圓中最定值(修訂版)

1、圓中最定值類型一、圓中將軍飲馬例 1 、如圖，AB 是 O 的直徑， AB=10cm ，M 是半圓 AB 的一個(gè)三等分點(diǎn)， N 是半圓 AB 的一個(gè)六等分點(diǎn)， P 是直徑 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 MP 、 NP，則 MP+NP 的最小值是 _1、已知圓 O 的面積為 3 ， AB 為直徑，弧 AC 的度數(shù)為 80 度，弧 BD 的度數(shù)為 20 度，點(diǎn) P 為直徑 AB 上任一點(diǎn)，則 PC+CD 的最小值為 _2、如圖，菱形ABC 中， A=60 度， AB=3,A、B 的半徑為2 和 1,P、E、F 分別是 CD，A 和B 上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF 的最小值為 _類型二、折疊隱圓【基本原理】（一箭

2、穿心）點(diǎn) A 為圓外一點(diǎn)， P 為圓 O 上動(dòng)點(diǎn)，連接AO 并延長(zhǎng)交圓于P1、 P2 ，則 AP 的最小值為AP 2,最大值為AP1例、如圖 4，在邊長(zhǎng)為 2 的菱形 ABCD 中， A=60° ，M 是點(diǎn)，將AMN 沿 MN 所在的直線翻折得到AMN，連接AD 邊的中點(diǎn)，N 是 AB 邊上一動(dòng)AC，請(qǐng)求出 AB長(zhǎng)度的最小值1、已知一個(gè)矩形紙片OACB ，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中，點(diǎn)A （11，0），點(diǎn) B （ 0， 6），點(diǎn) P為 BC 邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P 不與點(diǎn) B 、C 重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P 折疊該紙片，則CB 的最小值為 _2、四邊形 ABCD 中， AD BC， A=9

3、0,AD=1 ，AB=2,BC=3,P 是線段 AD 上一動(dòng)點(diǎn)，將 ABP 沿 BP 所在直線翻折得到 QBP，則 CQD 的面積最小值為 _類型三、隨動(dòng)位似隱圓例、在Rt ABC中 ，ACB=90°，BAC=30°， BC=6 點(diǎn) D是邊AC 上一點(diǎn)D 且 AD=23 ，將線段AD 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)得線段AD，點(diǎn) F 始終為BD的中點(diǎn)，則將線段CF 最大值為_ 分析 ：易知 D軌跡為以A 為圓心 AD 為半徑的圓，則在運(yùn)動(dòng)過程中AD為定值 2 3 ，故取 AB 中點(diǎn) G，則 FG 為中位線， FG=1AD'= 3 ,故 F 點(diǎn)軌跡為以 G 為圓心，3 為半徑的圓。 問

4、題實(shí)質(zhì)為已知圓外一點(diǎn) C2和圓 G 上一點(diǎn) F，求 CF的最大值。思路 2：倍長(zhǎng) BC到 B，則 CF為 BDB的中位線， CF=1B D當(dāng),B D最大時(shí)， CF也取最大值，問題實(shí)質(zhì)為2D 在圓 A 上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，BD 取最大?！痉椒w納】 1 、如圖，點(diǎn) A 和點(diǎn) O1 為定點(diǎn)，圓O1 半徑為定值， P 為圓 O1 上動(dòng)點(diǎn)， M 為 AP 中點(diǎn) ? 點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)軌跡為圓O2，且 O2 為 AO1 中點(diǎn)。 2、構(gòu)造中位線1、如圖，在Rt ABC中， ACB = 90 ，°D 是 AC的中點(diǎn)， M 是 BD 的中點(diǎn)，將線段AD 繞 A 點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點(diǎn)M 是 BD 的中

5、點(diǎn)），若 AC = 4，BC = 3 ，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM 長(zhǎng)度的取值范圍是_2、如圖， ABC 則在點(diǎn)P由A到是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，以 AC C 運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為為直徑作半圓， _P 為半圓上任意一點(diǎn)，M 為BP 中點(diǎn)，類型四、定性分析 垂線段最短例、如圖，半圓 O 的半徑為 1，AC AB ，BD AB ，且 AC=1 ，BD=3 ，P 是半圓上任意一點(diǎn)，則封 閉 圖形 ABDPC 面 積 的 最 大值 是 _【分析】：思路1、連接 CD、梯形 ABCD 面積為定值，要使封閉 圖 形 ABDPC面 積 取最 大 值 ，則 使CPD面積取最小即可，CPD中，底邊

