第1講三角形中的線段

1、第1講 三角形中的線段知識要點梳理知識點一：1、三角形有關(guān)概念（1）三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。 （2）三角形的基本元素：三角形的三條邊：即組成三角形的線段；三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角；三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做三角形的外角。三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點。（3）三角形的特征：三條線段不在同一直線上，且首尾順次相接； 三角形是一個封閉的圖形。（4）三角形的符號： 三角形用符號“”表示。頂點是A、B、C的三角形，記作“ABC”，讀作“三角形ABC”； 注意：ABC是三角形ABC的符號標(biāo)記，單獨的沒有意義 三

2、角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。2、三角形的分類(1)按邊分類： 要點詮釋：不等邊三角形：三邊都不相等的三角形;等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;等邊三角形：三邊都相等的三角形.(2)按角分類：要點詮釋：銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形; 鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.知識點二：三角形三邊間的關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。定理的數(shù)學(xué)語言：如圖1，|bc|abc推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊。要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之

3、間線段最短。（2）給出三條線段的長度，判斷它們能否構(gòu)成三角形。判斷方法常用的有兩種（設(shè)a、b、c為三邊的長）： abc，bca，cab都能成立，則以a、b、c為三邊的長可以構(gòu)成一個三角形（此法一般不用）; |bc|abc長為a，b，c的三條線段可組成三角形；或若c是最長的線段，且abc，則以a、b、c為三邊的長可構(gòu)成一個三角形。（3）已知三角形兩邊的長，可以確定第三邊的取值范圍: 設(shè)三角形的兩邊的長為a、b，則第三邊的長c的取值范圍是。（4）證明線段之間的不等關(guān)系。知識點三：三角形的高、中線、角平分線1、三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線

4、，簡稱三角形的高三角形的高的數(shù)學(xué)語言：如圖2，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC邊上的高，或ADBC于D，或ADBADC90°。AD是ABC的高ADBADC90°(或ADBC于D)；要點詮釋：三角形的高是線段；三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心。三角形的三條高：()銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形內(nèi)部；()鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；()直角三角形三條高的交點是直角三角形的直角頂點。2、三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：如圖3，AD是ABC的中

5、線或AD是ABC的BC邊上的中線或BDCDBC。AD是ABC的中線BDCDBC。要點詮釋：三角形的中線是線段；三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫三角形的重心中線把三角形分成面積相等的兩個三角形。3、三角形的角平分線三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：如圖4，AD是ABC的角平分線，或BADCAD且點D在BC上。即AD是ABC的角平分線BADDACBAC(或BAC2BAD2DAC)要點詮釋：三角形的角平分線是線段；一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；三角形三條角

6、平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線。知識點四：三角形的穩(wěn)定性如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性要點詮釋：三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變?nèi)切蔚姆€(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)

7、用，如活動掛架，伸縮尺有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形典型例題：題型一 三角形的概念例題1下列說法:(1)不等邊三角形就是三條邊都不相等的三角形;(2)等邊三角形一定是等腰三角形;(3)有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形;(4)有一個角是直角的三角形是直角三角形;(5)有一個角是銳角的三角形是銳角三角形.其中正確的說法有_.題型二 三角形三邊的關(guān)系例題2以下列各組線段為邊,能組成三角形的是( ) A.2cm, 3cm, 5cm B.1cm, 11cm, 11cm C.5cm, 8cm, 2cm D.三邊之比為5:10:4 舉一反三【變式

8、1】用9根火柴棒首尾順次連接擺成一個三角形，能擺成不同的三角形的個數(shù)為;用10根呢?【變式2】已知三角形的三邊長分別為3,8,;若的值為偶數(shù),則的值有_個.【變式3】等腰三角形的兩邊長分別為12和6，則此三角形的周長為（ ）。A、24 B、30 C、24或30 D、以上都不對題型三 三角形的線段例題3 如圖,ABC中,1=2,G是AD中點,連結(jié)BG并延長,交AC于點E,CHAD,延長線交AB于點F.請?zhí)羁?AG是ABE的_;ABC的角平分線是_;ABD的中線是_;AH是_和_和_的高.舉一反三【變式1】下列說法:(1)三角形的高必在三角形內(nèi)部;(2)三角形的中線必在三角形內(nèi)部;(3)三角形的角

