線性代數(shù)課件：第4章 向量空間新

1、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四章第四章 向量空間向量空間4.1 向量及其線性組合向量及其線性組合 4.2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 4.3 向量組的秩向量組的秩 4.4 矩陣的秩矩陣的秩 4.5 向量空間向量空間 4.6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.1 4.1 向量空間向量空間引例引例:幾何中的向量幾何中的向量 把有方向的線段叫做向量),(zyxPO向量OP 由一個(gè)三元數(shù)組( , , )x y z唯一確定。向量的加法向量的加法(平行四邊形法則) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘 00建立坐標(biāo)系的目的就是把向量的運(yùn)算

2、轉(zhuǎn)化為數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算.),(,),(222111zyxzyx ),(212121zzyyxx ),(111kzkykxk 推廣推廣：我們把三維中的向量推廣到n維，得到n維空間中的向量 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 naaa21),(21naaa或或稱為一個(gè)n維行向量或n維列向量，其中ia稱為該向量的第i個(gè)分量。行向量和列向量統(tǒng)稱為向量。 分量全為實(shí)數(shù)(復(fù)數(shù))的向量稱為實(shí)(復(fù))向量，n維實(shí)(復(fù))向量的全體記為()nnR C無特殊說明，以后所指向量都為實(shí)列向量 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.1.1 稱單位矩陣的列向量12100010,001neee 為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)向量

3、。設(shè)1212,Tm nnmA (1)(2)(3)jjTTiiTijijAee Ae Aea利用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)向量運(yùn)算往往非常方便，見下例利用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)向量運(yùn)算往往非常方便，見下例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.1.2 4.1.2 設(shè)0101010A證明40A 證證 把 按列分塊為A1230,Ae e e則21231231231121214110, , , 0, 0,0, , 0, , , 0, 0, 0,0,0, 0,0,0, 0, 0, 0, 0,0,0,0 0AAe e eA Ae Ae Aee eAAe e eA A Ae AeeAAeA A A Ae 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若干

4、同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合叫 做向量組向量組: mn 的矩陣 A 全體列向量是含 n 個(gè) m 維列向量的向量組, 稱為 ; 全體行向量是含 m 個(gè) n 維的行向量組,為 . mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa21222211121112nnT1T2T列向量組列向量組行向量組行向量組 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量是矩陣的特例，規(guī)定向量的相等、加、減、數(shù)乘運(yùn)算按矩陣的相應(yīng)運(yùn)算。 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算。在在R Rn n中的向量滿足以下中的向量滿足以下8 8條規(guī)律：條規(guī)律： 1 )8(0)()4()()

5、()7(0)3()()6()()()2()(5()1(kllkkkklklk其中 都是n維向量，k、l為實(shí)數(shù)。, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于向量組對于向量組 , 表達(dá)式表達(dá)式nA ,:21)(2211Rkkkkinn nn 2211又稱向量 可由向量組 A . nn 2121,通常寫成為A的一個(gè)線性組合線性組合， 為其組合系數(shù)。組合系數(shù)。如果如果 是是 的一個(gè)線性組合，即存在的一個(gè)線性組合，即存在 使得使得12,nk kk12,n A 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.1.34.1.312342100050100,3001000001eeee 有210005010025303001

6、000001 1234=2530eeee 即即所以，稱所以，稱 是是 的線性組合，的線性組合， 1234,e e e e 1234,e e e e或或 可以由可以由 線性表示。線性表示。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1零向量可由任一組向量線性表示。零向量可由任一組向量線性表示。120000m中每個(gè)向量都可由向量組本身中每個(gè)向量都可由向量組本身m,212 2向量組向量組miiii00100111線性表示，線性表示，(1,2,)im 注意注意Tnaaa,213 3任一任一n n元向量元向量都可由都可由n n元單位向量組元單位向量組線性表示，即線性表示，即 121,0,0,0,1,0,TTee

7、 ,0,0,1,Tne 1 122nna ea ea e 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 想一想想一想12321511253,33126411131253 123問 是否可以由，線性表示問 是否可以由，線性表示 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n n元線性方程組元線性方程組 可以用向量形式表示為可以用向量形式表示為a11x1a21x1 am1x1a12x2a22x2 am2x2 a1nxna2nxn amnxnb1b2 bm (1)其中其中對應(yīng)齊次方程組可用向量形式表示為對應(yīng)齊次方程組可用向量形式表示為02211 nnxxx , , ， ， 121111maaa 222122maaa mnnnna

8、aa21 12mbbbb1122nnxxxb線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量向量 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示 nA ,:21 nn2211存在數(shù)存在數(shù) 使使n ,21即即 ,21nAAx 有解有解注意注意:符號混用符號混用另外另外, 如果解唯一如果解唯一, 則表示方法是唯一的則表示方法是唯一的. 如果如果 (按定義按定義)(轉(zhuǎn)換為方程組轉(zhuǎn)換為方程組) 方程組方程組 nnxxx2211 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.1.412321511253,33126411131253 123問 是否可以由，線性表示問 是否可以由，線性表示解解

