微分中值定理及其應(yīng)用

1、第三講 微分中值定理及其應(yīng)用基本信息課時(shí)數(shù) 6課時(shí) 教學(xué)進(jìn)度 知識(shí)精講課程高等數(shù)學(xué)第三章教學(xué)目標(biāo) 1.掌握微分學(xué)中值定理,領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì),為微分學(xué)的應(yīng)用打好堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).2.熟練掌握洛比塔法則,會(huì)正確應(yīng)用它求某些不定式的極限.3.掌握泰勒公式,并能應(yīng)用它解決一些有關(guān)的問(wèn)題.4.使學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的理論依據(jù)和方法,能根據(jù)函數(shù)的整體性態(tài)較為準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖象.5.會(huì)求函數(shù)的極值與最值.6.弄清函數(shù)極值的概念,取得極值必要條件以及第一、第二充分條件；掌握求函數(shù)極值的一般方法和步驟；能靈活運(yùn)用第一、第二充分條件判定函數(shù)的極值與最值；會(huì)利用函數(shù)的極值確定函數(shù)的最值.7.掌握討論函

2、數(shù)的凹凸性和方法.教學(xué)重點(diǎn) 中值定理和泰勒公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值與凸性,利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性.教學(xué)難點(diǎn) 用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法,極值的判定,利用凸性證明相關(guān)命題.教學(xué)過(guò)程一、課程導(dǎo)入上一講我們介紹了導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算,這一講來(lái)介紹一元微分學(xué)中另外一個(gè)重要的部分微分中值定理及其應(yīng)用.有關(guān)中值定理的證明是歷年出現(xiàn)頻率較高的考點(diǎn)之一,而將中值定理與介值定理或積分中值定理結(jié)合起來(lái)命題又是最常見(jiàn)的命題形式.在這種題型中,有時(shí)候需要構(gòu)造輔助函數(shù),而構(gòu)造輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法一直以來(lái)都是大家復(fù)習(xí)的難點(diǎn),因此在整個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程中,同學(xué)們應(yīng)該注意總結(jié).特別是一些比較

3、好的方法和例子.由柯西中值定理推導(dǎo)得到的洛必達(dá)法,是求一些未定式極限的有力工具,大家要熟練掌握它的條件和結(jié)論.微分中值定理建立了導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的聯(lián)系,因此,我們就會(huì)想到去利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、凹凸性與拐點(diǎn).微分學(xué)的另一個(gè)重要的應(yīng)用就是求函數(shù)的最大值和最小值,我會(huì)給出同學(xué)們總結(jié)求函數(shù)最值的一般方法,希望同學(xué)掌握這些方法并會(huì)求簡(jiǎn)單的應(yīng)用.下面我們先來(lái)學(xué)習(xí)中值定理的相關(guān)內(nèi)容.二、知識(shí)點(diǎn)詳解(一)微分中值定理本部分考查目標(biāo)級(jí)別：掌握微分學(xué)中值定理,領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì),為微分學(xué)的應(yīng)用打好堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ);熟練掌握洛比塔法則,會(huì)正確應(yīng)用它求某些不定式的極限;掌握泰勒公式,并能應(yīng)用它解決一些有關(guān)的問(wèn)

4、題.1.知識(shí)展開(kāi)(1)費(fèi)馬引理：若函數(shù)在的某鄰域內(nèi),有()且在可導(dǎo) . 注：若是一個(gè)極值點(diǎn)且在可導(dǎo) (駐點(diǎn)).(2)羅爾中值定理若滿足條件：1)在閉區(qū)間上連續(xù)；2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；3),則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.注：幾何意義 在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的連續(xù)曲線,如果曲線兩端點(diǎn)高度相同,則至少存在一水平切線.定理中的三個(gè)條件都是很重要的,缺了其中任何一個(gè),結(jié)論就可能不成立.例如：函數(shù)不滿足條件,顯然無(wú)水平切線； 函數(shù)不滿足條件,顯然無(wú)水平切線； 函數(shù)不滿足條件,顯然也無(wú)水平切線考研中常利用來(lái)做中值等式的證明導(dǎo)函數(shù)和高階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性的證明和個(gè)數(shù)的估計(jì)；一般的含有中值的等式證明.(3)拉

