【精品課件】131函數的單調性與導數 (2)

1、1.3.1 函數的單調性與導數1.3 導數在研究函數中的應用oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（在（ ，0）和）和（0, ）上分別）上分別是減函數。是減函數。但在定義域上不是但在定義域上不是減函數。減函數。在（在（ ，1）上是減函數，在上是減函數，在（1, ）上是）上是增函數。增函數。在在( ,)上是增函數上是增函數畫出下列函數的圖像，并根據圖像指出每個函數的單調區(qū)間畫出下列函數的圖像，并根據圖像指出每個函數的單調區(qū)間函數函數 y = f (x) 在給定區(qū)間在給定區(qū)間 G 上，當上，當 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 時時yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x

2、1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在G 上是增函數上是增函數；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在G 上是減函數上是減函數；若若 f(x) 在在G上是增函數或減函數，上是增函數或減函數，則則 f(x) 在在G上有單調性。上有單調性。G 稱為稱為單調區(qū)間單調區(qū)間G = ( a , b )復習與引入復習與引入:(1)函數的單調性也叫函數的增減性；函數的單調性也叫函數的增減性； (2)函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，它是個局部概函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，它是個局部概 念。這個區(qū)間是定義域的子集。念。這個區(qū)間是定義域的子集。(3

3、)單調區(qū)間：針對自變量單調區(qū)間：針對自變量x而言的。而言的。 若函數在此區(qū)間上是增函數，則為單調遞增若函數在此區(qū)間上是增函數，則為單調遞增區(qū)區(qū)間；間； 若函數在此區(qū)間上是減函數，則為單調遞減區(qū)間。若函數在此區(qū)間上是減函數，則為單調遞減區(qū)間。 以前以前,我們用定義來判斷函數的單調性我們用定義來判斷函數的單調性.在假設在假設x1x2的的前提下前提下,比較比較f(x1)0f (x)0如果在某個區(qū)間內恒有如果在某個區(qū)間內恒有 ,則則 為常數為常數.0)( xf)(xf一般地，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系：一般地，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系：在某個區(qū)間在某個區(qū)間 內，如果內，如果)

4、( xfy 0)( xf，那么，那么0)( xf()ab，函數函數 在這個區(qū)間內單調遞增；如果在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數，那么函數 在這個區(qū)間內在這個區(qū)間內單調遞減。單調遞減。)( xfy 例例1 已知導函數已知導函數 的下列信息的下列信息:當當1 x 4 , 或或 x 1時時,當當 x = 4 , 或或 x = 1時時,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf試畫出函數試畫出函數 的圖象的大致形狀的圖象的大致形狀.)(xf解解: 當當1 x 4 , 或或 x 1時時, 可知可知 在此區(qū)在此區(qū)間內單調遞減間內單調遞減;, 0)( xf)(xf 當當 x = 4 ,

5、或或 x = 1時時, . 0)( xf 綜上綜上, 函數函數 圖象圖象的大致形狀如右圖所示的大致形狀如右圖所示.)(xfxyO14臨界點臨界點例例2 判斷下列函數的單調性判斷下列函數的單調性, 并求出單調區(qū)間并求出單調區(qū)間:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因為因為 , 所以所以3( )3f xxx. 0) 1(333)(22xxxf因此因此, 函數函數 在在 上單調遞增上單調遞增.xxxf3)(3Rx(2) 因為因為 , 所以所以2( )23f xxx).1(222

6、)(xxxf當當 , 即即 時時, 函數函數 單調遞增單調遞增;0)( xf1x32)(2xxxf當當 , 即即 時時, 函數函數 單調遞減單調遞減.0)( xf1x32)(2xxxf例例2 判斷下列函數的單調性判斷下列函數的單調性, 并求出單調區(qū)間并求出單調區(qū)間:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因為因為 , 所以所以( )sin,(0, )f xxx x. 01cos)(xxf因此因此, 函數函數 在在 上單調遞減上單調遞減.xxxfsin)(), 0(x(4) 因

