六同第一講還原法解題

1、第一講 還原法解題教學(xué)目標(biāo)： 1、初步了解“還原法” ，加強學(xué)生的運算能力 2、掌握“還原法”的解題步驟，并運用于解決實際問題 3、培養(yǎng)獨立思考、自主探究的能力教學(xué)重難點： 熟練的應(yīng)用還原法解答應(yīng)用題 教學(xué)方法： 講練法教學(xué)用具： 講義 教學(xué)過程一、導(dǎo)入 清朝書畫家鄭板橋在山東濰縣當(dāng)縣官時，有一年春天，他提著一壺酒在街上邊走邊飲， 又是吟詩， 又是畫畫， 正好遇上老朋友計山， 計山說： “光你一個人喝酒， 也不說請我喝呀？ 鄭板橋說： “請倒是想請，只是你來晚了，我的酒已經(jīng)喝完了。 ”計山問道： “你一個人喝了 多少酒呀？ ”鄭板橋 “哈哈 ”一笑，吟出一首詩來： “我有一壺酒，提著街上走，吟

2、詩添一倍， 畫畫喝一斗。 三作詩和畫， 喝光壺中酒。 你說我壺中， 原有多少酒？ ”計山眨著眼 想了半天， 說： “我算出來了，你的壺中原來一共 有7/8 斗酒。 ”鄭板橋說： “對，你很聰明。 ”同學(xué)們， 你們知道計山是怎樣算出來的嗎？其實，計山在計算的過程中用到了我們今天要學(xué)習(xí)的方法-還原法。 等學(xué)完之后， 大家肯定會比鄭板橋的好朋友更加聰明的。二、新課學(xué)習(xí)例 1、將一個數(shù)擴大 7 倍后，減去 5，再除以 5，最后加上最大的一位數(shù)，得 22。這個數(shù)是 多少？解析： 由已知我們知道，一個數(shù)經(jīng)過了多步變化后變成了22，順著推肯定我們沒辦法解決，那就只能倒著推了 怎么來的怎么回去。這里呢我們采用

3、方框法先把題目中的變化過程表示出來：在上圖中，第一個方框表示原來的數(shù)，最后一個方框表示多步變化之后的新數(shù)。 中間的每一個方框表示，每一步變化之后得到的中間結(jié)果。 我們要求的是第一個方 框里面的數(shù)， 從最后一個方框一步一步往前推即可， 要注意的是倒退的時候采用的是逆運算：（22-9）× 5+5÷ 7=（ 13 ×5+5）÷ 7=70÷ 7=10小結(jié)： 這種數(shù)學(xué)運算題是用還原法解題的經(jīng)典類型之一， 我們采用了倒推法， 即為還原法解 題的精髓 從最后結(jié)果一步一步倒著推理，回到已知條件。每一步運算為原來的逆運算，變加為減，變減為加，便乘為除，變除為乘。

4、而且，做這類題目時采用方框法，簡單明了。 下面大家照著這個思路，計算鄭板橋原來有多少酒，看看計山有沒有算錯。練習(xí)：“我有一壺酒，提著街上走，吟詩添一倍，畫畫喝一斗。三作詩和畫，喝光壺中酒。 你說我壺中，原有多少酒”解析： 同樣的我們先畫方框圖（1÷2+1）÷ 2+1÷ 2=（1.5÷ 2+1）÷ 2=1.75÷2=0.875（斗） 所以，計山算的是正確的。例 2、一筐魚連筐重 100 千克，先賣出一半的魚，又賣出剩下魚的一半，這時連筐還重28千克，原來筐重多少千克？解析： 這一例與剛才的例子稍有區(qū)別， 雖然都是一半的關(guān)系。 但是筐子的

5、重量并沒有發(fā)生變 化，只是魚的重量存在一半的關(guān)系。從圖中， 可以發(fā)現(xiàn)原來的魚最后被分成了 4 份，我們假設(shè)最后剩下的魚為一份， 那么原來的 就為 4 份，一共賣出去 3 份魚。而筐子不變， 所以我們可以求出沒份魚的重量，然后再計算 筐子的重量。（100-28 ）÷（ 2×2-1） =24（千克）28-24=4（千克）例 3、貝貝的阿姨給貝貝送來一筐蘋果，貝貝將其中的一半分給弟弟，又將剩下的一半分給 哥哥，最后將第二次剩下的一半留給爸爸和媽媽， 自己拿了剩下的 4個蘋果。 問阿姨一開始 送來了多少個蘋果？解析： 在這一例中都是“一半”的關(guān)系，我們?nèi)匀豢梢圆捎梅娇驁D法來分析4&

6、#215;2×2×2=32（個）小結(jié)：一半問題是還原法解題中的一大類型， 在這兩例中， 關(guān)系比較簡單， 大家很容易理解。 但很多時候，并不能恰好為一半，比如說“一半多幾個” “一半少幾個”對于這樣的問 題，我們怎么解決呢？下面看例 3 過渡： 學(xué)習(xí)了“一半還多”的類型，那么“一半要少”該怎么解決呢？下面看例例 4、 倉庫里有一批大米。第一天售出的重量比總數(shù)的一半少12 噸。第二天售出的重量比剩下的一半少 12 噸，結(jié)果還剩下 49 噸。這個倉庫原有大米多少噸？ 解析：已知賣出了一半少 12 噸，也就是剩下的要比一半多 12 噸，看方框圖（49-12）× 2=74（