5、格朗日中值定理若滿足條件：1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,即,或?qū)懗?注：1)函數(shù)是常數(shù)的充要條件：.2)幾何意義可導(dǎo)曲線上存在一點(diǎn),使其切線平行于端點(diǎn)的連線；Lagrang定理中涉及的公式：稱之為“中值公式”.這個(gè)定理也稱為微分基本定理.中值公式有不同形式：,；,；,. 此處,中值公式對(duì)a<b,a>b均成立.此時(shí)在a,b之間；、的好處在于無(wú)論a,b如何變化,易于控制.3)利用羅爾定理證明拉格朗日中值定理4)在考研中直接利用此定理主要是兩方面 證明含有中值的等式. 不等式的證明. 利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的性態(tài)(有界性).到

6、此處為第1課時(shí)(4)柯西中值定理若,滿足條件：1)在閉區(qū)間上連續(xù)；2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.注：1)幾何意義Cauchy中值定理的幾何意義：視為曲線的參數(shù)；,則以為橫坐標(biāo),為縱坐標(biāo)可得曲線上有一點(diǎn),該處切線與曲線端點(diǎn)連線平行.2)三個(gè)定理關(guān)系如下：. 3)判斷下列證明方法是否正確,不正確錯(cuò)誤在哪里？由于與都在 上滿足拉格朗日中值定理,故使得 ,將兩式相除則結(jié)論得證.4)在考研中直接利用此定理主要是兩方面 證明含有中值的等式. 不等式的證明.(5)洛必達(dá)法則定理：設(shè)1) 當(dāng)(或)時(shí),及都趨于零；2) 在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi),及都存在且；3) 存在(或?yàn)闊o(wú)窮大),那么 .注

7、：利用洛必達(dá)法則求極限是要注意條件的驗(yàn)證,特別是不存在且不為無(wú)窮大時(shí)得不到不存在.將改為時(shí),上述結(jié)論都對(duì).是分子,分母分別求導(dǎo)時(shí)極限和不同,更不能認(rèn)為是. 未定型的分類及轉(zhuǎn)化方法7種未定型分為,其中后5種在求解過(guò)程中一般要最終轉(zhuǎn)化為型或型.A) 化型未定式為型或型的方法是：通分法；提因子法；變量代換法.B) 化型未定式為型或型的方法是：“換底法”或“用e抬起法”,即計(jì)算型極限的最簡(jiǎn)單方法是使用第二個(gè)重要極限計(jì)算公式：若,則 .到此處為第2課時(shí)(6)泰勒公式若在及其附近有直到階的導(dǎo)數(shù),則,其中,在與之間,這是帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式.注：1) 若,上面的泰勒公式稱為麥克勞林公式.2)如果條件變

8、弱,在及其附近有直到階的導(dǎo)數(shù),這時(shí)我們可以得到帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式：.3) 常用的麥克勞林公式. . .4) 泰勒公式的主要應(yīng)用：建立函數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.記憶方法 結(jié)合幾何意義講解幾個(gè)定理.3.例題講解【例3.1】設(shè)存在二階導(dǎo)數(shù),下述結(jié)論正確的是 ( )（A） 若只有兩個(gè)零點(diǎn),則必定只有一個(gè)零點(diǎn)（B） 若至少有一個(gè)零點(diǎn),則必至少有三個(gè)零點(diǎn)（C） 若沒(méi)有零點(diǎn),則至多有一個(gè)零點(diǎn)（D） 若沒(méi)有零點(diǎn),則至多有兩個(gè)零點(diǎn)(1)選題依據(jù)：根據(jù)題型舉例,輔助理解.(2)講解過(guò)程：1)【解析】函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān).只有函數(shù)在兩個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值相同,則一階導(dǎo)數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn).故答案

