地下水動力學(xué)電子教案1

1、第一章 地下水運動的基本概念與基本概念本章概述：掌握典型體元、非均質(zhì)各向異性、非均質(zhì)各向同性、均質(zhì)各向異性、均質(zhì)各向同性的等概念；正確區(qū)分地下水質(zhì)點實際流速、空隙平均流速和滲透流速；詳細(xì)敘述研究地下水運動規(guī)律所遵循的基本定律達(dá)西定律；掌握流網(wǎng)的特征并及其在實際中的應(yīng)用， 重難介紹：掌握典型體元的概念和地下水運動基本定律；流網(wǎng)的應(yīng)用。本章學(xué)時數(shù)：4學(xué)時（180分鐘） 教學(xué)內(nèi)容：1.1地下水運動的基本概念我們以前學(xué)過水力學(xué)，從課程名字來看他們很相似，那地下水動力學(xué)和水力學(xué)有什么異同點？1、水力學(xué)與地下水動力學(xué)異同點相同點：都是研究水的運動規(guī)律的學(xué)科。相異點：水力學(xué)是研究水在管道或渠道中的

2、運動。地下水動力學(xué)則是研究水在巖石空隙中（孔隙、裂隙、巖溶）運動規(guī)律。2、滲流與滲流場我們把由由固體骨架和空隙兩部分組成的介質(zhì)，叫多孔介質(zhì)。如砂層、裂隙巖體等。地下水在多孔介質(zhì)中的運動，稱為滲流，滲流所占據(jù)的空間就叫滲流場。1.1.1滲流與典型單元體我們剛才講到地下水地下水滲流，那滲流和實際的水流又有什么區(qū)別呢？由水力學(xué)我們知道普通水流的流向是從總水頭高的地方流向總水頭低的地方，水流量的大小取決于水頭差和水頭損失，同樣地下水水的流向也是從高水頭流向低水頭，流量的大小也水頭差和水頭損失。但是從圖1-1-0b和1-1-3a可以看出，普通水流在管道中運動取決于管道大小、形狀及管壁的粗糙度，而滲流運動

3、取決于多孔介質(zhì)空隙大小、形狀以及其連通性。我們知道在自然界中多孔介質(zhì)中固體的邊界的集合形狀是各種各樣的，形狀十分復(fù)雜，其通道是曲折的，地下水在這樣復(fù)雜的介質(zhì)中流動，其質(zhì)點運動軌跡彎曲，通常其滲流速度緩慢，流態(tài)多為層流，水只在空隙中流動，在固體物質(zhì)中無滲流發(fā)生，因此從整個滲流空間來說是不連續(xù)的，而此也其運動要素（如流速矢量）的分布變化無常，是非穩(wěn)定流，但是大部分是緩變流。圖1-1-3a 地下水實際流動 圖1-1-3b 基于滲流流速的流線從微觀角度研究地下水運動的難度有兩個方面：A）如果從微觀角度來看地下水運動（滲流）：地下水是在不同的空隙中運動的。要獲得微觀角度每一個空間點的水流運動參數(shù)，首先必

4、須獲得空隙的幾何參數(shù)（查明每一個空隙與固體顆粒之間的邊界位置等），這是十分困難的。B）從微觀角度來看地下水流在空間上是不連續(xù)的。固體顆粒部分是沒有水流的，因此從微觀角度地下水的運動參數(shù)在空間上是不連續(xù)的，有很多地方運動參數(shù)是零。也就是說描述水流運動的物理量是非連續(xù)函數(shù)，因此基于連續(xù)函數(shù)的許多微積分方法無法應(yīng)用。因此在研究地下水運動規(guī)律時，我們通常要從宏觀水平上來考察。于是我們就提出了滲流的概念?，F(xiàn)在我們?yōu)榱丝朔厦嫠岬降睦щy和研究方便我們引用一個假想的水流來代替真實的水流(如圖1-1-3b)，這種假想水流是：我們不是說從實際水流運動的物理量是非連續(xù)函數(shù)嗎？現(xiàn)在我們就假設(shè)：1、這種假想水流充滿

5、整個多孔介質(zhì)的連續(xù)體；所謂的整個多孔介質(zhì)它包括空隙和固體部分，不僅僅是空隙了，主要處處有空隙，處處有水流。當(dāng)然為了使假設(shè)水流更加符合實際情況我們有一下2各假設(shè)：2、這種假想水流（滲流）的阻力與實際水流在空隙中所受到的阻力相同；也就是說，我們假設(shè)在這個空隙中的有一點，這一點的假想的水流和實際的水流所受的阻力是相等的。3、滲流場任意一點的水頭H和流速矢量v等運動要素與實際水流在該點周圍一個小范圍內(nèi)的平均值相等。這種假想水流便是宏觀水平的地下水流，我們稱之為滲流。它所占據(jù)的空間稱為“滲流場”。我們剛才在假設(shè)3中提到滲流場任意一點的水頭H和流速矢量v等運動要素與實際水流在該點周圍一個小范圍內(nèi)的平均值相

