第21章第8課時一元二次方程的應(yīng)用1導(dǎo)學(xué)案

1、第8課時 一元二次方程的應(yīng)用（1）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)會列出一元二次方程解應(yīng)用題；學(xué)會用列一元二次方程的方法解決傳播問題、增長率問題和幾何圖形問題；通過列方程解應(yīng)用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力二、知識回顧1解一元二次方程有哪些方法？直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法2列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟是什么？（1）審：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)：用字母表示題目中的一個未知數(shù)；（3）找：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個等量關(guān)系；（4）列：根據(jù)這個等量關(guān)系列出代數(shù)式，從而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知數(shù)的值；（6）驗：檢驗方程的解是否符合題意；（7）答：寫出答

2、案（包括單位名稱）三、新知講解列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟審：指讀懂題目，審清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關(guān)系；設(shè)：指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么，間接設(shè)元是間接地設(shè)一個與所求的量有關(guān)系的量作為未知數(shù)，進而求出所求的量；列：指列一元二次方程，這是非常重要的步驟，一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程；解：指解方程，即求出所列方程的解；驗：指檢驗方程的解能否保證實際問題有意義，符合題意，應(yīng)注意的是，一元二次方程的解有可能不符合題意，如線段的長度不能為

3、負(fù)數(shù)，降低率不能大于100%，等等答：寫出答案列一元二次方程解應(yīng)用題的常見題型傳播問題、增長率問題、幾何圖形問題、數(shù)字問題、營銷問題、利息問題等四、典例探究1一元二次方程的應(yīng)用傳播問題【例1】（2014秋劍閣縣校級期中）“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長類動物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳染病毒，傳染性極強，一日本游客在非洲旅游時不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人受到感染，（1）問每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果得不到控制，按如此的傳播速度，經(jīng)過三輪后將有多少人受到感染？總結(jié)：傳播問題的基本特征是：以相同速度逐輪傳播.解決此類問題的關(guān)鍵是：明確每輪傳播中的傳染源個數(shù)，

4、以及這一輪被傳染的總數(shù)練1（2014秋集美區(qū)校級期末）為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，他設(shè)計了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書之后，又邀請n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，依此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111人參與了傳播活動，則n的值是多少？2一元二次方程的應(yīng)用增長率問題【例2】（2015珠海）白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2014年達到82.8公頃（1）求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長率；若年增長率保持不變，2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達到100公頃？總結(jié)：增

5、長率問題會涉及到最后產(chǎn)量、基數(shù)、平均增長率或平均降低率.若平均增長（或降低）百分率為x，增長（或降低）前基數(shù)為a，增長（或降低）n次后的最后產(chǎn)量是b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b，其中增長取“+”，降低取“-”，注意1與x的位置不能調(diào)換.增長率問題中，解方程一般用直接開平方法，注意方程根的取舍問題練2（2014秋丹江口市校級月考）一種藥品經(jīng)過兩次降價，由每盒60元調(diào)至48.6元，平均每次降價的百分率是多少？3一元二次方程的應(yīng)用與圖形有關(guān)的問題【例3】（2014秋番禺區(qū)校級月考）如圖，在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑寬度一樣的三條道路（如圖），把耕地分成大小相等

6、的6塊作為試驗田，要使試驗田面積為504m2，求每條道路的寬度為多少米.總結(jié)：解決幾何圖形問題的關(guān)鍵是掌握常見幾何圖形的面積、體積公式，并能熟練計算由基本圖形構(gòu)成的組合圖形的面積.對于不規(guī)則圖形的面積問題，往往通過平移、割補等方法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，運用規(guī)則圖形的面積公式列出方程練3（2014金灣區(qū)校級一模）某幼兒園有一道長為16米的墻，計劃用32米長的圍欄利用一面墻如圖圍成一個矩形草坪abcd（1）當(dāng)矩形草坪面積為120平方米時候，求該矩形草坪bc邊的長（2）怎樣圍能得到面積最大的草坪？五、課后小測一、選擇題1（2015山西模擬）九（1）班同學(xué)畢業(yè)的時候，每人都必須與其他任何一位同學(xué)

7、合照一張雙人照，全班共照相片780張，則九（1）班的人數(shù)是（）a39 b40 c50 d602（2015蘭州二模）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪穿然后共有49人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則x的值為（）a5 b6 c7 d83（2015泰安模擬）某工廠第二季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長了x%，第三季度的產(chǎn)值又比第二季度的產(chǎn)值增長了x%，則第三季度的產(chǎn)值比第一季度增長了（）a2x% b1+2x% c（1+x%）x% d（2+x%）x%4（2015江岸區(qū)校級模擬）為提高民生，讓人民更好的享受經(jīng)濟和社會發(fā)展的成果，今年多數(shù)藥品生產(chǎn)的企業(yè)對某些藥品實行降價，其中某種藥品經(jīng)過再次降價，每盒下降