7、噸）（74-12）× 2=124（噸）小結(jié)：解決這一類一半問題時，要充分理解“多減少加”的思想。下面大家看練習(xí)題5，試試看！練習(xí)：三位同學(xué)共同買了一些鉛筆， 甲分得的比總數(shù)的一半少 1 支，乙分得的是余下的一半 多一支，丙分得 8 支。問一共買了多少支鉛筆？解析：這一題里面既有“一半多” ，也有“一半少” ，那么根據(jù)我們前面學(xué)的，畫方框圖（8+1 ）× 2=18（支）（18-1） × 2=34 （支）過渡： 到目前為止，我們學(xué)習(xí)的都是一個量在變化的過程，那么如果最開始有兩個量、三 個量互相發(fā)生變化，我們能不能用還原法解決呢？答案是肯定的，我們看例題 5 例 5、爸

8、爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多一個，第二天吃了剩下的一 半多一個，第三天又吃了剩下的一半多一個，還剩下一個。問爸爸買了多少個橘子？ 解析： 這一例相對于上一例來說，要復(fù)雜一些，因為不是恰好一半了。而是“一半多一個” 也就是剩下的為“一半少一個” ，運算時要在一半的基礎(chǔ)上再減去一個?？捶娇驁D：（1+1 ）× 2=4（個）（4+1 ）× 2=10（個）（10+1 ）× 2=22（個）小結(jié)： 這一例屬于典型的一半問題， “一半多一個” ，計算時需要減一，即多減少加的思想。大家在做這一類題目時， 一定要分析清楚， 否則倒推的時候就會出錯！ 下面大家看練習(xí)

9、題 2， 先自己試試。練習(xí)：商場出售洗衣機， 上午售出總數(shù)的一半多 10 臺，下午售出剩下的一半多 20臺，還剩 95 臺，這個商場原來有洗衣機多少臺？解析：95+20）× 2=230（臺）230+10 ）× 2=480（臺）例 6、甲、乙、丙、丁四個小朋友有彩色玻璃球共 100 顆，甲給乙 13 顆，乙給丙 18顆，丙給丁 16 顆，丁給甲 2顆后四人的個數(shù)相等。 他們原來各有玻璃球多少顆？ 解析： 這一例就比我們剛才學(xué)習(xí)的要復(fù)雜一些， 因為有四個人， 他們的玻璃球數(shù)都在不停的 變化。由已知我們可以求出，他們變化到最后擁有的玻璃球數(shù)：100÷ 4=25 顆，然后

10、我們和前面一樣，用方框圖把每一個人的玻璃球數(shù)變化過程表示出來：甲：乙：解析： 甲?。?00÷4=25（顆）甲： 25-2+13=36 （顆）乙： 25+18-13=30 （顆）丙： 25+16-18=23 （顆）?。?25-2-16=11 （顆）小結(jié)： 在這一例中， 是多個量之間發(fā)生相互變化， 在把每一個量從后往前倒推的時候一定要 考慮到這個量發(fā)生關(guān)系的所有變化，不能有遺漏。下面大家自己做練習(xí)題 4練習(xí)： 甲乙丙三組共有圖書 90 本，如果乙組借給甲組 3本后，又送給丙 5 本，結(jié)果三個組 所有圖書剛好相等，甲乙丙三個組原有圖書各多少本？90÷ 3=30（本）甲 30-3=

11、27 （本） 乙 30+5+3=38 （本） 丙 30-5=25 （本）例 7、有甲乙丙三個油桶，各盛油若干千克，先將甲桐油倒入乙、丙兩桶，使他們各增加原 有油的一倍；再將乙桶油倒入丙、甲兩桶，使他們的油各增加一倍；最后按同樣規(guī)律將丙桶 油倒入甲、乙兩桶。這時各桶油都是16 千克。求甲乙丙原有油多少千克？解析： 這一例是還原法解題的經(jīng)典類型，稱為“同樣多”問題，即變化量和原來一樣，也可以說變?yōu)樵瓉淼?2 倍，或者增加一倍等。對于這一類題目，我們通常采用列表法：甲乙丙第 3 次倒后161616第 2 次倒后8832第 1 次倒后42816原來26148下面大家看練習(xí)題 9練習(xí)： 甲乙丙三箱內(nèi)共有

12、 384 個皮球，先由甲箱內(nèi)取出若干個放進乙、丙兩箱內(nèi)，所放個數(shù) 分別為乙丙當(dāng)時所有的球數(shù)； 再由乙箱取出若干放進甲丙兩箱； 最后由丙箱取出若干放進甲 乙兩箱， 放法都同前， 結(jié)果三個箱子內(nèi)的皮球數(shù)彼此相等。 問甲乙丙各箱內(nèi)開始分別有多少 個球？解析： 這一題和我們的例題非常相似似， 只是題目的說法變了。我們可以抓住“三箱內(nèi)球數(shù) 彼此相等”這句話一步步往前推，列表如下：384÷3=128（個）甲乙丙第 3 次變化后128128128第 2 次變化后6464256第 1 次變化后32224128原來20811264例 8、兩只猴子拿 26 個桃，甲猴眼疾手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多