9、 設(shè)設(shè)123123(,),(,)TAAX Xx xx 123(,|)A 151225313 1263111342531 1 02/3 1/30 1 1/31/30 0000 0000 000B 初等行變換初等行變換 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )( )2r Ar A故故123可以由，線性表示可以由，線性表示，且表示方法有無窮多種。，且表示方法有無窮多種。方程組方程組 與矩陣與矩陣B相對應(yīng)的同解方程組為相對應(yīng)的同解方程組為AX 123313113323xxxx 312331113323xcxcxcxc 令令則則12111233333()()()cRccc 13當(dāng)當(dāng)c=1時(shí)，時(shí)，1232 當(dāng)

10、當(dāng)c=-2時(shí)，時(shí)， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解,321 A記記 不能由不能由 A 線性表示線性表示; 能由能由 A 唯一表示唯一表示; 能由能由 A 有有無窮多種表示無窮多種表示, 并求所有表示方法并求所有表示方法. ,)1 , 1 ,1(1T ,)1 ,1 , 1(2T 設(shè)向量組設(shè)向量組 A:問問 為何值時(shí)為何值時(shí),), 3 , 0(T ,)1 , 1 , 1(3T 向量向量 只需討論只需討論 Ax解的情況解的情況.具體解方程組過程略。具體解方程組過程略。0 時(shí)時(shí),方程組無解方程組無解, 不能由不能由 A 表示表示. 30 且且時(shí)時(shí), 方程組有唯一解方程組有唯一解, 可由可由 A 唯

11、一表示唯一表示. 例例4.1.54.1.5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 時(shí)時(shí), 方程組有無窮多解方程組有無窮多解, 可由可由 A 無窮多種表示無窮多種表示. 通解為通解為所有表示方法所有表示方法:321)2()1( kkk 其中其中 k 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù).即即 211121)2(112)1(330kkk 021111321kxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果向量組 中的每一個(gè)向量都可以被12,q 向量組 線性表示，即存在常數(shù)12,p ( 1 , , ,1 , , )ijc ip jq則稱向量組 可由向量組 線性表示。線性表示。如果兩個(gè)向量組可以相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等

12、價(jià)等價(jià)。記作12,q12,p 1212,pq 利用矩陣的分塊乘法(2)又可以寫成如下矩陣乘法形式(2)11111221212122221122ppppqqqpqpccccccccc 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1112121222121212 , ,qqqppppqccccccccc 記1212,pqijp qABCc 則矩陣B的列向量組可以由矩陣A的列向量組線性表示就是存在矩陣C使得B=AC。由此我們得到下面的結(jié)論 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 矩陣矩陣B的列向量組可由矩陣的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示的的列向量組線性表示的充要條件是矩陣方程充要條件是矩陣方程AX=B有解。有

13、解。2. 矩陣矩陣B的行向量組可由矩陣的行向量組可由矩陣A的行向量組線性表示的的行向量組線性表示的充要條件是矩陣方程充要條件是矩陣方程XA=B有解。有解。 行等價(jià)矩陣的行向量組等價(jià)行等價(jià)矩陣的行向量組等價(jià) 證： 設(shè)A與B行等價(jià)矩陣，即 ，也就是存在可逆矩陣P使得B=PA，從而 ，由定理4.1.1可知，B的行向量組可由A的行向量組線性表示，A的行向量組可以由B的行向量組線性表示，所以A和B的行向量組等價(jià)。rAB 1AP B 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.1.7矩陣A用初等表換化成最簡階梯矩陣B如下103121031 2130210110 1217250001 042140100000 0

14、rAB 12341,0,3,1,2, 1,3,0, 2,1,2,1,7,2,5,4,2,14,0,10TTTT 1231,0,3,1,2,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0TTT記A的行向量組為 B的非零行向量組為則向量組 與行向量組 等價(jià)，即列向量組 與列向量組 等價(jià)1234,TTTT123,TTT1234, 123, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.2 4.2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性看看三維空間中的向量(如圖)1 3 2 4 41122kk123, 三個(gè)向量共面 三個(gè)向量無法相互線性表示，三個(gè)向量異面考察線性方程組123123123123 2522 512 2355 5

15、5xxxxxxxxxxxx (4.2.1) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面4個(gè)方程有如下關(guān)系：=-9 +4 = 3 5 - 1 5123123 2522 512xxxxxx這說明方程組中第和第個(gè)方程是多余的多余的, 可以去掉. 即方程組與下面方程組是同解的?？疾煸匠探M中增廣矩陣的行向量組TTTT1234(1,1,2,5),(2,2,5,12),( 1, 1,2,3),(5,5, 5, 5) (4.2.2) 知 31294 4123515 即 可以由 線性表示。 34, 12, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 如果如果1212(1,0) ,(0,1) ,TTeee e問問能否找到能否

16、找到一組不全為零的數(shù)一組不全為零的數(shù)121 122,0?k kk ek e使得使得02211 mmkkk mkkk,21如果存在不全為零的數(shù)如果存在不全為零的數(shù)使得使得則稱該向量組則稱該向量組線性相關(guān)線性相關(guān). 否則否則,如果設(shè)如果設(shè)02211 mmkkk 只能推出只能推出021 mkkk則稱該向量組則稱該向量組線性無關(guān)線性無關(guān). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 下面三個(gè)命題等價(jià)下面三個(gè)命題等價(jià)12(1),n向量組線性相關(guān)； 12(2),nkk存在一組不全為零的數(shù)k使得1 12 2n nkkk 0(3)齊次線性方程組1 122=0nnxxx有非零解 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論4.2.