6、等。這個小范圍到底是多少？，比如說在二維流中，是1平方厘米、1平方分米、1平方米等等。下面我們引入一個典型體元，有些書也叫典型單元體（Representative Elementary Volume）的概念：下面我們是空隙率為例來講解什么是典型單元體。我們在水文地質(zhì)學(xué)基礎(chǔ)中學(xué)過空隙率n的定義是： 其中：VvV中空隙中的體積那么要取多大的V才能代表典型單元體的體積呢？現(xiàn)在假設(shè)P點為多孔介質(zhì)的內(nèi)的某一點，這一點可以在落在固體顆粒上也可以在空隙中，以該點為中心，如果以P點為形心取一體積，當(dāng)P點位于顆粒上時，所取的體積小于或等于顆粒的體積是我們知道空隙率n=0；當(dāng)P點位于空隙中時，所取的體積小于或等于

7、顆粒的體積是我們知道空隙率n=0，隨著所取的體積V的增大，空隙率n的值因為隨機(jī)劃進(jìn)來的顆?；蚩障扼w積產(chǎn)生明顯的波動，但是隨著體積V的逐漸增大波動逐漸減少，當(dāng)體積V取至某一個體積時，空隙率趨于一平均值n，此時的體積V稱為典型體元V0。若體積再繼續(xù)增大把P點外圍的非均質(zhì)區(qū)(K2區(qū))也劃進(jìn)來平均，此時又會產(chǎn)生明顯的變化。因此典型單元體是有一定體積，但是不能太大，因為太大掩蓋了多孔介質(zhì)的非均質(zhì)性。因此通過上述分析，我們可以通過利用典型體元V0來定義任意點P的空隙率n(P)，即： 或其中V0v為典型體元V0中的空隙。如果使二維面積上或線上取平均值，則稱為面空隙率或線空隙率。 或1.1.2 滲流的運動要素

8、1、地下水質(zhì)點實際流速、空隙平均流速和滲透流速在水力學(xué)的學(xué)習(xí)中知道，由于由于水具有一定的粘滯性，在流動時水和顆粒間有阻力和粘滯力，因此從微觀上看顆粒間的水的流速分布如圖1-1-2a所示，并不是相等的，那怎么才能得到典型體元上的平均流速呢？設(shè)空隙中地下水水質(zhì)點的流速矢量為u?，F(xiàn)在有2種取平均值的方法。A） 將u在以P為中心的典型體元空隙部分V0v上取平均值，其表達(dá)式為： 我們也知道在固體顆粒部分水的流速為0，因此積分的范圍可以用V0來代替V0v。我們通常把這樣平均的流速叫空隙平均流速，用u表示。B）將u在以P為中心的整個典型體元V0（包括空隙和固體兩個部分）上取平均值滲透流速（達(dá)西流速），用v（

9、p）每表示：這就是我們剛才講到的滲流時假設(shè)的流速，因此通常把這樣平均的流速叫滲透流速，用v表示。我們剛才提到了質(zhì)點流速u、空隙平均流速u和滲透流速v。這三者有什么關(guān)系呢？我們現(xiàn)在看某一個時刻一個多孔介質(zhì)放大的流速分布示意圖。地下水流速圖圖，紅線是質(zhì)點的實際流速u，藍(lán)線為空隙平均流速u，紫色為滲透流速v?，F(xiàn)在用空隙平均流速u和滲透流速v的相除可以得到因此空隙平均流速u和滲透流速v的的關(guān)系是我們知道在多孔介質(zhì)中，互不連通的孤立孔隙對地下水的儲存和運動都是沒有意義的，另外研究地下水運動時，一般情況下可以忽略結(jié)合水的運動，因此也可以忽略結(jié)合水所占據(jù)的空間。因此嚴(yán)格意義上n應(yīng)該是有效空隙度ne，去掉與地

10、下水運動沒有作用的空隙（結(jié)構(gòu)空隙、盲孔等）。2、壓強(qiáng)、水頭和水力坡度在中學(xué)我們學(xué)過壓強(qiáng)的有關(guān)概念，壓強(qiáng)是指單位面積上所受的壓力。它是一個平均的概念。通過剛才講過我們研究地下水流動不是研究它的微觀運動而是研究在一定范圍的各項運動要素的平均值。因此，地下水的壓強(qiáng)也是指典型體元宏觀水平上的平均壓強(qiáng)。用下式表示：與水力學(xué)一樣，為了研究方便，地下水的壓強(qiáng)的大小也用水柱的高度表示，因此宏觀水平的水頭H定義為圖1-1-4a潛水含水層中的壓強(qiáng)及水頭 圖1-1-4b潛水含水層中的壓強(qiáng)及水頭在水力學(xué)中我們知道總水頭應(yīng)表征滲流場中任意點具有的位置勢能，壓力勢能和動能三者之和。即由于在地下水運動中，地下水孔隙平均流速

11、很小（巖溶管道除外）因此相對前兩項小得多，一般情況下忽略不計。因此因此在在研究地下運動時，一般不去嚴(yán)格區(qū)分總水頭或測壓水頭，而通稱水頭，用H表示。由上面公式可以看出，水頭H隨著位置高度z而變，而位置高度又處決于基準(zhǔn)面的選取，那又如何選擇基準(zhǔn)面呢？這主要要考慮我們使用方便，一般來說，隔水底板水平的含水層，其基準(zhǔn)面要取在隔水底板處，其它情況通常以海平面為基準(zhǔn)。水頭值（H）的大小可以用水頭來表示。量綱為L,因而任意點的水頭值大小可以從基準(zhǔn)面到揭穿該點井孔的水位處的垂直距離來表示。圖1-1-5 水力坡度概念土在滲流場內(nèi)水頭值相等的點連成面（線）成為等水頭（面）線。即圖上的H1、H2、H3。沿著等水頭面