6、 CD為定值，則當(dāng)高取最小值時(shí)，面積有最小值，故問題變成當(dāng)點(diǎn)P 在圓上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，點(diǎn) P 到 CD距離最小。 C、D、O 為定點(diǎn)， 則點(diǎn) O 到 CD 距離為定值 ,計(jì)算 CD、OC 、OD 長(zhǎng)，由勾逆知OC CD，設(shè)點(diǎn) P 到 CD距離為 h，則 h+r OC， h OC-r，即當(dāng) O、P、M三點(diǎn)共線時(shí)， h有最小值，此時(shí)M與點(diǎn) C 重合，故 OC與圓 O交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P。思路2：P 點(diǎn)的確定也可以這樣想，平移CD，設(shè)平移后的直線為m，則直線m與CD間的距離即為CD邊上的高，顯然，當(dāng)直線m與圓O相切時(shí)，高h(yuǎn) 有最小值。1、如圖， P 為圓 O 內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)， A 為圓 O 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線A

7、P,AO分別與圓 O 交于 B，C 兩點(diǎn)，若圓O 的半徑為 3， OP=3 ，則弦 BC的最大值為 _2、如圖， AB 為 O 的直徑， C 為半圓的中點(diǎn)，C 的半徑為 2，AB=8，點(diǎn) P 是直徑 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)， PM 與 C 切于點(diǎn) M，則 PM 的取值范圍為 _類型五、定弦定角【基本原理】如圖 O 中， A、 B 為定點(diǎn)，則AB 為定弦，點(diǎn)C 為優(yōu)弧上任一點(diǎn)，在C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中則ACB的度數(shù)不變? 逆運(yùn)用 ? 如圖 2 、點(diǎn) A、 B 為定點(diǎn)，點(diǎn) C 為線段 AB 外一點(diǎn)，且 ACB= （ 為固定值） ? 點(diǎn) C 在以 AB 為弦的圓上運(yùn)動(dòng)（不與 A、B 重合）圖 1例、如圖，AB為

8、定長(zhǎng)，點(diǎn)圖 2C 為線段AB外一點(diǎn)，且滿足ACB=60度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)C 的運(yùn)動(dòng)軌跡，簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖步驟步驟 1、_步驟 2、_練習(xí)、 1、如圖， AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C 為線段AB外一點(diǎn)，且滿足ACB=120度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)C 的運(yùn)動(dòng)軌跡 ,并寫出圓心角AOB=_2、如圖， AB 為定長(zhǎng)，點(diǎn)C 為線段 AB 外一點(diǎn)，且滿足ACB=120 度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)C 的運(yùn)動(dòng)軌跡 ,【實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用】例、如圖， O 的半徑為 1，弦 AB=1，點(diǎn) P 為優(yōu)弧 AB 上一動(dòng)點(diǎn)， ACAP 交直線 PB 于點(diǎn) C，則 ABC的最大面積是 _1、如圖，ABC是邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形， D 是邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，BE

9、AD 于 E，則 CE的最小值為 _2、如圖， Rt ABC中， ABBC，AB=6，BC=4， P 是 ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PAB= PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為 _類型六、定弦定角反客為主例、如圖， XOY= 45 °，一把直角三角尺ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B 分別在 OX、 OY上移動(dòng)，其中AB = 10 ，那么點(diǎn) O 到頂點(diǎn) A 的距離最大值為_點(diǎn) O 到 AB 的距離的最大值為_【分析】：題意中AB 為定長(zhǎng)線段在角的兩邊滑動(dòng)，O 為定點(diǎn)，滑動(dòng)中C 為動(dòng)點(diǎn)， AB 兩點(diǎn)位置發(fā)生變化，點(diǎn) O 到 AB 距離的最大值的確定有難度，若改變思路，借助物理中運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性可知，若將

10、 ABC固定，將 XOY 的兩邊繞AB 滑動(dòng)，與原題中運(yùn)動(dòng)效果等價(jià)，題目中數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變。問題則變?yōu)楫?dāng)點(diǎn)O在圓上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，點(diǎn)O 到 AB 距離最大。1、如圖，D,E分別為等腰直角三角形ABC的邊 AC、AB 上的點(diǎn)，且 DE=22 ,以 DE為邊向外作正方形DEFG，則 AF 的最大值為_2、如圖， ABC中，ABC= 45°， AC=2，半徑為5 的圓O 始終過A、 C 兩點(diǎn)，連接OB，則線段OB 長(zhǎng)的的最大值為_類型七、定弦定角 條件的確定例、如圖，扇形AOD中， AOD=90°， OA=6，點(diǎn)于點(diǎn) Q，點(diǎn) I 為 OPQ的內(nèi)心，則當(dāng)點(diǎn)P 在弧 ADP 為弧A

11、D上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求I 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。A 和D 重合），PQOD 分析 ：由內(nèi)心的基本結(jié)論知PIO=90o1oOP+PHO=135為定角，但其所對(duì)的邊2并非定弦，連 ID，易證 AIO OID， OID=PIO=135O, 且其所對(duì)的邊為OD，符合定弦定角條件，故 I 點(diǎn)軌跡為圓弧，問題易解。1、如圖，邊長(zhǎng)為 3 的等邊 ABC，D、E 分別為邊 BC、 AC上的點(diǎn)，且 BD CE， AD、 BE交于 P 點(diǎn)，則 CP的最小值為 _2、如圖，AC3，BC5，且 BAC90°， D 為 AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E 點(diǎn)，連CE，則CE 的最小值為（）類型