17、1 下面三個(gè)命題等價(jià)下面三個(gè)命題等價(jià) (1) 向量組向量組 線性無關(guān)；線性無關(guān)； (2) 如果有一組數(shù)如果有一組數(shù) 使得使得 則必有則必有 (3) 齊次線性方程組齊次線性方程組 12,n12,nkkk1122nnkkk01122nnxxx0只有零解只有零解120nkkk 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1231,2, 1,2,3,0 , 1,0,3TTT 例例4.2.1 判斷向量組的線性相關(guān)性。解解 設(shè)1122330 xxx記123121,230103A 把A用初等行變換變?yōu)殡A梯形121121230012103006r 得知方程0Ax 只有零解，所以原向量組線性無關(guān)。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

18、束 注注 由于A是方陣，也可以由|A|=-6得知方程組0Ax 只有零解 設(shè)n階方陣12,nA ，由上述定理可知，A是可逆矩陣的充要條件是方程組1122nnxxx0只有零解 由此我們得到下面的定理設(shè)A是n階方陣，則下面的三個(gè)命題等價(jià)(1)A為可逆矩陣(2)A的列向量組線性無關(guān)(3)A的行向量組線性無關(guān) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.2.2. 若向量組若向量組12,n 的一個(gè)子集線性相關(guān)，則的一個(gè)子集線性相關(guān)，則 向量組必線性相關(guān)。若向量組向量組必線性相關(guān)。若向量組12,n線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 該向量組的任何一個(gè)子集必線性無關(guān)。該向量組的任何一個(gè)子集必線性無關(guān)。證證 不妨設(shè)向量組的一個(gè)

19、子集12,()mmn線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)12,mkkk使得11220mmkkk從而11221000mmmnkkk所以 12,n 線性相關(guān)。部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)12,n 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.2.3 設(shè)12,n是由n個(gè)m維的向量構(gòu)成的向量組若nm則該向量組線性相關(guān)。證證 記矩陣12,n m nA 線性方程組0Ax 從而12,n必然線性相關(guān)。例如例如 矩陣 101123A它的列向量組必然線性相關(guān)個(gè)數(shù)大于維數(shù)的向量組必然相關(guān)個(gè)數(shù)大于維數(shù)的向量組必然相關(guān) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.2.4 設(shè)向量組1

20、112131aaa1222232aaa1332333aaa線性無關(guān)，則向量組1112131,aaa1222232,aaa1332333aaa也線性無關(guān)(其中*取任意數(shù)) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 因?yàn)?23, 線性無關(guān), 所以方程組111213121222323313233aaaxaxaxaaaa0只有零解，從而方程組1112131232122233132330aaaxxxaaaaaa也只有零解，因此123, 線性無關(guān)。短的無關(guān)短的無關(guān), 則長的無關(guān)；長的相關(guān)則長的無關(guān)；長的相關(guān), 則短的相關(guān)則短的相關(guān). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.2.3(唯一表示定理唯一表示定理)

21、設(shè)向量組設(shè)向量組12,n 線性無關(guān)線性無關(guān) 向量組向量組12,n 線性相關(guān)，則向量線性相關(guān)，則向量可由向量組可由向量組12,n 線性表示，且表示方式唯一線性表示，且表示方式唯一。證證 由于向量組12,n 線性相關(guān)，故存在不全零的數(shù)12,nk kk k使得1122nnkkkk 0必然有0k 否則，若0k 則1122nnkkk0由于12,n 線性無關(guān)，必有120nkkk這與12,nk kk k不全為零矛盾，因此0k 則11221()nnkkkk 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以向量 可由向量組12,n 線性表示。唯一性唯一性 假設(shè)向量 由向量組12,n 的表示有兩種11221122nnnnkkk

22、kkk移項(xiàng)111222()()()0nnnkkkkkk由于12,n 線性無關(guān)，所以1122,nnkk kkkk 唯一性得證這一結(jié)論可以等價(jià)的表示為：方程組1122nnxxx有唯一解。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論4.2.2 設(shè)設(shè)12,nnR ，且且12,n 線性無關(guān)線性無關(guān)則則nR中的任一向量都可以由向量組中的任一向量都可以由向量組12,n 唯一表示唯一表示。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.3 向量組的秩向量組的秩 對于給定的向量組對于給定的向量組(可以含無窮多向量可以含無窮多向量), 如何把握向如何把握向量之間的線性關(guān)系量之間的線性關(guān)系? ( 即哪些向量可由另外一些向量線性即哪

23、些向量可由另外一些向量線性表示表示)，它們的本質(zhì)不變量是什么？，它們的本質(zhì)不變量是什么？ 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 考察線性方程組123123123123 2522 512 2355 55xxxxxxxxxxxx 其增廣矩陣為11252221211235555A記其行向量分別為1234,TTTT則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31294 4123515說明方程組中把第和第個(gè)方程去掉只保留第和第個(gè)方程仍是等價(jià)的. 即123412, 又容易驗(yàn)證2131(9)44131(515)4又說明把方程組中第和第個(gè)方程去掉只保留第和第個(gè)方程仍是等價(jià)的. 即123413, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一