12、（線）的法線方向（n1、n2、n3）S水頭變化最大，沿法線方向的水頭變化稱為水力坡度。即 在各向同性巖層中，流線是垂直穿過等水頭面，與等水頭面的法線方向重合。因而水力坡度可以表示為： s是指流線方向（也就是等水頭面的法線方向）。在此條件下，水力坡度J表示水頭H沿流線方向的變化率（最大變化率）。那水力坡度J在空間直角坐標(biāo)系又如何來表示呢？表達(dá)為三個分量，即 1.2 滲流基本定律1.2.1線性滲流定律及滲透系數(shù)一、達(dá)西實驗（穩(wěn)定流）在水文地質(zhì)學(xué)基礎(chǔ)中我們做個這個實驗，下面我們來回顧一下：這個實驗由法國水力工程師亨利·達(dá)西(Henry Darcy)在裝有均質(zhì)砂土濾料的圓柱形筒中做了大量的滲

13、流實驗(圖1-2-1)，于l856年發(fā)現(xiàn)：滲透流速與水力坡度成正比，即線性滲流定律，這是滲流基本定律，后人稱之為達(dá)西定律，其形式為式中：Q為滲透流量；A為滲流斷面面積；H1、H2為l和2斷面上的測壓水頭值；L為1和2兩斷面間的距離；J為水力坡度，圓筒中滲流屬于均勻介質(zhì)一維流動，滲流段內(nèi)各點的水力坡度均相等；K為比例系數(shù)，稱為砂土的滲透系數(shù)(也稱水力傳導(dǎo)系數(shù))。達(dá)西定律的另一表達(dá)形式為式中：為滲流速度，又稱達(dá)西速度，量綱為L。滲流速度與水力坡度成正比，所以稱它為線性滲透定律，這也說明此時地下水的流動狀態(tài)為層流。若將達(dá)西定律用于二維或三維的地下水運動，則水力坡度不是常量，沿流向可以變大也可以變小。

14、剛才我們講過，它的微分形式；是沿流線任意點的水力坡度。在直角坐標(biāo)系可表示為二、不穩(wěn)定條件下滲流實驗達(dá)西實驗是在定水頭穩(wěn)定流條件下進(jìn)行的，那么在變水頭條件下的不穩(wěn)定滲流是否同樣滿足線性滲流定律呢?下面我們用如圖1-2-2這樣的裝置，來驗證了達(dá)西線性定律同樣適用于不穩(wěn)定滲流。圖1-2-3 變水頭滲流實驗的tlgH圖在某一時刻t時刻這一瞬間（按下暫停，按鈕），若該流動符合達(dá)西定律，則可以得到：式中：H(t)是隨t時刻的水頭差；l為砂柱的長度；A為砂柱的橫斷面積；Q(t)是t時刻的流量。那么在dt時段內(nèi)通過砂柱斷面的體積應(yīng)該是由水均衡可知： 式中的負(fù)號表示了隨著通過砂柱斷面水體積(V)的增加，水頭(H

15、)值在減小則 積分由上式可以看出，如果不穩(wěn)定滲流服從達(dá)西定律，則觀測數(shù)據(jù)(t，H)在t-lgH坐標(biāo)系中呈線性關(guān)系；否則呈非線性關(guān)系。反之，我們可根據(jù)實驗曲線t-lgH的形態(tài)來判斷滲流是否服從達(dá)西線性定律。如果這些點基本在一條直線上，表示遵循達(dá)西定律的一次實驗數(shù)據(jù)。如果落在一條曲線，那表示不遵循達(dá)西定律。另外也可以通過不穩(wěn)定滲流實驗來求得砂樣的滲透系數(shù)值。其滲透系數(shù)的大小就是這條直線的斜率。三、滲透系數(shù)在水基中我們就學(xué)過滲透系數(shù)的這個概念，知道滲透系數(shù)是一個極其重要的水文地質(zhì)參數(shù)。它反映巖層的透水性能，是地下水計算中一個不可缺少的指標(biāo)。那么滲透系數(shù)的大小取決于哪些因素呢?下面通過兩個簡單的理想模

16、型，以幫助我們從本質(zhì)上理解滲透系數(shù)的概念。在水力學(xué)中我們得到：在層流條件下，圓管中過水?dāng)嗝娴钠骄魉贋槭街校篸為圓管的內(nèi)直徑；為液體的粘滯動力系數(shù)，；為液體的密度；為液體的粘滯運動系數(shù)；為液體的重率。如果把空隙介質(zhì)的透水性理想化，看成由一系列細(xì)小的圓管組成而保留其孔隙率不變(圖1-2-4)，則沿圓管方向的滲透流速為 （1-2-10）地下水在裂隙巖層中的運動，可以利用兩平行板間液體的運動來對比。兩平行板間的寬度可視為理想化的裂隙巖層的裂隙寬度。當(dāng)液體作層流運動時，其平均流速為式中：B為兩平行板的寬度。如果將裂隙巖體中裂隙系統(tǒng)，想象成一系列等寬的、平直的裂隙所組成(圖1-2-5)，則沿裂隙組的交線