9、選(D)2)備注：可結(jié)合函數(shù)的圖像來(lái)解答此題.【例3.2】設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), .證明：存在使得,(1)選題依據(jù)：這個(gè)例子進(jìn)一步的說(shuō)明該題證明過(guò)程是利用中值定理的證明,說(shuō)明題型.(2)講解過(guò)程：【解析】若證,只需證,又因?yàn)?所以只需證.顯然這是,那么我們可以設(shè)輔助函數(shù),因?yàn)橛靡淮瘟_爾中值定理,結(jié)論可證！到此處為第3課時(shí)【例3.3】設(shè)在有限區(qū)間 上可導(dǎo),下列命題正確的是 ( )(A)若在上有界,則在上有界.(B)若在上有界,則在上有界.(C)若在上有界,則在上無(wú)界.(D)若在上有界,則在上無(wú)界.(1)選題依據(jù)：通過(guò)例題說(shuō)明拉格朗日中值定理在研究函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間有界性上非常方便.(2)講解過(guò)

10、程：【解析】函數(shù)有界其導(dǎo)數(shù)不一定有界,而導(dǎo)數(shù)有界函數(shù)一定有界.故答案選【例3.4】求.(1)選題依據(jù)：驗(yàn)證洛必達(dá)法則求極限的條件(2)講解過(guò)程：1)【解析】 2)備注：試用洛比達(dá)法則一定要驗(yàn)證條件,此題不能用洛必達(dá)法則來(lái)求.【例3.5】求極限, (1)選題依據(jù)：輔助理解基本概念.(2)講解過(guò)程：【解析】,【例3.6】.(1)選題依據(jù)：利用倒代換和洛比達(dá)法則求解極限.(2)講解過(guò)程：1)【解析】 2)備注：熟練使用倒代換.使用洛比達(dá)法則時(shí),是分子分母同時(shí)求導(dǎo),要和對(duì)商求導(dǎo)法則分開(kāi).【例3.7】若均為常數(shù),則(1)選題依據(jù)：求解型的未定式.(2)講解過(guò)程：1)【解析】2)備注：注意講解求解方法.【

11、例3.8】求 .(1)選題依據(jù)：泰勒展開(kāi)式求解極限.(2)講解過(guò)程：【解析】【例3.9】設(shè)在處階可導(dǎo),則.(1)選題依據(jù):泰勒公式的應(yīng)用.(2)講解過(guò)程：【解析】將在處泰勒展開(kāi)至階,因?yàn)?故.【例3.10】若函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,利用泰勒公式求極限.(1)選題依據(jù)：將具體函數(shù)用佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開(kāi)化簡(jiǎn)原極限.(2)講解過(guò)程：【解析】將在處按佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開(kāi)至項(xiàng):于是從而(到此為第4課時(shí))(二)微分學(xué)的應(yīng)用本部分考查目標(biāo)級(jí)別為：使學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的理論依據(jù)和方法,能根據(jù)函數(shù)的整體性態(tài)較為準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖象;會(huì)求函數(shù)的極值與最值;弄清函數(shù)極值的概念,取得極值必

12、要條件以及第一、第二充分條件；掌握求函數(shù)極值的一般方法和步驟；能靈活運(yùn)用第一、第二充分條件判定函數(shù)的極值與最值；會(huì)利用函數(shù)的極值確定函數(shù)的最值;掌握討論函數(shù)的凹凸性和方法.1.知識(shí)展開(kāi)(1)單調(diào)性的判斷定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).1) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)增加；2) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)減少.注1) 利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)證證明：任取且,易驗(yàn)證在上滿足拉格朗日定理,應(yīng)用此定理得,使得,故當(dāng)時(shí),我們有,即.2) 考查的單調(diào)性和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì),由此能得到什么結(jié)論？任取,由,知在上是單增的,但在的導(dǎo)數(shù)為0.這說(shuō)明 只是的充分條件,而非必要條件.3)結(jié)論推廣：,. ,在上總有不恒為零.4

13、) 考研中的重要應(yīng)用,等式與不等式的證明.(2)函數(shù)極值及求法1)極值的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任一,有(或),那么就稱是函數(shù)的一個(gè)極大值(或極小值).2)取得極值的必要條件：是極值點(diǎn)函數(shù)在不可導(dǎo)或者(駐點(diǎn)).3)判定極值點(diǎn)的充分條件第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù),且在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo).若時(shí),而時(shí),則在處取得極大值；若時(shí),而時(shí),則在處取得極小值；若時(shí),的符號(hào)保持不變,則在處沒(méi)有極值.第二充分條件：若函數(shù)在點(diǎn)有,則函數(shù)在處取得極值.當(dāng)時(shí),在處取得極大值；當(dāng)時(shí),在處取得極小值.(3)函數(shù)的最值1)函數(shù)在閉區(qū)間上確定最值的求解過(guò)程求出內(nèi)可能的極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)),按