24、般地, 我們提出如下非常有意義的問題：對于給定的一個(gè)向量組, 找出的一個(gè)子集, 滿足下面兩個(gè)條件：（1）中所有向量都可由線性表示；（2）所含向量個(gè)數(shù)盡可能地少. 條件（1）就是要求與等價(jià). 條件（2）就是要求線性無關(guān). 這是因?yàn)? 如果線性相關(guān), 則中至少還有一個(gè)向量可由中其余向量線性表示. 因此, 我們給出下面極大無關(guān)組和向量組秩的概念. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)V是一個(gè)向量組, 如果中有r個(gè)向量 12,r 滿足 (1) 12,r 線性無關(guān) (2) V中的任一個(gè)向量都可以被12,r 線性表示。則稱向量組12,r 是向量組V的一個(gè)極大線性無關(guān)組，極大線性無關(guān)組含有向量的個(gè)數(shù)r為向量組V

25、的秩，記做rankVr 或者r( )Vr只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組, 規(guī)定其秩為零. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注 1.含有非零向量的向量組總存在極大線性無關(guān)組含有非零向量的向量組總存在極大線性無關(guān)組 2. 極大線性無關(guān)組不唯一極大線性無關(guān)組不唯一,但是同一向量組的極大線性但是同一向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)唯一，即向量組的秩唯一。無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)唯一，即向量組的秩唯一。 定理定理4.3.1 向量組向量組12,p線性無關(guān)的條件是線性無關(guān)的條件是12rank,pp 等價(jià)的向量組等價(jià)的向量組12,p 線性相關(guān)的條件是線性相關(guān)的條件是12rank,pp 問題： 如何求向量組的

26、秩和極大無關(guān)組 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.3.2 設(shè)設(shè)1212,rnnA B 即即A與與B行等價(jià)，則行等價(jià)，則A的列向量組與的列向量組與B的列向量組有的列向量組有相同的線性關(guān)系，即方程組相同的線性關(guān)系，即方程組1122nnxxx0 與與1122nnxxx0 同解。同解。證： A與B是行等價(jià)矩陣，即，存在可逆矩陣P使得PA=B，從而1,(1,2, )iiiiinP P (1)(2)設(shè)T12,nu uuu是(1)的解，即1122nnuuu01122nnuuuPPP0 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1122nnuuu 0說明T12,nu uuu 也是方程(2)的解。 反之T12,nu

27、 uuu是(2)的解，即1122nnuuu 01111122nnuuuPPP01122nnuuu0即u也是(1)的解，綜上方程(1)(2)是同解方程思考：思考： 此定理的意義何在？此定理的意義何在？ 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4.3.2 求向量組 123451223432214,1261612205 的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并用此表示其他向量。解 把向量按列排除矩陣，化成行最簡形1234512345122341 020 1322140 12 0 2 ,126160 001 3122050 000 0r 顯然124, 線性無關(guān)，且 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31222512423這說明1

28、24, 是125, 的一個(gè)極大無關(guān)組，其余向量35,可由124,線性表示。根據(jù)定理4.3.2, 124, 線性無關(guān)，并且21322421532 說明124, 是125, 的一個(gè)極大無關(guān)組。并且125rank,3 其結(jié)果用矩陣表示為 123451241 020 1,0 12 0 20 001 3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.3.2(Steinitz定理定理) 設(shè)向量設(shè)向量12,q 可由向量組可由向量組 12,p 線性表示，如果線性表示，如果qp則則12,q 線性相關(guān)線性相關(guān)證證 向量12,q 由向量組12,p 線性表示，即 存在矩陣pqC使得12,q 12,pp q C因qp所以方

29、程組Cx0 有非零解quR1212,qpuu C0從而 即u是方程組1122qqxxx0的一個(gè)非零解，所以12,q 線性相關(guān)。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如： 設(shè)112212312,23不管向量組12, 是否線性相關(guān)，向量組123, 必線性相關(guān) 推論推論4.3.1 等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含的向量個(gè)數(shù)相同。等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含的向量個(gè)數(shù)相同。 推論推論4.3.2 一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等. 推論推論4.3.3 設(shè)向量組的秩設(shè)向量組的秩rankV=r, 則中任意向量個(gè)數(shù)大于則中任意向量個(gè)數(shù)大于r的的向量組都線性相關(guān)向

30、量組都線性相關(guān). 推論推論4.3.4 設(shè)向量組設(shè)向量組V的秩的秩rankV=r, 則則V中任意中任意r個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無關(guān)的向量都是向量都是V的極大無關(guān)組的極大無關(guān)組. 推論推論4.3.5 設(shè)向量組設(shè)向量組12,q 可由向量組可由向量組 12,p 線性線性表示，則表示，則1212rank,rank,qp 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論4.3.6 等價(jià)的向量組有相同的秩。等價(jià)的向量組有相同的秩。根據(jù)上面的定理及其推論易得到下面極大無關(guān)組的等價(jià)定義. 定義定義4.3.2（極大無關(guān)組的等價(jià)定義）（極大無關(guān)組的等價(jià)定義） 設(shè)是一個(gè)向量組設(shè)是一個(gè)向量組. 如果如果 (1) V中有中有r個(gè)向量個(gè)