9、平分線必在三角形內(nèi)部;(4)三角形的高、中線、角平分線都是線段.其中正確的有_.【變式2】如圖,BM是ABC中AC邊上的中線,已知AB=6cm,BC=4cm,那么ABM與BCM的周長差是多少?【變式3】(1)已知AD是ABC的中線,ABD的面積為4,則ABC的面積是_; (2)已知在ABC中，D是BC上一點，BD:CD=2:1,ABD的面積為6,則ABC的面積是_;【變式4】在ABC中，AB=2BC,AD、CE分別是BC、AB邊上的高，試判斷AD和CE的大小關(guān)系，并說明理由。鞏固練習(xí)一、選擇題1.下面四個圖形中，線段BE是ABC的高的圖是（ ） A B C D2.如圖1所示,在ABC中,ACB

10、=90°,把ABC沿直線AC翻折180°,使點B 落在點B的位置,則線段AC具有性質(zhì)( )毛 A.是邊BB上的中線 B.是邊BB上的高 C.是BAB的角平分線 D.以上三種圖2圖13.如圖2所示,D,E分別是ABC的邊AC,BC的中點,則下列說法不正確的是( ) A.DE是BCD的中線 B.BD是ABC的中線 C.AD=DC,BD=EC D.C的對邊是DE4.下列長度的三條線段中，能組成三角形的是 （ ）A、 3cm，5cm ，8cm B、8cm，8cm，18cm C、0.1cm，0.1cm，0.1cm D、30cm，40cm，8cm 5.如果線段a，b，c能組成三角形，那

11、么，它們的長度比可能是（ ） A、124 B、134 C、347 D、2346.如果三角形的兩邊分別為7和2，且它的周長為偶數(shù)，那么第三邊的長為（ ）A、5 B、6 C、7 D、8二、填空題1.如圖4，圖中所有三角形的個數(shù)為 ，在ABE中，AE所對的角是 ，ABC所對的邊是 ，AD在ADE中，是 的對邊，在ADC中，是 的對邊；2.如圖5，已知1=0.5BAC，2 =3，則BAC的平分線為 ，ABC的平分線為 ；3.如圖6，D、E是邊AC的三等分點，圖中有 個三角形，BD是三角形 中 邊上的中線，BE是三角形 中 邊上的中線；圖4圖5圖6 4.如圖7，在ABC中，AD是中線，則ABD的面積 A

12、CD的面積（填“”“”“”）。5.如圖8，ABC中，A = 40°，B = 72°，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE，則CDF = 度。圖7圖8 3、 解答題1. 已知等腰三角形的一邊等于8cm，另一邊等于6cm，求此三角形的周長； 已知等腰三角形的一邊等于5cm，另一邊等于2cm，求此三角形的周長。提高拓展：1.如圖3所示,在ABC中,已知點D,E,F分別為邊BC,AD,CE 的中點, 且SABC=4cm2,則=( ) 圖3 A.2cm2 B.1cm2 C.cm2 D.cm22.已知三角形三邊長為a、b、c，化簡|abc|-|abc|3.在ABC中,AB=AC,AD是中線,ABC的周長為34cm,ABD的周長為30cm, 求AD的長.課后鞏固1.已知三角形的三邊長分別為3、x、8，若x的值為奇數(shù)，則x的值有（ ）。A、6個 B、5個 C、4 個 D、3個2.下列各組三條線段中，不能組成三角形的是（ ）。A、三線段之比為 2：2：3 B、 a + 1 ，a + 2 ，a + 3（a0）C、5cm ，6 cm ，10 cm D、3cm ，5cm ，9 cm 4.下列說法：三角形的高、中線