17、方向的滲透流速為 （1-2-12）如果將(1-2-10)式和(1-2-12)式與線性滲透定律進(jìn)行比較，得出下列結(jié)論：(1)上述兩式中，滲流速度和水力坡度都成正比關(guān)系。說明它們和達(dá)西定律的條件相同，都屬于層流狀態(tài)。(2)滲透系數(shù)K在孔隙巖層中相當(dāng)于，在裂隙巖層中相當(dāng)于。前面的因子表示透水巖層的空隙性，后面的因子表示液體的物理性質(zhì)。從而證明：滲透系數(shù)的大小不僅取決于巖石的空隙性，而且與滲透液體的物理性質(zhì)有關(guān)。若以k表示純粹由巖石空隙性所決定的滲透性能，則k稱為滲透度(也稱滲透率)， (或)。它是不隨液體的物理性質(zhì)而變化的。顯然，k的數(shù)值決定于空隙的大小(d和B)和空隙率(n)，這是對上述理想化了的

18、空隙介質(zhì)而言的，至于對實際的介質(zhì)，k還與空隙形狀、空隙的曲折性、連通性等有關(guān)。從上式可以看出：空隙的大小(d，B)對k起主要作用(因為它們是平方關(guān)系)，而空隙率起次要作用。實際資料表明：粘土的孔隙率一般為5060，但它的滲透率僅是粗砂土(孔隙率約為3040%)的00001000001。這充分說明了上述結(jié)論的正確性。當(dāng)然，這里還存在結(jié)合水幾乎不參與流動的問題。 (3)液體的物理性質(zhì)對滲透系數(shù)的大小有直接的影響。它與成正比，與粘滯動力系數(shù)成反比?？梢韵胂螅?0(例如在失重的人造衛(wèi)星上)，即使有水頭差，液體也不會運動；在其他條件相同的情況下，愈大則愈易流動。但若液體粘滯性愈大，則愈不易流動，例如油

19、不如水容易流動。對于地下水來講，和決定予水的礦化度、水溫和壓力等因素。其中溫度對粘滯性的影響較大。(四)線性定律的適用條件達(dá)西定律是我們水文學(xué)中這么重要的定律，那他有什么限制條件呢？、實驗證明，僅當(dāng)Re<10的條件下，通過多孔介質(zhì)的流體作層流運動，滲流才滿足達(dá)西定律，即滲透流速口和水力坡度t，呈線性關(guān)系；當(dāng)Re>10時，滲透流速和水力坡度呈現(xiàn)曲線關(guān)系，達(dá)西定律不再適用。、液體要處于層流狀態(tài)，也就是說液體流速要小于它的臨界流速vc, 對于孔隙巖層，應(yīng)用前蘇聯(lián)學(xué)者巴甫洛夫斯基公式：實際資料說明，自然界孔隙巖層中的地下水運動基本上屬于層流狀態(tài)。、對于裂隙巖層，羅米捷在裂隙模型中做了大量實

20、驗，得到判別裂隙巖層流動狀態(tài)的臨界水力坡度Jc、裂隙寬度及裂隙相對粗糙度間關(guān)系的經(jīng)驗公式為：裂隙含水介質(zhì)中一般情況下的地下水運動也是呈層流狀態(tài)。僅僅在寬裂隙和溶洞發(fā)育地區(qū)可以形成局部的紊流地段。、有些學(xué)者還研究了達(dá)西定律的下限問題。他們通過實驗發(fā)現(xiàn)某些粘性土存在一個起始水力坡度J0。若實際水力坡度J<J0時，滲流速度和水力坡度之間不呈線性關(guān)系；只有當(dāng)J>J0時，滲流才服從達(dá)西定律。1.2.2非線性滲流定律線性滲流定律必須符合上面提到的條件才能成立，否則是非線性的。對于非線性定律研究也很多，但具有代表意義的是：1901年，福希海默(Forchheimer)提出在大雷諾數(shù)(Re>

21、10)條件下，滲流速度和水力坡度之問的非線性關(guān)系式，即 式中：A和B都是系數(shù)，它們?nèi)Q于流動狀態(tài)，若滲流屬層流，則系數(shù)B=0，這與線性定律(v=KJ)的表達(dá)形式一致，此時；反之，若滲流屬紊流，系數(shù)A=0，。1912年，克拉斯諾波里斯基提出了當(dāng)?shù)叵滤饰闪鳡顟B(tài)時的滲流基本定律表示形式這表達(dá)式和福希海默提出的(1216)式呈紊流態(tài)時的表達(dá)式一致。1.2.3 各向異性巖層中地下水的運動規(guī)律一、滲流的分類穩(wěn)定流（各運動要素不隨時間變化）、按運動要素(v,p,H)是否隨時間變化非穩(wěn)定流（運動要素隨時間變化）層流、按地下水質(zhì)點運動狀態(tài)的混雜程度 過渡區(qū)流態(tài)紊流承壓流、按地下水有無自由表面： 無壓流 、 承

22、壓無壓流隔水層、按巖層透水性以及對地下水所起作用分 含水層 透水層（弱透水層）一維流（僅沿一個方向存在流速(圖1-2-8a)）、按滲流速度在空間上變化的特點 二維流： 二維流 (圖1-2-8b1)（沿兩個平面方向存在分流速）剖面二維流(圖1-2-8b2) 三維流（三個方向均存在分流速）(圖1-2-8c) （這好比我們在學(xué)校開運動會，100m跑人在一直線方向運動是一維流，400m跑人在平面上跑圈運動是二維流，400m障礙跑既在平面上跑圈，還要上下跳躍就是三維流。） 、按巖層滲透性隨空間和方向變化特點，分均質(zhì)各向同性、均質(zhì)各向異性、非均各向同性、非均質(zhì)各向異性。（一）、按巖土的滲透性是否隨方向變化