31、向量12,r 線性無關(guān)線性無關(guān)； (2) V中任意中任意r+1個(gè)向量個(gè)向量(如果有的話如果有的話)都線性相關(guān)都線性相關(guān)則稱向量組12,r 是向量組是向量組V的一個(gè)極大無關(guān)組。的一個(gè)極大無關(guān)組。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.4 矩陣的秩矩陣的秩矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩，列向量組的秩稱為A的列秩問題： A的行秩的行秩?A的列秩的列秩引理引理4.4.1 初等變換不改變矩陣的行秩與列秩初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。證證 首先證明初等行變換不改變矩陣的行秩與列秩，設(shè)rAB 則A與B的行向量組等價(jià)，因而它們有相同的行秩。并且它們的列秩有相同的線性關(guān)系，所以它們有相同的列秩。 目錄 上頁 下

32、頁 返回 結(jié)束 再證明初等列變換不改變矩陣的行秩和列秩。設(shè)rAU 從而rTTAB 因此列變換不改變矩陣的列秩和行秩。由于rAU (行最簡階梯形矩陣)，A與U具有的行秩和列秩。 設(shè)1000010000100000U 記U的列向量為12345, 則134, 是U的一個(gè)極大無關(guān)組，并且其個(gè)數(shù)為U的非零行的行數(shù)；U的列秩=U的非零行的行數(shù). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再記U的行向量為TTTT1234,則112233123100000010001xxxxxx 只有零解，123, 線性無關(guān)；又因?yàn)?0，所以123, 是1234, 的極大線性無關(guān)組，即U的行秩=U的非零行的行數(shù). 由此得到下面的結(jié)論引理

33、引理4.4.2 最簡階梯行矩陣的行秩與列秩相等，其值等于其最簡階梯行矩陣的行秩與列秩相等，其值等于其非零行的行數(shù)非零行的行數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引理引理4.4.3 任一矩陣的行秩與列秩相等，其值等于其最簡任一矩陣的行秩與列秩相等，其值等于其最簡形矩陣或者階梯形矩陣的非零行的行數(shù)。形矩陣或者階梯形矩陣的非零行的行數(shù)。 定義定義4.4.1 稱矩陣稱矩陣A的行秩的行秩(或列秩或列秩)為矩陣為矩陣A的秩，記為的秩，記為 rank(A)或者或者r(A),規(guī)定零矩陣的秩為規(guī)定零矩陣的秩為0定理定理4.4.1 初等變換不改變矩陣的秩。矩陣的秩等于它對應(yīng)初等變換不改變矩陣的秩。矩陣的秩等于它對應(yīng)最

34、簡階梯形或者階梯形矩陣的非零行的行數(shù)。最簡階梯形或者階梯形矩陣的非零行的行數(shù)。 推論4.4.1 設(shè)P,Q都是可逆矩陣，則rank()rankPAQA 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.4.1 設(shè)矩陣12122215103At且( )2r A ,求t 解解：12112122201215001103000rABtt由于( )( )2r Br A必須10t 即1t 顯然矩陣的秩有下面的性質(zhì)顯然矩陣的秩有下面的性質(zhì)T(1).rankrankAA(2).rankmin( , )m nm nA 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.4.2 設(shè)設(shè)A是是n階方陣，則階方陣，則A可逆的充要條件是可逆的充

35、要條件是r(A)=n定義定義4.4.2 設(shè)設(shè)A是是n階方陣，如果階方陣，如果r(A)=n，稱，稱A為為滿秩矩陣滿秩矩陣可逆矩陣可逆矩陣=滿秩矩陣滿秩矩陣(方陣)定理定理4.4.3 rank()min(rank,rank)ABAB證明證明 記CAB則C的列向量被A的列向量線性表示 C的行向量被B的行向量線性表示( )( ), ( )( )r Cr A r Cr B故rank()min(rank,rank)ABAB 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.4.2 設(shè),m nn mARBR若mn,證明0AB 證證： ()( )min , r ABr An mnm()m mAB | 0AB永遠(yuǎn)是奇異矩陣

36、永遠(yuǎn)是奇異矩陣有可能是非奇異矩陣有可能是非奇異矩陣 1001001001010001 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.4.3 證明max r( ),r( )rr( )r( )ABABABmax r( ),r( )rr( )r( )AABABB 證證 設(shè)( ), ( ).r Ap r Bq1,p為A的列向量組的極大無關(guān)組1,q 為B的列向量組的極大無關(guān)組。rABr顯然( )rrAAB( )rrBAB 即max r( ),r( )rABAB 又AB的任一列向量都可被11,pq線性表示 從而11,pqrrpq。即( )( )rABr Ar B 由于TTTAABB(1)(2)(2)式可以類似證明