7、為因為 , 所以所以32( )23241f xxxx 當當 , 即即 時時, 函函數數 單調遞增單調遞增;0)( xf21712171xx或)(xf 當當 , 即即 時時, 函數函數 單調遞減單調遞減.0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf 例例3 3 如圖如圖, , 水以常速水以常速( (即單位時間內注入水的體積相即單位時間內注入水的體積相同同) )注入下面四種底面積相同的容器中注入下面四種底面積相同的容器中, , 請分別找出與各容請分別找出與各容器對應的水的高度器對應的水的高度h h與時間與時間t t的函數關系圖象的函數關系圖象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C

8、)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 一般地一般地, , 如果一個函數在某一范圍內導數如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大的絕對值較大, , 那么函數在這個范圍內變化得那么函數在這個范圍內變化得快快, , 這時這時, , 函數的圖象就比較函數的圖象就比較“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函數的圖象就函數的圖象就“平緩平緩”一些一些. . 如圖如圖, ,函數函數 在在 或或 內的圖內的圖象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 內的圖象內的圖象“平平緩緩”. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a( )yf xyxo

9、ba利用導數討論函數單調的步驟利用導數討論函數單調的步驟: :(2)(2)求導數求導數).(xf (3)(3)解不等式組解不等式組 得得f(xf(x) )的單調遞增區(qū)間的單調遞增區(qū)間; ; 解不等式組解不等式組 得得f(xf(x) )的單調遞減區(qū)間的單調遞減區(qū)間. .f f( (x x) ) 0 0 x xD D=()yfx(1)(1)求求 的定義域的定義域D D說明說明: :函數的單調區(qū)間必定是它的定義域函數的單調區(qū)間必定是它的定義域的子區(qū)間的子區(qū)間, ,故求函數的單調區(qū)間一定首先故求函數的單調區(qū)間一定首先要確定函數的定義域要確定函數的定義域, ,在求出使導數的值在求出使導數的值為正或負的為

10、正或負的x x的范圍時的范圍時, ,要與定義域求兩者要與定義域求兩者的交集的交集. .練習練習1.判斷下列函數的單調性判斷下列函數的單調性, 并求出單調區(qū)間并求出單調區(qū)間:;)( )2( ; 42)( ) 1 (2xexfxxxfx.)( )4( ;3)( )3(233xxxxfxxxf練習練習2.函數函數 的圖象如圖所示的圖象如圖所示, 試畫出導函數試畫出導函數 圖象圖象的大致形狀的大致形狀)( xfy )( xf 練習練習3.討論二次函數討論二次函數 的單調區(qū)間的單調區(qū)間.)0()(2acbxaxxf解解: 2( )(0)f xaxbxc a( )2.fxaxb0 ) 1 (a 由由 ,

11、得得 , 即函數即函數 的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間是是 ; 相應地相應地, 函數的遞減區(qū)間是函數的遞減區(qū)間是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0 )2(a 由由 , 得得 , 即函數即函數 的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間是是 ; 相應地相應地, 函數的遞減區(qū)間是函數的遞減區(qū)間是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab練習練習4.求證求證: 函數函數 在在 內是減函數內是減函數.762)(23xxxf解解: 32( )267f xxx2( )612 .fxxx)2 , 0( 由由 , 解得解得 , 所以函數所以函數 的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是 , 即函數即函數 在在 內是減內是減函數

12、函數.0)( xf20 x)(xf)2 , 0()2 , 0()(xf例例4.設函數設函數 ,其中其中a0,求求a的的取值范圍取值范圍,使使f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,+ )是單調函數是單調函數.2( )1f xxax 2( )1xf xax20,),0,1)1xxx 解解:故當故當a1時時,f (x)0恒成立恒成立,f(x)在在0,+)上遞減上遞減.又當又當0a0 B.-1a1 D.0a133(,)33Aa()0只是函只是函數數f(x)在該區(qū)間在該區(qū)間 上為增上為增(減減)函數的充分不函數的充分不必要條件必要條件.( )fx6.利用導數的符號來判斷函數的單調區(qū)間利用導數的符號來判斷函數的單調區(qū)間,是導是導數幾何數幾何 意義在研究曲線變化規(guī)律的一個應用意義在研究曲線變化規(guī)律的一個應用,它充分體現了數形結合的思想它充分體現了數形結合的思想.5.若函數若函數f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)上具有單調性上具有單調性.則當函則當函數數f(x) 時在閉區(qū)間時在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù),那么單調區(qū)間可那么單調區(qū)間可以擴大到閉區(qū)間以擴大到閉區(qū)間a,b上上.4