23、，將巖土分為各向同性和各向異性兩類。各向同性：滲透系數(shù)值與滲流方向無關(guān)?；蛘哒f，同一點在不同滲流方向上的滲透系數(shù)都相等，若用滲透系數(shù)圖表示，它是一個圓如圖1-2-8(a) 。因此可以認(rèn)為K是一個標(biāo)量。各向異性：滲透系數(shù)值隨滲流方向而變化，它可用滲透系數(shù)平方根橢圓來表示圖1-2-8(b)，在三維上來看是一個橢球體。因此可以認(rèn)為K是一個矢量，通常用標(biāo)量的形式來表示，其表達(dá)形式如下： （a） (b)圖1-2-8各向同性(a)及各向異性(b)滲透系數(shù)圖（二）、按巖土透水性在空間上是否變化分為均質(zhì)巖土和非均質(zhì)巖士。若空間各點同方向上滲透系數(shù)相等，稱為均質(zhì)巖土；否則為非均質(zhì)巖土。自然界中，根據(jù)巖土結(jié)構(gòu)的特

24、點可以存在：均質(zhì)各向同性巖土，如均勻砂或礫石土；均質(zhì)各向異性巖土，如均質(zhì)并發(fā)育垂直大孔隙的黃土層；非均質(zhì)各向同性巖土，如雙層結(jié)構(gòu)的土層；非均質(zhì)各向異性，裂隙、巖溶含水介質(zhì)大多屬于此類巖土二、各向異性介質(zhì)中地下水流的達(dá)西定律在前面我們得到達(dá)西定律的表達(dá)形式為： 或 在這里我們把它進(jìn)行推廣，在各向同性介質(zhì)中： 各向異性介質(zhì)中：式中：、和是滲透流速矢量v分別在x、y和z方向的分量；、和分別是水力坡度矢量J在x、y、z軸向上的分量；、···9個系數(shù)構(gòu)成的矩陣是各向異性介質(zhì)滲透系數(shù)張量K的分量。三、滲透系數(shù)張量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一個客觀存在的各向異性介質(zhì)，其滲透系數(shù)張量K的分量、&

25、#183;··會隨著坐標(biāo)軸x、y和z的取向而變化。這正如一個確定的矢量，如流速v的三個分量、會隨x、y和z軸的取向而變，但張量K和矢量v又是確定的。我們知道，轉(zhuǎn)動坐標(biāo)軸，當(dāng)某軸(例如x軸)的軸向與矢量v方向一致時，,且。同樣，當(dāng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)到某個合適的方向時，即滲透系數(shù)張量變換為對角線張量，即這時的x、y和z方向稱為各向異性介質(zhì)滲透系數(shù)的主方向。若、和互不相等，則介質(zhì)屬于三度各向異性介質(zhì)；若，則屬于二度各向異性介質(zhì)；若則屬于各向同性介質(zhì)。顯然，當(dāng)坐標(biāo)軸取向與各向異性介質(zhì)滲透系數(shù)主方向一致時，滲透流速v的三個分量為：滲透主軸方向與所選x,y,z方向不一致時，須進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。如何轉(zhuǎn)

26、換呢？以平面二維流問題為例：取o坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸與各向異性介質(zhì)主方向一致，該坐標(biāo)系稱局部坐標(biāo)系；xoy為整體坐標(biāo)系；前者對后者逆時針旋轉(zhuǎn)角(圖1-2-10)。圖1-2-10局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系圖依上面討論，對于xoy坐標(biāo)系，滲流速度分量 （1-2-25） 對于o坐標(biāo)系，滲透流速分量 （1-2-26）兩者存在下列關(guān)系 （1-2-27）設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣R則則(1-2-27)式可表為 把上式代入1-2-26得解得 （1-2-32）對比（1-2-25）式和（1-2-32）式得 （1-2-26）由此可以得出一個重要的結(jié)論，滲透系數(shù)張量分量所構(gòu)成的矩陣是一個對稱矩陣。1.3地下水通過非均質(zhì)巖層突變界面的折射現(xiàn)象

27、我們在中學(xué)中學(xué)過，光從一種介質(zhì)進(jìn)入到另外一種介質(zhì)中會在接交界面發(fā)生折射現(xiàn)象，地下水也有類似似的的現(xiàn)象，地下水在非均質(zhì)巖層中運動，當(dāng)水流通過滲透系數(shù)突變的分界面時，出現(xiàn)流線改變方向的現(xiàn)象，我們叫做地下水的折射現(xiàn)象。圖1-3-1地下水流線折射原理概念圖折射現(xiàn)象應(yīng)滿足下列的關(guān)系式：(1)當(dāng)，且10時，為什么流線穿過層界面時會發(fā)生折射？折射的根本原因是為了改變滲流斷面的面積，以滿足滲流連續(xù)性原理。(2)當(dāng)K1=K2，1= 2說明在均質(zhì)巖層中流線無折射現(xiàn)象。 (3)當(dāng)KlK2時，若，則亦等于0。；若也等于90°。也就是說，當(dāng)水流平行或垂直層界面時，流線不發(fā)生折射而仍然平行或垂直于層界面流動。因