12、八、隱切線例、已知 A（2， 0）， B（4， 0）是 x 軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C 是 y 軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ACB最大時(shí)，則點(diǎn)C 的坐標(biāo)為_ 分析 ：將 ACB看作以 AB 為弦的圓上的角，則圓心在AB 的垂直平分線上，當(dāng)圓心運(yùn)動(dòng)時(shí)，ACB的大小也隨之改變，又因?yàn)辄c(diǎn)C 為為 y 軸上的點(diǎn)，所以可將點(diǎn)C 理解為圓 O 與 y 軸交點(diǎn)。 Y 軸與圓 o 的位置關(guān)系有兩種：相交或相切，當(dāng)圓O 與 y 軸相交時(shí)，記交點(diǎn)為C1，當(dāng)圓 O 與 y 軸相切時(shí)，記交點(diǎn)為C，如圖所示， AC1B= AC2B,由圓上的角大于圓外的角可知，ACB AC2B，故當(dāng)圓 O 于 y 軸相切時(shí)， ACB有最大值?？紤]對(duì)稱性可知，點(diǎn)

13、C 的位置有兩個(gè)， y 軸正半軸和 y 軸負(fù)軸上各有一個(gè)點(diǎn)。1、已知點(diǎn)A、B 的坐標(biāo)分別是（0，1）、（ 0，3），點(diǎn) C 是 x 軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ACB最大時(shí)，點(diǎn)C 的坐標(biāo)為 _在 RtABC 中， BAC=30° ，斜邊 AB= 2 3 ，動(dòng)點(diǎn) P 在 AB 邊上，動(dòng)點(diǎn) Q 在 AC 邊上，且 CPQ=90° ，則線段 CQ 長(zhǎng)的最小值 =_類型九、捆綁旋轉(zhuǎn)例、已知 A （ 2，0）， B （ 5，0），點(diǎn) P 為圓 A 上一動(dòng)點(diǎn)，圓A 半徑為 2，以 PB 為邊作等邊 PMB，求線段 AM的取值范圍。 分析 ：思路 1：要求 AM 的取值范圍， 則先確定 M 點(diǎn)運(yùn)

14、動(dòng)軌跡。 由等邊三角形聯(lián)想共頂點(diǎn)的雙等邊結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造和 PBM共頂點(diǎn) B 的等邊 ABH，則 APB HBM? HM=PA=2 ，所以點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)軌跡為以H 為圓心，半徑為 2 的圓 H 上的點(diǎn)。 AM 過圓心時(shí)取得相應(yīng)最大和最小值。思路 2 ：線段 BM 可看作由線段PB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 度得到，當(dāng)點(diǎn)P 在圓 A 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作出其繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 度后的每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則其應(yīng)點(diǎn)的集合就是點(diǎn)M 運(yùn)動(dòng)軌跡。顯然其軌跡為圓。因?yàn)槊總€(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都是點(diǎn)P 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 度得到，所以點(diǎn) M 所在圓的圓心即為將P 點(diǎn)所在圓圓心A 繞點(diǎn)B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 度得到。 想象成鐘擺繞點(diǎn)B

15、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 度1、如圖，已知 A （ 2，0），圓 O 半徑為 1，點(diǎn) B 為圓 O 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) C 在第一象限，且 ABC為等腰直角三角形， BAC=90 度，求線段 OC的最大值 _2、如圖， AB 為 O 的直徑， AB=4 ，點(diǎn) C 為半圓 AB 上動(dòng)點(diǎn)，以 BC 為邊在 O 外作正方形 BCDE ，（點(diǎn) D 在直線 AB 的上方）連接 OD 當(dāng)點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段 OD 的最大值為 _類型十、半徑不確定的處理策略例、在 ABC中 ,AB=4,BC=6, ACB=30° ,將 ABC繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到 A1BC1.點(diǎn) E 為線段 AB 中點(diǎn),點(diǎn) P 是線段 AC 上的動(dòng)點(diǎn) ,在 ABC繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長(zhǎng)度的最大值為 _,最小值為 _,點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1,則線段EP1 分析 :顯然 BP=BP1,P1 點(diǎn)軌跡為以B 為圓心， BP 為半徑的圓，半徑是多少呢？好象無(wú)法確定，因?yàn)辄c(diǎn)P為 AC 上動(dòng)點(diǎn)，則BP 長(zhǎng)度有最小值和最大值。如圖當(dāng)BP 垂直 AC 時(shí)，半徑最小，當(dāng)最大，由圖可知P1 點(diǎn)軌跡為以B 為圓心的無(wú)數(shù)個(gè)同心圓。不難確定其最小值和最大值P 與 C 重合時(shí)，半徑1、在 A