37、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論4.4.1 線性方程組線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩滿足滿足 ( )()( ) 1r ArAbr A例例4.4.3 設(shè)向量組12,p 線性無關(guān)，向量組12,q 可以由向量組12,p 線性表示為1112121222121212,qqqppppqccccccccc 記矩陣()ijCc證明：12,q 線性無關(guān)的充要條件是rankqC 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 記12,qA 12,pB 則ABC由于( )r Bp則0AxBCxC00 x所以，12,q線性無關(guān)Ax0只有零解Cx0只有零解r()qC 目錄 上頁

38、下頁 返回 結(jié)束 矩陣的秩還可以用矩陣的子式來刻畫. 當(dāng)A是n階方陣時(shí), 我們定理定理4.4.4 矩陣矩陣A的秩的秩r(A)=r的充要條件是的充要條件是A的一個(gè)的一個(gè)r階子式階子式且所有的且所有的r+1階子式階子式(如果存在的話如果存在的話)都等于零。都等于零。0rD 知道0rankAAn如果0A 或A不是方陣，有如下結(jié)論 注注 當(dāng)A的所有r+1階子式都等于零時(shí)，由行列式展開定理知，A的所有p(pr+1)階子式都等于零。定義定義4.4.3(矩陣秩的等價(jià)定義矩陣秩的等價(jià)定義)稱矩陣稱矩陣A的非零子式的最高階數(shù)為矩陣的非零子式的最高階數(shù)為矩陣A的秩。的秩。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4.4.

39、4求下面矩陣A的秩12211111nnnxxxAxaaaaax 解解A的右上角的n-1階子式11( 1)0nnD 1231231nnnnnnnDAxa xa xa xaxa如果x不是上面多項(xiàng)式的零點(diǎn)，則0,nDArank An否則如果x是上面多項(xiàng)式的零點(diǎn)，則rank1An 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 VRV 則則若若,VVV 則則若若,集合 對于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指V 設(shè)設(shè) 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 對于加法及數(shù)對于加法及數(shù)乘乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合集合 為為nVVVV 維向量的全

40、體是一個(gè)向量空間維向量的全體是一個(gè)向量空間,記作記作nnR只含零向量的集合是一個(gè)向量空間只含零向量的集合是一個(gè)向量空間(稱為零空間稱為零空間)向量空間如果不是零空間必含有無窮多個(gè)向量向量空間如果不是零空間必含有無窮多個(gè)向量Vkk 21 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明下列集合是向量空間 ,|0 ,21211RxxxxxVT 證證 1211210 ,0 ,VbbVaaTT 122110 ,VbabaT 1210 ,VaaT 所以所以 構(gòu)成了向量空間構(gòu)成了向量空間.1V1e2e3e 1V例例4.5.1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0|)( xARxANnmn證證0, 0),(,2121 AAA

41、N即即設(shè)設(shè)0)(22112211 AkAkkkA)(2211ANkk 例例2證明齊次方程組的解集證明齊次方程組的解集是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間. 以后稱為齊次方程組的以后稱為齊次方程組的. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3證明非齊次方程組的解集證明非齊次方程組的解集不是向量空間不是向量空間.0,| bbAxxS證證設(shè)設(shè) , 而而 S S 0 S 對加法運(yùn)算不封閉對加法運(yùn)算不封閉.或或SbbAA 222)2(S 對數(shù)乘運(yùn)算不封閉對數(shù)乘運(yùn)算不封閉. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 維向量，集合維向量，集合為兩個(gè)已知的為兩個(gè)已知的設(shè)設(shè)n , RxL ,是向量空間是向量空間.Lx 111設(shè)設(shè)Lx

42、222,Lxx )()(212121Lkkkx )()(111例例4證證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Rxximm ,|2211設(shè)設(shè) 是一向量組是一向量組, 稱稱m ,21為由該向量組為由該向量組.記為記為),(),(2121mmspanL 或或 特別地特別地, 由矩陣由矩陣 A 的列向量生成的向量空間稱為的列向量生成的向量空間稱為 A的的列空間列空間(或稱或稱像空間像空間或稱或稱值域值域).記為記為R(A),|)(R2211RxxxxyyAinn ,|nRxAxyy ,21nA 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5設(shè)向量組設(shè)向量組 與向量組與向量組 等價(jià)等價(jià),m ,1s ,1 RxLimm

43、 22111 RxLiss 2211221LL 證明證明.,11線性表示線性表示可由可由，則，則設(shè)設(shè)mxLx 可由可由線性表示，故線性表示，故可由可由因因xsm ,11線性表示線性表示s ,1212LLLx 同理同理12LL 證證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量空間向量空間 的一個(gè)極大無關(guān)組的一個(gè)極大無關(guān)組, 稱為稱為 V 的的一個(gè)一個(gè)(或坐標(biāo)系或坐標(biāo)系). 基所含向量的個(gè)數(shù)基所含向量的個(gè)數(shù) r 又稱為又稱為 V 的的.記為記為 dim(V) = r . 此時(shí)稱此時(shí)稱 V 是是 . 設(shè)有向量空間設(shè)有向量空間 及及 ，若，若 ，就稱，就稱 是是的的21VV 1V2V1V2VRVn 0.的子空