14、順序排列如下：；求出上述個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值,；挑最值,.2)常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題最值求解過(guò)程建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)表達(dá)式；求的駐點(diǎn),往往是唯一的；根據(jù)實(shí)際情況判斷駐點(diǎn)是極大點(diǎn)還是極小點(diǎn)最大值、最小值.到此為第5課時(shí)(4)曲線的凹凸性1)定義：間上的連續(xù)函數(shù)是凸(凹)對(duì)任意不同的兩點(diǎn),恒有.2)凹凸性的判定凹凸性判斷的充分條件：設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),如果在內(nèi)的每一點(diǎn),恒有,則曲線在內(nèi)是凹的； 如果在內(nèi)的每一點(diǎn),恒有,則曲線在內(nèi)是凸的.3)拐點(diǎn)的判定拐點(diǎn)的定義：設(shè)在區(qū)間上連續(xù),是的內(nèi)點(diǎn),如果曲線在經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),曲線的凹凸性改變了,那么就稱點(diǎn)為該曲線的拐點(diǎn).拐點(diǎn)存在的必要條件：點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)的必要條件是或不存在.拐點(diǎn)

15、存在的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且二階可導(dǎo)(或可以不存在),在的左右兩邊的符號(hào)相反,則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).拐點(diǎn)存在的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)三階可導(dǎo),而,則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).注：確定曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的程序：1)確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；2)計(jì)算二階導(dǎo)數(shù),求出的根及不存在的連續(xù)點(diǎn)；3)用上述各點(diǎn)由小到大將定義域分成若干子區(qū)間,討論每個(gè)子區(qū)間二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),以確定曲線的凹向并求出拐點(diǎn).(5)漸近線1)漸近線的概念當(dāng)曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),若動(dòng)點(diǎn)與某一定直線的距離趨于零,則稱該直線為曲線的漸近線.2)曲線漸近線的分類與求法水平漸近線：若,其中為常數(shù),則稱為的水平漸近線.鉛垂

16、漸近線：中至少有一個(gè)是無(wú)窮大,則稱為的鉛垂?jié)u近線.斜漸近線：存在且不為零,又也存在(或存在且不為零,又也存在),則稱直線為的斜漸近線.(6)曲率(數(shù)一、數(shù)二)1)弧微分設(shè)是平面內(nèi)的光滑曲線,則弧微分若曲線方程為,則弧微分為.2)曲率設(shè)和是曲線上不同的兩點(diǎn),弧的長(zhǎng)為,當(dāng)點(diǎn)沿曲線到達(dá)點(diǎn)時(shí),點(diǎn)處的切線所轉(zhuǎn)過(guò)的角為,則稱極限為該曲線在點(diǎn)處的曲率.曲率計(jì)算公式若曲線方程為,則.若曲線由參數(shù)方程給出,則.曲率半徑：.曲率圓：在點(diǎn)的法線上,凹向這一邊取一點(diǎn),使,則稱為曲率中心,以為圓心,為半徑的圓周稱為曲率圓.到此處為第6課時(shí)2.記憶方法 結(jié)合幾何意義研究函數(shù)的性態(tài).3.例題講解【例3.11】二階可導(dǎo),是的

17、極值點(diǎn),則 ( ) 是的極大值點(diǎn)是的極小值點(diǎn) 不是的極大值點(diǎn)不能確定是否為的極大值點(diǎn)(1)選題依據(jù)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.(2)講解過(guò)程：1)【解析】由取得極值的必要條件,由取得極值的第二充分條件,在處取得極大值,所以選A. 2)備注：注意結(jié)合第一、第二充分條件講解.【例3.12】曲線的漸近線的條數(shù)為( ) 1. 2. 3. 4.(1)選題依據(jù)：輔助理解基本概念.(2)講解過(guò)程：【解析】所以是一條鉛直漸近線；所以是一條鉛直漸近線；所以是沿方向的一條水平漸近線；又 所以也是一條漸近線,所以共有4條,故選(D).【例3.13】若不變號(hào),且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為,則在區(qū)間內(nèi) ( )有極值點(diǎn),無(wú)零點(diǎn).