13、，就搶去一半； 甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴 5個， 這時乙猴比甲猴多 2 個（ 改一下 ）。問甲猴最初準備拿幾個？解析 ：從最后一步開始考慮，兩只猴子拿桃的總和是沒有變的，這時乙猴比甲猴多2個，則可以得到甲猴： （26-2）÷ 2=12 個，乙猴： 12+2=14 個。乙猴不服，甲猴就還給乙猴 5個， 則此時甲猴有： 12+5=17 個，乙猴有 14-5=9 個；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半，則此 時甲猴有： 17-9=8 個 乙猴有： 9×2=18 個；乙看甲猴拿得太多，就搶去一半，則此時甲猴 有： 8×2=16個，乙猴有 18-

14、8=10 個。由上可知，甲猴最初準備拿 16個。三、課堂總結(jié)： 這一講我們學(xué)習(xí)了還原法解應(yīng)用題， 對于一個量的變化過程我們一般采用方 框圖法來倒推， 多個量的用列表法來倒推。在倒推時，每一步運算都變?yōu)樵瓉淼哪孢\算，需 要注意：從最后的結(jié)果或條件出發(fā)， 逐步向前推導(dǎo)，不得跳躍；列算式的時候要注意運算順 序，要合理使用括號。四、家庭作業(yè)練習(xí)題 1、3、 6、8、10五、板書設(shè)計還原法解題 倒推：從問題的結(jié)果向前逐步推理，回到已知條件。 類型：數(shù)學(xué)運算；一半問題；同樣多問題；方框圖：單個量列表：多個量六、課后反思 參考答案：鞏固練習(xí)1、妮妮問王老師今年多大年紀，王老師說：把我的年齡加上9，除以 4，

15、減去 2，再乘以 3，恰好是 30 歲。問王老師今年多少歲？ 解析：30 ÷3 = 10 （歲） 10+2 = 12 （歲） 12×4 = 48 （歲） 48-9 = 39 （歲）2、商場出售洗衣機，上午售出總數(shù)的一半多10 臺，下午售出剩下的一半多 20 臺，還剩 95 臺，這個商場原來有洗衣機多少臺？解析：（95+20 ）× 2 = 230 （臺） （230+10 ）×2 = 480 （臺）3、糧庫內(nèi)有一批大米， 第一次運出總數(shù)的一半少 3 噸，第二次運出剩下的一半多 5 噸， 還剩下 4 噸。問糧庫原有大米多少噸？（4+5 ）× 2 =

16、18 （噸）（18-3 ）×2 = 30 （噸）4、貝貝去銀行取款，第一次取了存款的一半多50 元，第二次取了余下的一半多 100元。這時他的存折上還剩 1250 元。他原有存款多少元？1250+100 ）×2 = 2700 （元）2700+50 ）×2 = 5500 （元）5、有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半個，第二只猴又拿走剩下的一半加半個，第三、四、五只猴照此方式操作下去，最后還剩下一個桃。問：原來有多少個桃？ （1+0.5 ）×2 = 3 （個） （3+0.5 ）×2 = 7 （個）（15+0.5 ）× 2 = 31 （個

17、）31+0.5 ）×2 = 63（7+0.5 ）×2 = 15 （個） 個）6、三位同學(xué)共同買了一些鉛筆，甲分得的比總數(shù)的一半少半多一支，丙分得 8 支，問三人共買多少支鉛筆？1 支，乙分得的是余下的一8+1 ）× 2 = 18 （支）18-1 ）×2 = 34 （支）3 本后，又送給丙 5 本，結(jié)果三7、甲、乙、丙三組共有圖書 90 本，如果乙組借給甲組個組所有圖書剛好相等，甲、乙、丙三個組原有圖書各多少本？90 ÷3 = 30 （本） 甲 30 -3 = 27（ 本）丙 30 -5 = 25 （本） 乙 30+3+5 = 38 （本）8、甲

18、、乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再 從乙桶中倒出和甲桶剩下的同樣多的油放入甲桶。這時兩桶油恰好都是 36 千克。問兩桶油 原來各有多少千克？甲乙13636236 ÷2=1836+18=54318+27=4554 ÷2=279、甲、乙、丙三箱內(nèi)共有 384 個皮球，先由甲箱內(nèi)取出若干個放進乙、丙兩箱內(nèi)，所 放個數(shù)分別為乙、丙當(dāng)時所有的球數(shù)；再乙箱取出若干放進甲、丙兩箱；最后，由丙箱取出 若干放進甲、乙兩箱，放法都同前，結(jié)果三箱內(nèi)的皮球個數(shù)彼此相等。問甲、乙、丙各箱內(nèi) 開始各有球多少個？ 384÷3=128 個甲乙丙11281281282128÷2=64128÷2=64384-64 ×2=256364 ÷ 2=32384-128=32=224256÷2=