8、了36%假設(shè)每次降價的百分率相同，降價前的藥品價格為100元，則第一次降價后的價格為（）a18元 b36元 c64元 d80元5（2015槐蔭區(qū)三模）如圖，矩形abcd是由三個矩形拼接成的如果ab=8，陰影部分的面積是24，另外兩個小矩形全等，那么小矩形的長為（）a7 b6 c5 d4二、填空題6（2014春信州區(qū)校級月考）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，如果不及時控制，第三輪將又有 人被傳染7（2015春富陽市校級月考）甲菜農(nóng)計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)某種蔬菜，由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植這種蔬菜，造成這種蔬菜滯銷甲菜農(nóng)為加快銷售，減少損失，對這種蔬菜的價格經(jīng)過兩次下調(diào)，最

9、后以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售，則他平均每次下調(diào)的百分率是 8（2015東西湖區(qū)校級模擬）如圖，某廣場一角的矩形花草區(qū)，其長為40m，寬為26m，其間有三條等寬的路，一條直路，兩條曲路，路以外的地方全部種上花草，要使花草的面積為864m2，求路的寬度為 m三、解答題9（2014襄陽區(qū)校級模擬）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少小分支？10（2014東海縣模擬）有一人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有49人患了流感（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？11（2014

10、泗縣校級模擬）某公司一月份營業(yè)額為100萬元，第一季度總營業(yè)額為331萬元，問：該公司二、三月份營業(yè)額的平均增長率是多少？12（2014春淮陰區(qū)校級月考）前一階段，我校成功的舉辦了首屆數(shù)學(xué)節(jié)，某種活動所需材料經(jīng)過兩次降價后，從原來的20元減少到12.8元，若兩次降價的百分率相同，請你求出降價的百分率13（2014香洲區(qū)校級一模）據(jù)媒體報道，我國2011年公民出境旅游總?cè)藬?shù)約5000萬人，2013年公民出境旅游總?cè)藬?shù)約7200萬人，若2012年、2013年公民出境旅游總?cè)藬?shù)逐年遞增，請解答如下問題：（1）求這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率；（2）如果2014年仍保持相同的年平均增長率，

11、請你預(yù)測2014年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)約多少萬人？14（2014紅塔區(qū)模擬）如圖，在長為80米，寬為60米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為4524米2，則道路的寬應(yīng)為多少米？15（2014長寧區(qū)二模）如圖，為了給小區(qū)居民增加鍛煉場所，物業(yè)擬在一寬為40米、長為60米的矩形區(qū)域內(nèi)的四周修建寬度相同的鵝卵石小路，陰影部分用作綠化當(dāng)陰影部分面積為800平方米時，小路寬x為多少米16（2015贛州模擬）如圖，中間用相同的白色正方形瓷磚，四周用相同的黑色長方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察圖形并解答下列問題（1）問：依據(jù)規(guī)律在第6個圖中，黑色瓷磚有28塊，白色瓷

12、磚有42塊；（2）某新學(xué)校教室要裝修，每間教室面積為68m2，準(zhǔn)備定制邊長為0.5米的正方形白色瓷磚和長為0.5米、寬為0.25米的長方形黑色瓷磚來鋪地面按照此圖案方式進行裝修，瓷磚無須切割，恰好完成鋪設(shè)已知白色瓷磚每塊20元，黑色瓷磚每塊10元，請問每間教室瓷磚共需要多少元？典例探究答案：【例1】（2014秋劍閣縣校級期中）“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長類動物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳染病毒，傳染性極強，一日本游客在非洲旅游時不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人受到感染，（1）問每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果得不到控制，按如此的傳播速度，經(jīng)過三輪后將有多少人

13、受到感染？分析：（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患病，可求出x，（2）進而求出第三輪過后，又被感染的人數(shù)解答：解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，1+x+x（x+1）=121，x=10或x=12（舍去）答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人；（2）121+121×10=1331（人）答：第三輪后將有1331人被傳染點評：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人是解題關(guān)鍵練1（2014秋集美區(qū)校級期末）為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，他設(shè)計了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請

14、n個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書之后，又邀請n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，依此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111人參與了傳播活動，則n的值是多少？分析：設(shè)邀請了n個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，第一輪傳播了n個人，第二輪傳播了n2個人，根據(jù)兩輪傳播后，共有111人參與列出方程求解即可解答：解：由題意，得n+n2+1=111，解得：n1=11（舍去），n2=10故n的值是10點評：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答時先由條件表示出第一輪增加的人數(shù)和第二輪增加的人數(shù)，根據(jù)兩輪總?cè)藬?shù)為111人建立方程是關(guān)鍵【例2】（2015珠海）白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2014

