如何復(fù)習(xí)研線代概率考研

1、歡迎各位同學(xué)光臨歡迎各位同學(xué)光臨今天的講座應(yīng)該不會(huì)令各位失望！今天的講座應(yīng)該不會(huì)令各位失望！如何復(fù)習(xí)考研線代概率如何復(fù)習(xí)考研線代概率 眾所周知，線代和概率在考研數(shù)學(xué)中各34分(1個(gè)填空，2個(gè)選擇，2個(gè)解答或證明)，約占45%?？梢?jiàn)，線代概率在考研數(shù)學(xué)中與高數(shù)幾乎擁有同樣的地位。 然而，與高數(shù)相比，線代概率理論抽象，計(jì)算復(fù)雜，且概念定理眾多。許多考生在考研復(fù)習(xí)過(guò)程中普遍感到這兩門(mén)課內(nèi)容繁雜，重難點(diǎn)不清晰，缺乏明確的復(fù)習(xí)思路，復(fù)習(xí)效率較低。 其實(shí)，由于題目數(shù)量所限，加之重點(diǎn)內(nèi)容的集中度遠(yuǎn)高于高數(shù)，只要根據(jù)線代概率的內(nèi)容體系，結(jié)合歷年考題，即可制定出這兩門(mén)課的科學(xué)、合理、高效的復(fù)習(xí)策略與計(jì)劃，完全可

2、以用不太多的時(shí)間和精力取得較好的成績(jī)，事半功倍！ 下面首先展示歷年考題的分析結(jié)果，然后給出線代概率的重點(diǎn)內(nèi)容與復(fù)習(xí)策略,最后簡(jiǎn)要介紹暑期面授班的工作思路。一、歷年考題統(tǒng)計(jì)分析一、歷年考題統(tǒng)計(jì)分析 歷年真題不僅是最好的模擬題(尤其是前10年考題)，而且是未來(lái)幾年出題的風(fēng)向標(biāo)(特別是近幾年考題)。分析、研究歷年真題既可以準(zhǔn)確把握重點(diǎn)內(nèi)容，還可以在一定程度上進(jìn)行預(yù)測(cè)。 需要指出的是，這里所說(shuō)的預(yù)測(cè)是指對(duì)內(nèi)容和題型的推斷, 而不是所謂的猜題。任何考研輔導(dǎo)班和名師對(duì)具體題目的猜測(cè)都是不靠譜的。 本人統(tǒng)計(jì)、分析了19872013共27年考研數(shù)學(xué)中的線代概率考點(diǎn)?？紤]到2003年起，考研數(shù)學(xué)分值改為150分

3、，線代概率題型相對(duì)固定，下面給出20032013共11年考研數(shù)學(xué)中的線代概率考點(diǎn)和題型分布圖，相信各位不難從中發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 圖圖1 線代考點(diǎn)分布線代考點(diǎn)分布 圖圖2 線代題型分布線代題型分布 圖圖3 概率考點(diǎn)分布概率考點(diǎn)分布 圖圖4 概率題型分布概率題型分布 上述統(tǒng)計(jì)圖很清楚地表明： 1. 考研線代最重要的內(nèi)容是線性方程組, 其次是相似對(duì)角化與二次型。兩個(gè)大題幾乎均來(lái)自上述兩部分內(nèi)容。 2. 考研概率最重要的內(nèi)容是二維分布和參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)幾乎每年均有大題,而另一個(gè)大題通常來(lái)自二維分布或數(shù)字特征。 下面根據(jù)上述分析結(jié)果，結(jié)合近幾年的具體考點(diǎn)，分別給出考研線代和概率的各章節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容