44、間的子空間總是總是所以所以RVn設(shè)設(shè) 是由是由 維向量所組成的向量空間，則維向量所組成的向量空間，則Vn 0V 如果 0V 規(guī)定dim0V 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)向量空間設(shè)向量空間 V 的一個(gè)基為的一個(gè)基為 ,則則對對 V 中的任一向量中的任一向量 可唯一地表示為可唯一地表示為r ,21 rrxxx 2211數(shù)組數(shù)組 或向量或向量 稱為稱為向量向量 在基在基 下的下的.rxxx,21Trxxxx),(21 r ,21),(21mspanV Rximm 2211的一個(gè)基顯然就是向量組的一個(gè)基顯然就是向量組 的一個(gè)極的一個(gè)極大無關(guān)組，其維數(shù)就是該向量組的秩。大無關(guān)組，其維數(shù)就是該向量組的

45、秩。m ,21 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如： 中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都是nRnR的一組基特別的稱12(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)TTTneee為nR的自然基自然基。例例6.設(shè)向量組TTTTT12345(1,1,2,5) ,(2,2,5,12) ,( 1, 1,2,3) ,(5,5, 5, 5) ,(1,1,3,7) 求向量空間15span(,)V的一組基，并求dimV解法解法1把向量按列排成矩陣用初等變換化成階梯形121511 2151121510 1415 12525 30 00005 1235 70 0000r知12, 是向量組15,的一個(gè)極大無關(guān)組，也是V

46、的一組 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 基，從而dimV=2.解法解法2把向量按行排成矩陣A，把A用初等行變換化成階梯形，則階梯形矩陣U的非零行向量是與A的行向量組等價(jià)的線性無關(guān)組，也是V的一個(gè)基11251101225120012112300005555000011370000r知12(1,1,0,1) ,(0,0,1,2)TT是V的一組基，且dim2V 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.5.1(基的擴(kuò)張定理基的擴(kuò)張定理) 設(shè)1,m是nR的一組線性無關(guān)組，mn則存在n-m個(gè)向量1,mna使得11,mmn為nR的一組基。例例7 設(shè)1212span,span,V 其中TT12(1,1,2,5

47、) ,(2,2,5,12)12(1,1,0,1) ,(0,0,1,2)TT分別求(1,1,3,7)T在基12, 和基12, 下的坐標(biāo)解解解線性方程組1 122xx得121,1xx 故12,所以在基12, 的坐標(biāo)為 1,1 .T同理得在基12, 下的坐標(biāo)1,3 .T 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義4.5.6設(shè)r維向量空間的兩個(gè)基1,r和1,r則1,r可由1,r線性表示11121212221112,rrrrrrrrppppppppp 則稱矩陣()ijPp 為由基1,r到基1,r的過渡矩陣過渡矩陣顯然，過渡矩陣一定是可逆矩陣過渡矩陣一定是可逆矩陣，這是因?yàn)?rank,rankrrPrrank

48、Pr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)向量在基1,r下坐標(biāo)為T1( ,)rxxx在基1,r下坐標(biāo)為T1(,)ryyy基1,r到基1,r的過渡矩陣為P，則1111,rrrrxyxy1111,rrrrxyPxy11rrxyPxy111rryxPyx(坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 設(shè)1212span,span,V 其中TT12(1,1,2,5) ,(2,2,5,12)12(1,1,0,1) ,(0,0,1,2)TT求由基12, 到12, 的過渡矩陣。 解解把矩陣1212 ,A 用初等行變換成最簡階梯形矩陣12101052121001212501000051212

49、0000rA 11221252,2 121252,21 即5221P 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.6 一、一、 二、二、 三、三、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性方程組的求解問題，本章將在整理前面知識點(diǎn)的同時(shí)，方程組的求解問題，本章將在整理前面知識點(diǎn)的同時(shí)，深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (4-1) mnmnaaaaA1111 mbbb1 nxxx1bAx ()bxxxbAxnn 2121),( bxxxnn 2211() mnmnmmnnnnbxa

50、xaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111() 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 非齊次方程組解的存在性定理非齊次方程組解的存在性定理對于對于方程組方程組)0( bbxAnm )()()()()1(ArArArAr 無解無解有解有解nArAr )()()2(有唯一解有唯一解nArAr )()()3(有無限多解有無限多解(4-1) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于對于方程組方程組0 xAnmnAr )(只有零解只有零解nAr )(有非零解即有無限多解有非零解即有無限多解(1)A的列向量組線性無的列向量組線性無關(guān)關(guān)(2)A的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān) 目錄

51、上頁 下頁 返回 結(jié)束 1111221,1112112222,1121122,11nnnnnnnnn nnnna xa xaxaa xa xaxaa xa xaxa 例例1 設(shè)設(shè)n(n2)階方陣階方陣A是可逆矩陣，證明是可逆矩陣，證明無解。無解。例例2 對于非齊次方程組對于非齊次方程組m nAXb (1) 證明證明:如果如果AX=b有唯一解，則有唯一解，則AX=0僅有零解；僅有零解；(2) 如果如果AX=0僅有零解，則僅有零解，則AX=b一定有唯一解嗎？一定有唯一解嗎？ 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 解集的秩是多少解集的秩是多少? (3) 解集的極大無關(guān)組解集的極大無關(guān)組(又稱為又稱為