28、此，只有當(dāng)時，才有折射現(xiàn)象產(chǎn)生。 (4)在層界面上發(fā)生的流線折射并不改變地下水流動的總方向，地下水流動的方向仍然受邊界條件和源匯項等的控制（上面幾點結(jié)合光線折射的現(xiàn)象，類比進(jìn)行講解） 1.4 流 網(wǎng)流網(wǎng)：滲流場內(nèi)由一系列等水頭線(面)和一系列流線(面)組成的網(wǎng)格。各向同性和各向異性巖層的流網(wǎng)特征不同，下面我們將分別敘述。1.4.1、各向同性巖層地下水的流網(wǎng)特征各向同性的巖層由于各方向的透水性(K值)均相等，所以流線(面)和等水頭線(面)必定互相垂直。由它們組成的網(wǎng)格是一系列矩形網(wǎng)格。若為非均質(zhì)各向同性巖層，流線通過層界面產(chǎn)生折射現(xiàn)象。一、流網(wǎng)的實用意義、流網(wǎng)能集中反映滲流場地下水運動的水動力特

29、征，因此對流網(wǎng)的分析可以了解地下水運動方向及補(bǔ)排關(guān)系；圖l-4-1的剖面流網(wǎng)表示了地下水與地表水之間的水力聯(lián)系。圖中aa是條分流線。在aa分流線以上，一側(cè)的地下水先流入河槽轉(zhuǎn)變?yōu)榈乇硭?，再由河槽流向另一?cè)，轉(zhuǎn)變?yōu)榈叵滤?。然而在aa分流線以下的地下水由河流的一側(cè)直接向河流的另一側(cè)流動。、定性確定水文地質(zhì)條件 河流與地下水的補(bǔ)、排關(guān)系； 等水頭線的疏密反映導(dǎo)水性的大小； 流線繞流時，遇弱透水層圖l-4-2(b) 流線匯集時，遇強(qiáng)透水層 圖l-4-2(a) 、流網(wǎng)的研究對水文地質(zhì)計算方法的選擇有重要意義；、流網(wǎng)特征的分析還可以確定滲流場的邊界性質(zhì)；若流線和已知邊界平行，說明沒有水流通過該邊界，為不透

30、水邊界圖1-4-3(a)；若流線和邊界相正交，該邊界為等水頭邊界圖1-4-3(b)；假如流線和邊界斜交，則它是屬于非等水頭的補(bǔ)給或排泄邊界圖1-4-3(c)。、精確的流網(wǎng)可用來計算滲流區(qū)的滲流速度、滲流量以及區(qū)內(nèi)任意點的水力坡度(第十一章介紹)。、不穩(wěn)定的流場，可以分別作出不同時間的流網(wǎng)圖，即可用來分析水文地質(zhì)條件的變化，也可求得各滲流要素隨時間的變化。 二、繪制流網(wǎng)的方法繪制流網(wǎng)的方法很多，大體上有以下三類：、利用野外實地觀測到滲流區(qū)各已知點的水位資料結(jié)合邊界條件來繪制；、可采用物理模擬或數(shù)值模擬方法獲得(這將在以后章節(jié)和后續(xù)課程中講解)；、有時為了分析滲流區(qū)的水文地質(zhì)條件，通常根據(jù)研究區(qū)已

31、知的補(bǔ)給、排泄及邊界特征來繪制。三、繪制信手流網(wǎng)圖步驟 、要確定補(bǔ)給區(qū)、排泄區(qū)，依此來確定地下水流向，即流線的起點和終點；、繪制肯定的流線與等水頭線根據(jù)滲流場邊界性質(zhì)來確定天然的流線與等水頭線，如隔水邊界、無入滲補(bǔ)給的潛水面一定是一條流線。河流、湖泊、海、 井孔邊界一定是一條等水頭線。、當(dāng)出現(xiàn)兩個以上排泄區(qū)時，依據(jù)概念分析滲流場內(nèi)由于源匯形成的分流面。、已經(jīng)流網(wǎng)的性質(zhì)繪制其他地方的流網(wǎng)。1.4.2、各向異性巖層地下水的流網(wǎng)特征在各向異性介質(zhì)中，流線和等水頭一般不再呈正交關(guān)系。本章小結(jié)：、假想一種水流能充滿整個多孔介質(zhì)(包括空隙和固體部分)的連續(xù)體；而且這種假想水流的阻力與實際水流在空隙中所受的

32、阻力相同；它的任意一點水頭H和流速矢量V等要素與實際水流在該點周圍一個小范圍內(nèi)（即典型體元）的平均值相等。這種假想水流便是宏觀水平的地下水流，我們稱之為“滲流”，它所占據(jù)的空間稱“滲流場”。、質(zhì)點流速u、空隙平均流速u和滲透流速v是三個不同的概念，其中空隙平均流速u和滲透流速v的關(guān)系是：、沿法線方向的水頭變化稱為水力坡度。即 在各向同性巖層中，流線是垂直穿過等水頭面，與等水頭面的法線方向重合。因而水力坡度可以表示為： 那水力坡度J在空間直角坐標(biāo)系表達(dá)為三個分量，即 、達(dá)西定律：穩(wěn)定流：非穩(wěn)定流：適用范圍：層流條件下。、滲透系數(shù)能反映巖層的透水性能，是地下水計算中一個不可缺少的指標(biāo)。那么滲透系數(shù)