4、及復(fù)習(xí)策略，并對(duì)2014年考研線代和概率的考點(diǎn)及題型做出推斷和預(yù)測(cè)。二、線代重點(diǎn)內(nèi)容與復(fù)習(xí)策略二、線代重點(diǎn)內(nèi)容與復(fù)習(xí)策略1. 行列式行列式 行列式絕對(duì)不是考研線代中的重點(diǎn)，近11年僅考過(guò)4個(gè)填空題，內(nèi)容均為與矩陣相關(guān)的行列式計(jì)算。另外，在計(jì)算和證明題中，各出現(xiàn)過(guò)一次用展開(kāi)法則計(jì)算4階和n階行列式。 考生只須熟悉行列式的性質(zhì)、展開(kāi)法則、克萊姆法則，注意矩陣與行列式的混合運(yùn)算即可。2. 矩陣矩陣 矩陣也不是考研線代中的重點(diǎn)，近11年也僅考過(guò)1個(gè)填空題，7個(gè)選擇題，內(nèi)容多為初等變換與初等矩陣的關(guān)系。但考慮到矩陣的相關(guān)概念及運(yùn)算是線代的基礎(chǔ)，在后續(xù)內(nèi)容中有著重要的應(yīng)用，下面給出本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略

5、。 (1) 逆矩陣的概念、運(yùn)算性質(zhì)及逆矩陣的兩種計(jì)算方法。 (2) 分塊矩陣行列式及逆矩陣的計(jì)算。 (3) 初等變換與初等矩陣初等變換與初等矩陣。 這是本章節(jié)中最重要的內(nèi)容?？忌欢ㄒ獦O為熟悉初等變換與初等矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟悉與初等矩陣相關(guān)的結(jié)論。如：a可逆的充要條件是a可表示為若干初等矩陣的乘積；a與b等價(jià)的充要條件是存在可逆陣p,q，使a=pbq。 (4) 矩陣秩的概念與求法。 這里，特別提醒注意下列知識(shí)點(diǎn)： (1) 伴隨矩陣及其相關(guān)結(jié)論。(4次) (2) 若a,b為非零列向量，則a=abt的充要條件是r(a)=1。(3次) (3) 秩的某些重要性質(zhì)，如： 若a可逆，則r(ab)=r(a)

6、。 r(ab)minr(a),r(b)。 r(a+b)r(a)+r(b)。 若ab=o，則r(a)+r(b)n。(4次)3. 向量向量 向量在考研線代中較為重要，近11年考過(guò)2個(gè)填空題，8個(gè)選擇題，1個(gè)證明題，內(nèi)容多為向量組的線性相關(guān)性。本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略如下： (1) 向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)。 這是本章節(jié)中最重要的內(nèi)容?？忌欢ㄒ斫饩€性相關(guān)性的概念，熟悉線性相關(guān)性的一些結(jié)論。如， 向量組線性相關(guān)的充要條件是至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。 部分相關(guān)，全體相關(guān)；全體無(wú)關(guān)，部分無(wú)關(guān)。 (2) 向量組等價(jià)的概念及判定。 (3) 向量空間的基、維數(shù)、過(guò)渡矩陣

7、。 這是許多學(xué)生容易忽略的簡(jiǎn)單內(nèi)容，近11年也考過(guò)3次。 復(fù)習(xí)本部分內(nèi)容需要注意下列問(wèn)題： (1) 已知一向量組的線性相關(guān)性，討論另一向量組的線性相關(guān)性。 (2) 向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)的區(qū)別。 (3) 秩在判定向量組的線性相關(guān)性及向量組等價(jià)等問(wèn)題中的作用。 向量的內(nèi)容時(shí)常與其它內(nèi)容相結(jié)合綜合考查。 2013年考研線代中，行列式部分出了1個(gè)填空，矩陣和向量部分出了1個(gè)選擇。 填空題改編自92年數(shù)5或94年數(shù)1,2中一計(jì)算題，用到了行列式展開(kāi)法則及伴隨矩陣相關(guān)知識(shí)，有一定難度，難以預(yù)測(cè)。 例例1 設(shè)a=(aij)是3階非零矩陣，aij是aij的代數(shù)余子式。若aij+aij=0，則|a|=( )。

