高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項和 第2課時 等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修5

1、第2課時等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標：1.掌握an與sn的關(guān)系并會應(yīng)用(難點).2.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用(重點).3.會求等差數(shù)列前n項和的最值(重點).4.會用裂項相消法求和(易錯點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1sn與an的關(guān)系an2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an中，其前n項和為sn，則an中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列sn，s2nsn，s3ns2n，s4ns3n，構(gòu)成等差數(shù)列(2)數(shù)列an是等差數(shù)列snan2bn(a，b為常數(shù))思考：如果an是等差數(shù)列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列嗎？提示(a11a12a20)(a1a

2、2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，類似可得(a21a22a30)(a11a12 a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列3等差數(shù)列前n項和sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得sn的最小值(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得sn的最大值特別地，若a1>0，d>0，則s1是sn的最小值；若a1<0，d<0，則s1是sn的最大值思考：我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d0時，等差數(shù)列前n項和是關(guān)于

3、n的二次函數(shù)snn2n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的sn何時有最大值？何時有最小值？提示由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1<0，d>0時，sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時，sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，sn取到最值基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)若sn為等差數(shù)列an的前n項和，則數(shù)列也是等差數(shù)列()(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項之和最大()(3)在等差數(shù)列中，sn是其前n項和，則有s2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2在項數(shù)為2n1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n

4、等于()a9b10c11 d12b，.n10.故選b項3等差數(shù)列an中，s24，s49，則s6_.15由s2，s4s2，s6s4成等差數(shù)列得2(s4s2)s2(s6s4)解得s615.4已知數(shù)列an的通項公式是an2n48，則sn取得最小值時，n為_.【導(dǎo)學(xué)號：91432176】23或24由an0即2n480得n24.所有負項的和最小，即n23或24.合 作 探 究·攻 重 難等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列an的前3m項的和s3m；(2)兩個等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為sn和tn，已知，求的值解(1)在等差數(shù)列中，sm，s2

5、msm，s3ms2m成等差數(shù)列30,70，s3m100成等差數(shù)列2×7030(s3m100)，s3m210.(2).規(guī)律方法等差數(shù)列前n項和計算的幾種思維方法(1)整體思路：利用公式sn，設(shè)法求出整體a1an，再代入求解.( (2)待定系數(shù)法：利用sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè)snan2bn(a0)，列出方程組求出a，b即可，或利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)anb(a0)進行計算.跟蹤訓(xùn)練1(1)等差數(shù)列an中，a2a7a1224，則s13_.【導(dǎo)學(xué)號：91432177】(2)等差數(shù)列an的通項公式是an2n1，其前n項和為sn，則數(shù)列的前10項和為_(1)104(2)75(1)由a2a7a

6、1224，得a78，所以s13×13a7·13104.(2)因為an2n1，所以a13.所以snn22n，所以n2，所以是公差為1，首項為3的等差數(shù)列，所以前10項和為3×10×175.等差數(shù)列前n項和sn的函數(shù)特征探究問題1將首項為a12，公差d3的等差數(shù)列的前n項和看作關(guān)于n的函數(shù)，那么這個函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征？如果一個數(shù)列的前n項和為sn3n2n，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎？提示：首項為2，公差為3的等差數(shù)列的前n項和為sn2nn2n，顯然sn是關(guān)于n的二次型函數(shù)且常數(shù)項為0，二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為a1；如果一個數(shù)列的

7、前n項和為sn3n2n，那么當(dāng)n1時，s1a14.當(dāng)n2時，ansnsn16n2，則該數(shù)列的通項公式為an6n2，所以該數(shù)列為等差數(shù)列，事實上對于任何一個等差數(shù)列的前n項和都是關(guān)于n的二次型函數(shù)，且常數(shù)項為0，反之，一個數(shù)列的前n項和具備上述特征，該數(shù)列一定是等差數(shù)列2已知一個數(shù)列an的前n項和為snn25n，試畫出sn關(guān)于n的函數(shù)圖象你能說明數(shù)列an的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項和有最值嗎？提示：snn25n2，它的圖象是分布在函數(shù)yx25x的圖象上的離散的點，由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開始下降說明了an前n項為負數(shù)由sn的圖象可知，sn有最小值且當(dāng)n2或3時，sn最小，最小值為6

8、，即數(shù)列an前2項或前3項和最小數(shù)列an的前n項和sn33nn2，(1)求an的通項公式；(2)問an的前多少項和最大；(3)設(shè)bn|an|，求數(shù)列bn的前n項和sn.【導(dǎo)學(xué)號：91432178】思路探究：(1)利用sn與an的關(guān)系求通項，也可由sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項(2)利用sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解(3)利用an判斷哪些項是正數(shù)，哪些項是負數(shù)，再求解，也可以利用sn的函數(shù)特征判斷項的正負求解解(1)法一：(公式法)當(dāng)n2時，ansnsn1342n， 又當(dāng)n1時，a1s132342×1滿足an342n.故an的通項公式為an342n.