33、的大小除了受到空隙介質(zhì)的影響外還受到液體物理性質(zhì)的影響。、按巖土的滲透性是否隨方向變化，將巖土分為各向同性和各向異性兩類， 按巖土透水性在空間上是否變化分為均質(zhì)巖土和非均質(zhì)巖士。 、在各項同性介質(zhì)中，K是個標(biāo)量，在各向異性介質(zhì)中K是一個張量。、地下水通過非均質(zhì)巖層突變界面的折射現(xiàn)象，折射現(xiàn)象滿足。、流網(wǎng)是滲流場內(nèi)由一系列等水頭線(面)和一系列流線(面)組成的網(wǎng)格。、各向同性的巖層流線(面)和等水頭線(面)必定互相垂直。由它們組成的網(wǎng)格是一系列矩形網(wǎng)格；在各向異性介質(zhì)中，流線和等水頭一般不再呈正交關(guān)系。第二章 地下水運動的基本微分方程及定解條件 本章概述：重點理解地下水彈性儲存的含義，掌握彈性釋

34、水系數(shù)和重力給水度的概念；掌握滲流的連續(xù)性方程，潛水、承壓水和越流含水層中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程的推導(dǎo)過程；熟悉定解條件，并能夠正確建立數(shù)學(xué)模型。重難介紹：了解地下水三維流動基本微分方程的基本形式以及幾種簡單條件下的流動微分方程本章學(xué)時數(shù)：4學(xué)時（180分鐘） 教學(xué)內(nèi)容：2.1 滲流連續(xù)性方程在上節(jié)課中，為了研究的方便，引入了“滲流”、“典型體”的概念，因此可以地下水的滲流看作是連續(xù)介質(zhì)，所以流體在運動過程中是連續(xù)充滿著它所據(jù)的空間。流體運動時的這種連續(xù)性，若用數(shù)學(xué)方程式來表示，那就是連續(xù)性方程。 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于流體運動的具體表現(xiàn)形式。 在滲流場中，各點的滲流

35、速度的大小、方向都可能不相同。為了反映流體運動中的質(zhì)量守恒，就需要建立以微分方程表達(dá)的連續(xù)性方程。為了反映含水層中地下水運動的普遍規(guī)律，我們選定在各向異性多孔介質(zhì)中建立地下水三維不穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程。2.1.1方程建立的假定條件 >>水是可壓縮的； >>忽略多孔介質(zhì)固體顆粒的壓縮性； >>多孔介質(zhì)骨架在垂直方向上是可壓縮的，但水平方向不可變形；>>為了方便，取直角坐標(biāo)系的x、y，z軸分別平行于各向異性巖層滲透系數(shù)的主方向。2.1.2 方程建立的過程我們在各向異性含水介質(zhì)中取一微小立方體(圖2-1-1)，以這個微小立方體的多孔介質(zhì)為均衡體，以t為

36、均衡時段，建立其質(zhì)量守恒方程，即滲流連續(xù)性方程。（1）t時間段內(nèi)，三個方向凈流入均衡體的質(zhì)量：x方向上，水凈流入均衡體的質(zhì)量：在t時段內(nèi)，沿x方向通過左側(cè)x斷面流入均衡體的質(zhì)量為 在同一t時段內(nèi)，沿x方向通過右側(cè)x+x斷面流出均衡體的質(zhì)量為那么，在t時段內(nèi)，沿x方向通過左右側(cè)斷面凈流入均衡體的質(zhì)量為同理：y方向上，水凈流入均衡體的質(zhì)量為同理：z 方向上，水凈流入均衡體的質(zhì)量為那么，在t時間段內(nèi)，三個方向凈流入均衡體的質(zhì)量為 （a）（2）t時間段內(nèi)，均衡體內(nèi)所儲存地下水質(zhì)量的變化m：當(dāng)?shù)叵滤疄椴环€(wěn)定流動時，m0，這個增量m將表現(xiàn)為均衡體內(nèi)所儲存的地下水質(zhì)量的變化，即 （b）（3）質(zhì)量守恒在連續(xù)流

37、動條件下，依據(jù)質(zhì)量守恒定律，從均衡體外部流入水的質(zhì)量等于均衡體內(nèi)部水的質(zhì)量變化量，即a、b兩式相等：方程兩端除以t：并取x0，y0，z0和t0 ，則有 2-1-1式2-1-1即為滲流的連續(xù)性方程。它用數(shù)學(xué)的形式表達(dá)了滲流區(qū)內(nèi)任何一個“局部”所必須滿足的質(zhì)量守恒定律，又稱為質(zhì)量守恒方程。2.1.3 小結(jié)連續(xù)性方程是研究地下水運動的基本方程。即使有時不直接采用式2-1-1，但建立有關(guān)關(guān)系式時，也必須應(yīng)用能反映質(zhì)量守恒原理的另一種形式的連續(xù)性方程來代替。包含vx、vy、vz和、n、z等變量的地下水活動連續(xù)性方程只是建立地下水運動基本微分方程的基礎(chǔ)之一。為建立以水頭H為因變量的地下水運動的基本微分方程

38、，要引入滲流基本定律，將vx、vy、vz轉(zhuǎn)化為以水頭H為變量的關(guān)系式。至于要解決、n、z與水頭或水壓P的關(guān)系時，要涉及水和多孔介質(zhì)的壓縮性問題。2.2 水及多孔介質(zhì)的壓縮方程2.2.1 地下水的壓縮方程在等溫條件下，水近似地符合彈性變形，依虎克定律，有 （2-2-3）式中：p水壓； V水的體積； 水的體積彈性壓縮（或膨脹系數(shù)），為正值，單位為1/MPa，的倒數(shù)為體積彈性模量E；E和值隨其溫度而變化，但變化不大，一般可視為常數(shù)。因為：其中：水的密度。所以： 所以： （2-2-6）式2-2-6表征與p的關(guān)系。對式2-2-3進(jìn)行積分 得： （2-2-4） 同理可得： （2-2-4）將2-2-4、4中