15、年達到82.8公頃（1）求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長率；（2）若年增長率保持不變，2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達到100公頃？分析：（1）設(shè)每綠地面積的年平均增長率為x，就可以表示出2014年的綠地面積，根據(jù)2014年的綠地面積達到82.8公頃建立方程求出x的值即可；（2）根據(jù)（1）求出的年增長率就可以求出結(jié)論解答：解：（1）設(shè)綠地面積的年平均增長率為x，根據(jù)意，得57.5（1+x）2=82.8，解得x1=0.2，x2=2.2（不合題意，舍去）.答：增長率為20%；（2）由題意，得82.8（1+0.2）=99.36（萬元）答：2015年該鎮(zhèn)綠地面積不能達到100公頃點評：本題考

16、查了增長率問題的數(shù)量關(guān)系的運用，關(guān)鍵是運用增長率的數(shù)量關(guān)系建立一元二次方程求解練2（2014秋丹江口市校級月考）一種藥品經(jīng)過兩次降價，由每盒60元調(diào)至48.6元，平均每次降價的百分率是多少？分析：設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格=降價前的價格（1降價的百分率），則第一次降價后的價格是60（1x），第二次后的價格是60（1x）2，據(jù)此即可列方程求解解答：解：設(shè)平均每次降價的百分率是x，依題意得：60（1x）2=48.6，解方程得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），答：平均每次降價的百分率是10%故答案為：10%點評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用增長率（下降率）問題

17、，關(guān)鍵是讀懂題意，掌握公式：“a（1±x）n=b”，理解公式是解決本題的關(guān)鍵【例3】（2014秋番禺區(qū)校級月考）如圖，在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑寬度一樣的三條道路（如圖），把耕地分成大小相等的六塊作為試驗田，要使試驗田面積為504m2，求每條道路的寬度為多少米？分析：試驗田的面積=矩形耕地的面積三條道路的面積+道路重疊部分的兩個小正方形的面積如果設(shè)道路寬x，可根據(jù)此關(guān)系列出方程求出x的值，然后將不合題意的舍去即可解答：解：設(shè)道路為x米寬，由題意得20×3220x×232x+2x2=504，整理得x236x+68=0，解得x=2，x=34，經(jīng)檢驗x=

18、2，x=34都是原方程的解，但是x=3420，因此不合題意舍去答：每條道路的寬度為2m點評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式另外應(yīng)熟悉以下關(guān)系：整體面積=各部分面積之和；剩余面積=原面積截去的面積本題也可通過平移，把分散的小路集中到一起，得到的試驗田為一個矩形，由此可得出方程（x-2x）（20-x）=504，并求解.練3（2014金灣區(qū)校級一模）某幼兒園有一道長為16米的墻，計劃用32米長的圍欄利用一面墻如圖圍成一個矩形草坪abcd（1）當(dāng)矩形草坪面積為120平方米時候，求該矩形草坪bc邊的長（2）怎樣圍能得到面積最大的草坪？分析：（1）可設(shè)矩形草坪bc邊

19、的長為x米，則ab的長是，根據(jù)長方形的面積公式列出一元二次方程求解；（2）根據(jù)配方法即可得到怎樣圍能得到面積最大的草坪解答：解：（1）設(shè)矩形草坪bc邊的長為x米，則x=120，解得x1=12，x2=20（舍去）故該矩形草坪bc邊的長為12米，（2）s=x=x2+16x=（x16）2+128，故當(dāng)矩形草坪長為16米，寬為8米的時候，所圍的草坪面積最大點評：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，注意得出結(jié)果后要判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解注意本題表示出矩形草坪的長和寬是解題的關(guān)鍵課后小測答案：一、選擇題1（2015山西模擬）九（1）班同學(xué)畢業(yè)的時候，每人都必須與其他任何一位同學(xué)合照一張雙人照

20、，全班共照相片780張，則九（1）班的人數(shù)是（）a39 b40 c50 d60解：設(shè)九（1）班共有x人，根據(jù)題意得：x（x1）=780，解之得x1=40，x2=39（舍去），答：九（1）班共有40名學(xué)生故選b2（2015蘭州二模）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪穿然后共有49人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則x的值為（）a5 b6 c7 d8解：根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）=49，解得：x=6或x=8（舍去），則x的值為6故選：b3（2015泰安模擬）某工廠第二季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長了x%，第三季度的產(chǎn)值又比第二季度的產(chǎn)值增長了x%，則第三季度的產(chǎn)值比第一季度增長了（）a2x