9、法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由snn233n知sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次型函數(shù)，所以an是等差數(shù)列，由sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故數(shù)列an的前17項大于或等于零又a170，故數(shù)列an的前16項或前17項的和最大法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由yx233x的對稱軸為x.距離最近的整數(shù)為16,17.由snn233n的圖象可知：當(dāng)n17時，an0，當(dāng)n18時，an<0，故數(shù)列an的前16項或前17項的和最大(3)由(2)知，當(dāng)n17時，an0；當(dāng)n18時，an<0.所以當(dāng)n17時，snb1b2bn|a1|a2|an|a

10、1a2ansn33nn2.當(dāng)n18時，sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)s17(sns17)2s17snn233n544.故sn母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“sn33nn2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列an中a125，s17s9”求其前n項和sn的最大值解法一：s9s17，a125，9×25d17×25d，解得d2.sn25n×(2)n226n(n13)2169.當(dāng)n13時，sn有最大值169.法二：同法一，求出公差d2.an25(n1)×(2)2n27.a125>0，由得又nn*，當(dāng)n13時，sn有最大值16

11、9.法三：s9s17，a10a11a170.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13a140.a1>0，d<0.a13>0，a14<0.當(dāng)n13時，sn有最大值169.法四：設(shè)snan2bn.s9s17，二次函數(shù)對稱軸為x13，且開口方向向下，當(dāng)n13時，sn取得最大值169.2(變條件)將例題中的條件“sn33nn2”變?yōu)椤皊nn”求數(shù)列|an|的前n項和tn.解a1s1×12×1101.當(dāng)n2時，ansnsn13n104.n1也適合上式，數(shù)列an的通項公式為an3n104(nn*)由an3n1040，得n34.7.即當(dāng)n34時，an>0；當(dāng)n35時，an&

12、lt;0.(1)當(dāng)n34時，tn|a1|a2|an|a1a2ansnn2n；(2)當(dāng)n35時，tn|a1|a2|a34|a35|an|(a1a2a34)(a35a36an)2(a1a2a34)(a1a2an)2s34sn2n2n3 502.故tn規(guī)律方法1在等差數(shù)列中，求sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值2尋求正、負項分界點的方法：(1)尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找(2)利用到y(tǒng)ax2bx(a0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱

13、的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負項的分界點3求解數(shù)列|an|的前n項和，應(yīng)先判斷an的各項的正負，然后去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.裂項相消法求和等差數(shù)列an中，a13，公差d2，sn為前n項和，求.思路探究：根據(jù)an為等差數(shù)列求出其前n項和，根據(jù)的通項特征，利用裂項相消法求和解等差數(shù)列an的首項a13，公差d2，前n項和snna1d3n×2n22n(nn*)，.規(guī)律方法裂項相消法求數(shù)列的前n項和的基本思想是設(shè)法將數(shù)列的每一項拆成兩項(裂項)之差，并使它們在相加時除了首尾各有一項或少數(shù)幾項外，其余各項都能前后相消，進而求數(shù)列的前n項和.跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的通項公式為an，求數(shù)

14、列an的前n項和sn.【導(dǎo)學(xué)號：91432179】解an，sn，sn.當(dāng) 堂 達 標·固 雙 基1已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為()a5b4c3 d2c由題知s偶s奇5dd3.2已知sn是等差數(shù)列an的前n項和，且s6>s7>s5，有下列四個命題：d<0；s11>0；s12<0；數(shù)列sn中的最大項為s11，其中正確命題的序號是()【導(dǎo)學(xué)號：91432180】a bc dbs6>s7，a7<0，s7>s5，a6a7>0，a6>0，d<0，正確又s11(a1a11)11a6>

15、;0，正確s12(a1a12)6(a6a7)>0，不正確sn中最大項為s6，不正確故正確的是.3已知等差數(shù)列an中，|a5|a9|，公差d>0，則使得前n項和sn取得最小值的正整數(shù)n的值是_6或7由|a5|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故s6s7且最小4數(shù)列an的通項公式an，其前n項和sn9，則n_.99an，sn(1)()()19.n99.5已知數(shù)列an的前n項和公式為snn230n.(1)求數(shù)列 an的通項公式an；(2)求sn的最小值及對應(yīng)的n值.【導(dǎo)學(xué)號：91432181】解(1)snn230n，當(dāng)n1時，a1s129.當(dāng)n2時，ansnsn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也適合，an2n31，nn*.(2)法一：snn230n2225當(dāng)n15時，sn最小，且最小值為s15225.法二：an2n31，a1<a2<<