39、的指數(shù)項用馬克勞林公式展開 當(dāng)壓強(qiáng)變化不大時， 值很小，上兩式可近似取前兩項，得到水的壓縮狀態(tài)方程： （2-2-5） （2-2-5）式2-2-5、5表征V與p、與p的關(guān)系。2.2.2 多孔介質(zhì)（巖土）的壓縮方程假定多孔介質(zhì)變形符合虎克定律，于是有 （2-2-7）式中：作用在巖土骨架上的有效應(yīng)力； Vb巖土的體積； 巖土的體積彈性模量（或膨脹系數(shù)）。依 ，有 ，將其代入2-3-7，得 （ 2-2-8）而 ， 所以，式2-3-8可轉(zhuǎn)化為 （2-2-9）式中：e=Vv/Ve，為巖土的空隙比（無因次）。2.2.3 小結(jié)建立水和多孔介質(zhì)的壓縮狀態(tài)方程的目的，是為了解決、z三者與水頭H或水壓p的關(guān)系，為下

40、一步建立地下水運動的基本微分方程奠定了基礎(chǔ)。 2.3 承壓水運動的基本微分方程 前述建立的滲流連續(xù)方程、水與多孔介質(zhì)的壓縮方程、達(dá)西定律，為建立以水頭為因變量的滲流基本微分方程作了必要的準(zhǔn)備。2.3.1 方程推導(dǎo) 從滲流的連續(xù)性方程2-1-1為基礎(chǔ)，推導(dǎo)承壓水非穩(wěn)定運動的基本微分方程。（1）式2-1-1的右端改寫由于承壓含水層的側(cè)向受到限制，可假設(shè)x、y為常量，僅考慮垂直方向上的壓縮。于是只有水的密度、孔隙度n和單元體高度z三個量隨壓力變化。式2-1-1的右端可改寫為是多孔介質(zhì)均衡體中固體部分的厚度。根據(jù)前述假定，固體顆粒部分不可壓縮，即多孔介質(zhì)單元體中的固體厚度不隨時間變化。也就是說，雖然z

41、和e雖然隨時間都可發(fā)生變化，但不發(fā)生變化。這樣，式2-1-1的右端可進(jìn)一步改寫為 （2-3-1）把式2-2-6、9代入式2-3-1得 （2-3-2）（2）式2-1-1的左端改寫把式1-2-24 代入式2-1-1左端得 （2-3-3） 而由于一般條件下 所以： （2-3-4-1）同理 （2-3-4-2） （2-3-4-3）把式2-3-4代式2-3-3中（3）式2-1-1的改寫把上式和式2-3-2 代入式2-1-1 得 上式兩端同除以xyz，得 （2-3-5） 而 ，則式2-3-5可表示為 （2-3-7）式2-3-7是各向異性承壓含水層中地下水三維不穩(wěn)定流的基本微分方程。它表示在達(dá)西流條件下，單位

42、體積、單位時間的水均衡關(guān)系。2.3.2 us的物理意義 為了討論水頭降低時含水層釋出水的特征，我們?nèi)挝惑w積的含水層（面積為1m2、厚度為1m），考察當(dāng)水頭下降H=1m時釋放水量。此時有效應(yīng)力增加了由式2-2-8 可知，相應(yīng)的含水層的體積變化 2-3-8 可見, 的物理意義是:當(dāng)水頭下降一個單位時,由于空隙介質(zhì)受壓縮(厚度變薄,空隙率變小),從單位體積空隙介質(zhì)中所釋放出的水量.同時，水壓變化由式2-2-3 可知，相應(yīng)的水的體積變化 可見, 表示單位空隙介質(zhì)體積中,當(dāng)水頭下降一個單位時,由于水的膨脹釋放出來的水量(體積).那么二者之和為 2-3-9綜上所述，us表示：當(dāng)水頭下降一個單位時，從單位

43、體積空隙介質(zhì)中釋放的水量(體積)，其量綱為L-1。2.3.3 討論 對于解析方法求解式2-3-7，是非常難以求解的，因而往往引入均質(zhì)含水層的條件，并忽略含水介質(zhì)在壓縮過程所引起介質(zhì)滲透性的變化，于是式2-3-7可寫為 （2-3-10）對于水平方向滲透系數(shù)為各向同性，而垂向與水平向間為各向異性，即那么式2-3-10可改寫為 （2-3-11）對于軸對稱流動問題，采用柱坐標(biāo)系更方便，式2-3-11可改寫為 （2-3-12）對于等厚度的承壓含水層，若屬于平面二維流，則那么，式2-3-10可改寫為 （2-3-13）若記 ， 和那么式2-3-13可改寫為 （2-3-16）同樣，由式2-3-12可得極坐標(biāo)系下均質(zhì)、等厚、各向同性承壓含水層軸對稱流的基本微分方程 （2-3-17）或記 （2-3-18）則 （2-3-19）如果我們研究的是穩(wěn)定流，即 ，則： （2-3-20）考慮源匯項： 由式2-3-12可得柱坐標(biāo)系下均質(zhì)、水平與垂向各向異性、軸對稱流的基