21、% b1+2x% c（1+x%）x% d（2+x%）x%解：根據(jù)題意得：第三季度的產(chǎn)值比第一季度增長了（2+x%）x%，故選d4（2015江岸區(qū)校級模擬）為提高民生，讓人民更好的享受經(jīng)濟和社會發(fā)展的成果，今年多數(shù)藥品生產(chǎn)的企業(yè)對某些藥品實行降價，其中某種藥品經(jīng)過再次降價，每盒下降了36%假設(shè)每次降價的百分率相同，降價前的藥品價格為100元，則第一次降價后的價格為（）a18元 b36元 c64元 d80元解：原價為100元的藥品經(jīng)過兩次降價后下降了36%，降價后的藥品價格為100（136%）=64元，設(shè)平均每次降價的百分率是x，依題意得：100（1x）2=64，解方程得：x1=0.2=20%，x

22、2=1.8（舍去），第一次降價的價格為100×（120%）=80元故選d5（2015槐蔭區(qū)三模）如圖，矩形abcd是由三個矩形拼接成的如果ab=8，陰影部分的面積是24，另外兩個小矩形全等，那么小矩形的長為（）a7 b6 c5 d4解：設(shè)小矩形的長為x，則小矩形的寬為8x，根據(jù)題意得：xx（8x）=24，解得：x=6或x=2（舍去），故選b二、填空題6（2014春信州區(qū)校級月考）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，如果不及時控制，第三輪將又有648人被傳染解：設(shè)一個患者一次傳染給x人，由題意，得x（x+1）+x+1=81，解得：x1=8，x2=10（舍去），第三輪被傳染

23、的人數(shù)是：81×8=648人故答案為：6487（2015春富陽市校級月考）甲菜農(nóng)計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)某種蔬菜，由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植這種蔬菜，造成這種蔬菜滯銷甲菜農(nóng)為加快銷售，減少損失，對這種蔬菜的價格經(jīng)過兩次下調(diào)，最后以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售，則他平均每次下調(diào)的百分率是20%解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率是x由題意，得5（1x）2=3.2解得x1=0.2，x2=1.8（不符合題意），符合題目要求的是x1=0.2=20%答：平均每次下調(diào)的百分率是20%故答案為：20%8（2015東西湖區(qū)校級模擬）如圖，某廣場一角的矩形花草區(qū)，其長為40m，寬為26m，其間有三條等寬

24、的路，一條直路，兩條曲路，路以外的地方全部種上花草，要使花草的面積為864m2，求路的寬度為2m解：設(shè)路的寬度是xm根據(jù)題意，得（402x）（26x）=864，x246x+88=0，（x2）（x44）=0，x=2或x=44（不合題意，應(yīng)舍去）答：路的寬度是2m三、解答題9（2014襄陽區(qū)校級模擬）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少小分支？解：設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，根據(jù)題意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=10（不合題意，應(yīng)舍去）；x=9；答：每支支干長出9個小分支10（2014東?？h模擬

25、）有一人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有49人患了流感（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，1+x+x（x+1）=49x=6或x=8（舍去）答：每輪傳染中平均一個人傳染了6個人；（2）49×6=294（人）答：第三輪將又有294人被傳染11（2014泗縣校級模擬）某公司一月份營業(yè)額為100萬元，第一季度總營業(yè)額為331萬元，問：該公司二、三月份營業(yè)額的平均增長率是多少？解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是x根據(jù)題意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331，解得x1=0.1，x2

26、=3.1（不合題意，舍去）答：該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是10%12（2014春淮陰區(qū)校級月考）前一階段，我校成功的舉辦了首屆數(shù)學(xué)節(jié)，某種活動所需材料經(jīng)過兩次降價后，從原來的20元減少到12.8元，若兩次降價的百分率相同，請你求出降價的百分率解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意得：20（1x）2=12.8解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合題意舍去）答：每次降價的百分率為：20%13（2014香洲區(qū)校級一模）據(jù)媒體報道，我國2011年公民出境旅游總?cè)藬?shù)約5000萬人，2013年公民出境旅游總?cè)藬?shù)約7200萬人，若2012年、2013年公民出境旅游總?cè)藬?shù)逐年遞增，請解答如下問題：（

27、1）求這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率；（2）如果2014年仍保持相同的年平均增長率，請你預(yù)測2014年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)約多少萬人？解：（1）設(shè)這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率為x根據(jù)題意得：5000（1+x）2=7200，解得x1=0.2=20%，x2=2.2 （不合題意，舍去）答：這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率為20%（2）如果2014年仍保持相同的年平均增長率，則2012年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)為 7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（萬人次）答：預(yù)測2014年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)約8640萬人次14（2014紅塔區(qū)模擬）如圖，在長為80米，寬為60米的矩形場地上修建兩