18、 無(wú)極值點(diǎn),有零點(diǎn). 有極值點(diǎn),有零點(diǎn). 無(wú)極值點(diǎn),無(wú)零點(diǎn).(1)選題依據(jù)：曲線和曲率圓有相同的切線,曲率圓能反映曲線的凹凸性.(2)講解過(guò)程：【解析】由題意可知,是一個(gè)凸函數(shù),即,且在點(diǎn)處的曲率,而,由此可得,在上,即單調(diào)減少,沒(méi)有極值點(diǎn).對(duì)于, (拉格朗日中值定理)而 .由零點(diǎn)定理知,在上,有零點(diǎn). 故應(yīng)選.三、典型例題【例3.14】設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且在內(nèi)可導(dǎo),試證：對(duì)任意的實(shí)數(shù),存在一點(diǎn)使得 (1)選題依據(jù)：運(yùn)用羅爾定理證明等式.(2)講解過(guò)程：1)分析：先把結(jié)論變型,即有,這是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處的值為0的形式,由此確定輔助函數(shù).2)書寫：證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù),設(shè),則函數(shù)在上連續(xù),且在內(nèi)可

19、導(dǎo).由羅爾中值定理,存在一點(diǎn)使得,即所以 又因?yàn)闀r(shí),所以所以 3)備注:注意引導(dǎo)學(xué)生找到解題思路.到此為第7課時(shí)【例3.15】設(shè) 試證至少存在一點(diǎn)使得(1)選題依據(jù)：運(yùn)用拉格朗日定理證明等式.(2)講解過(guò)程：1)分析：先整理結(jié)論為,由此推出輔助函數(shù)的形式為,再驗(yàn)證條件滿足拉格朗日中值定理.2)書寫：證明：設(shè),因?yàn)?所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理,至少存在一點(diǎn)使得,即 【例3.16】設(shè)常數(shù),證明當(dāng)時(shí),(1)選題依據(jù)：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形態(tài) .(2)講解過(guò)程：1)分析：證明不等式,一般可以用單調(diào)性來(lái)證明.2)書寫：證明：由知, ,令,得.當(dāng)時(shí),所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此,當(dāng)時(shí),所以函數(shù)單調(diào)遞減

20、,因此,當(dāng)時(shí),所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此.綜上,函數(shù).【例3.17】設(shè)常數(shù),求函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)選題依據(jù)：利用導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值或中值定理可以證明方程根的個(gè)數(shù)或函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)講解過(guò)程：1)分析：判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于判定函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).2)書寫：對(duì)函數(shù)兩邊對(duì)求導(dǎo),得 .令,解得唯一駐點(diǎn),即 所以是極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),最大值為.又因?yàn)?,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在與各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(不相同).故函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.【例3.18】已知的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且,則在點(diǎn)處 ( ) 不可導(dǎo). 可導(dǎo),且 取得極大值. 取得極小值.(1)選題依據(jù)：根據(jù)極限的保號(hào)性及極值的定義直接判斷極值點(diǎn)(2)講解過(guò)程：1)分析：由選項(xiàng)知,此題在考察函數(shù)在0點(diǎn)出的可導(dǎo)性及是否取得極值.2)書寫：,由極限的保號(hào)性,在的某個(gè)鄰域內(nèi),有即,所以在點(diǎn)處取得極小值.故選【例3.19】設(shè)在連續(xù),除外二階可導(dǎo).其的圖形如圖,則 ( )y(A) 有兩個(gè)極大值點(diǎn),一個(gè)極小值點(diǎn),一個(gè)拐點(diǎn).x(B) 有兩個(gè)極大值點(diǎn),一個(gè)極小值點(diǎn),兩個(gè)拐點(diǎn).(C) 有一