8，那么AE的長(zhǎng)為( )A2B3C4D5分析：連結(jié)OC，由AB是O的直徑，弦CDAB知CDDE設(shè)AEx，則在RtCEO中，即，則，(舍去)答案：A 例2如圖23-11，CA為O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在O上，如果CAB55°，那么AOB等于( )A35°B90°C110°D120°分析：由弦切角與

14、所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道AOB2BAC2×55°110°答案：C例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，那么側(cè)面積等于( )A B C D分析：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，即答案：B 例4 如圖23-12，在半徑為4的O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，求：EM的長(zhǎng)簡(jiǎn)析：(1)由DC是O的直徑，知DEEC，于是設(shè)EMx，則AM·MBx(7x)，即所以而EM>MC，即EM4 例5如圖23-13，AB是O的直徑，PB切O于點(diǎn)B，PA交O于點(diǎn)C，