52、) 如何求如何求?0 Ax齊次方程組齊次方程組(假設(shè)有無窮多解假設(shè)有無窮多解)(1) 解集的特點(diǎn)解集的特點(diǎn)? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)1：若若 是是(4-3)的解，的解，12, 解空間解空間:0AX 的所有解向量的集合的所有解向量的集合S，對加法和數(shù)乘，對加法和數(shù)乘都封閉，所以構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為這個(gè)齊次都封閉，所以構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為這個(gè)齊次線性方程組的線性方程組的解空間解空間。|0,nSX AXXR的解。的解。也是也是則則)34(21 性質(zhì)性質(zhì)2：,)34(1Rk 的解，的解，是是若若 的解。的解。也是也是則則)34(1 k注：注： 如果如果(4-3)只有零解，解空間是零

53、空間。只有零解，解空間是零空間。如果如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。有非零解，解空間是非零空間。而在解空間中，基的概念我們在這里稱為基礎(chǔ)解系。而在解空間中，基的概念我們在這里稱為基礎(chǔ)解系。首先回答問題首先回答問題(1) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0252 062 420832 03 2 543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通過下面的例子通過下面的例子, 針對一般的方程組針對一般的方程組例例1回答所提問題回答所提問題.rAxAnm )r(, 0 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 54354215432xxxxxxx:對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 A 初等行變

54、換化行最簡形初等行變換化行最簡形 BBAr 0000000000541003102125121620428312131021從行最簡形能得到什么？從行最簡形能得到什么？：寫出同解的方程組：寫出同解的方程組(保留第一個(gè)未知數(shù)在方程保留第一個(gè)未知數(shù)在方程的左邊的左邊,其余的都移到右邊其余的都移到右邊. 右邊的又叫自由變量右邊的又叫自由變量)自由變量的個(gè)數(shù)自由變量的個(gè)數(shù)=? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 332211105-030140100012 kkkx352412,kxkxkx :令自由變量為任意實(shí)數(shù)令自由變量為任意實(shí)數(shù)寫出通解，再改寫成向量形式寫出通解，再改寫成向量形式 3524323123

55、211 54 32kxkxkkxkxkkkx321, 是解嗎是解嗎?321, 線性無關(guān)嗎線性無關(guān)嗎?任一解都任一解都 可由可由 表示嗎表示嗎?321, 321, 是基礎(chǔ)解系嗎是基礎(chǔ)解系嗎?基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù) = ?:寫出基礎(chǔ)解系寫出基礎(chǔ)解系TTT)1 , 0 , 5, 0 , 3(,)0 , 1 , 4 , 0 , 1(,)0 , 0 , 0 , 1 , 2(321 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再來分析一下基礎(chǔ)解系的由來再來分析一下基礎(chǔ)解系的由來:332211105-030140100012 kkkx)1(54325435421 xxxxxxx第二步的同解方程組為第

56、二步的同解方程組為第三步的通解為第三步的通解為1 就是就是 001542xxx取取代入同解方程組代入同解方程組(1)中求得中求得31,xx然后再拼成的解向量然后再拼成的解向量. 類似的類似的 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這就啟發(fā)我們這就啟發(fā)我們, 由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)正好由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)正好等于自由變量的個(gè)數(shù)等于自由變量的個(gè)數(shù)(這里這里3個(gè)個(gè)). ,542xxx只要令只要令為三個(gè)線性無關(guān)的向量為三個(gè)線性無關(guān)的向量.代入同解方程組代入同解方程組(1)中求得中求得31,xx然后再拼成解向量然后再拼成解向量.必然是線性無關(guān)的必然是線性無關(guān)的, 從而也是基礎(chǔ)解系從而也是基礎(chǔ)解系.

57、由此得到下面的解法二由此得到下面的解法二. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 :同前同前:同前同前)1(54325435421 xxxxxxx: 令令 111,011,001542xxx代入代入(1)求求31,xx再拼基礎(chǔ)解系再拼基礎(chǔ)解系: 11116,01413,00012321 :寫出通解寫出通解)(332211Rkkkkxi 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè)A是是mn 矩陣，如果矩陣，如果( ),r Arn則齊次線性方程組則齊次線性方程組0AX 的基礎(chǔ)解系存在，的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有nr 個(gè)解向量。個(gè)解向量。設(shè)設(shè)A是是mn 矩陣，如果矩陣，如果( ),r

58、Arn則齊次線性方程組則齊次線性方程組0AX 的任意的任意 個(gè)線性無關(guān)個(gè)線性無關(guān)的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。nr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxxxxxxxxx123123123123230361002570240 解：解：1233610257124A 3,r An所以只有零解，基礎(chǔ)解系不存在。所以只有零解，基礎(chǔ)解系不存在。例例2 : 求下列齊次方程組求下列齊次方程組 000100010001 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4設(shè)設(shè) , 是是 的的1)( nArnm21, 0 Ax兩個(gè)不同的解向量兩個(gè)不同的解向量, k 取任意實(shí)數(shù)取任意實(shí)數(shù), 則則 Ax = 0 的通解是的通解是)(D)(C)(B)(A)212121 kkkk例例3 求四元方程組求四元方程組 的基礎(chǔ)解系。的基礎(chǔ)解系。004221xxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè) ,證明證明OBAlnnm n