8、分析分析 看到了代數(shù)余子式aij應(yīng)該立刻聯(lián)想到什么內(nèi)容？ 提到伴隨矩陣一定要熟悉那些結(jié)果？ 由 ，得 ，從而，又 ，故 。 因a非零，即存在 ，將|a|按第i行展開(kāi)，故 。ijijaa *taa 3*1ttaaaa 12*naaa0,1a 0ija 1122332221230iiiiiiiiiaa aa aa aaaa 1a 選擇題較為常規(guī)，只要根據(jù)初等變換與初等矩陣的相關(guān)知識(shí)即可得出結(jié)論。 例例2 設(shè)矩陣a, b均為n階矩陣，若ab= c，且b可逆，則( )。a. 矩陣c的行向量組與a的行向量組等價(jià)b. 矩陣c的列向量組與a的列向量組等價(jià)c. 矩陣c的行向量組與b的行向量組等價(jià)d. 矩陣c的

9、列向量組與b的列向量組等價(jià) 分析分析 考研線代矩陣中最常見(jiàn)的考點(diǎn)是什么，要熟記什么結(jié)論？ 由b可逆知，b可表示為若干初等矩陣的乘積, 即b=p1p2pk, 從而ap1p2pk=c。 又用初等矩陣右乘矩陣等價(jià)于對(duì)此矩陣做相應(yīng)的初等列變換，即矩陣a的列向量組經(jīng)初等變換后變?yōu)閏的列向量組，故a的列向量組與c的列向量組等價(jià)。 注注 矩陣a與c顯然等價(jià)。4. 線性方程組線性方程組 線性方程組在考研線代中極為重要，近11年考過(guò)2個(gè)選擇題，10個(gè)解答或證明題，內(nèi)容多為含參數(shù)方程組的討論。本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略如下： (1) 線性方程組解的判定與求解線性方程組解的判定與求解。 這是本章節(jié)中最重要的內(nèi)容?？忌?/p>

10、一定要熟悉齊次和非齊次線性方程組解的判定法則，掌握線性方程組兩種求解方法。 (2) 基礎(chǔ)解系的概念與性質(zhì)。 (3) 齊次和非齊次線性方程組解的通解結(jié)構(gòu)。 復(fù)習(xí)本部分內(nèi)容特別要注意： (1) 含參數(shù)方程組的討論題型是重中之重，幾乎年年必考。 (2) 從向量空間角度理解基礎(chǔ)解系。 (3) 許多問(wèn)題特別是向量組的線性相關(guān)性問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化為線性方程組問(wèn)題。 2013年考研線代中的第1個(gè)大題是線性方程組，這毫無(wú)懸念。但此題題目新穎，不太容易與線性方程組相聯(lián)系。 例例3 設(shè) , 當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在c，使得ac-ca=b，并求所有矩陣c。 有興趣的同學(xué)可以一試。101,101aabb5. 特征值、特征向量

11、與相似對(duì)角化特征值、特征向量與相似對(duì)角化 本部分內(nèi)容在考研線代中非常重要，近11年考過(guò)3個(gè)填空題，3個(gè)選擇題，5個(gè)解答題，內(nèi)容多為特征值特征向量的概念與性質(zhì)，相似矩陣的性質(zhì)及對(duì)角化的判定與計(jì)算。本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略如下： (1) 特征值特征值(向量向量)的概念的概念, 性質(zhì)與計(jì)算性質(zhì)與計(jì)算。 這是本章及下章中最基礎(chǔ)的內(nèi)容，考生一定要熟練掌握。 (2) 相似矩陣的概念與性質(zhì)。 (3) 可對(duì)角化的條件。 復(fù)習(xí)本部分內(nèi)容需要注意下列問(wèn)題： (1) 特征向量的線性相關(guān)性。 (2) 相似矩陣有相同的行列式、特征值關(guān)系式的靈活運(yùn)用。 (3) 有重特征值時(shí)可對(duì)角化的條件。 (4) 已知特征值和 (部分)

12、 特征向量時(shí)求原矩陣。 2013年考研線代中的第2個(gè)選擇題是關(guān)于相似矩陣的性質(zhì)，較簡(jiǎn)單，也易預(yù)測(cè)。 例例4 矩陣 相似的充要條件是( )。a. a=0, b=2 b. a=0, b任意c. a=2, b=0 d. a=2, b任意 相信在座的大部分同學(xué)都可以完成此題。11200, 0011000aababa 6. 二次型二次型 本部分在考研線代中同樣非常重要，近11年考過(guò)1個(gè)填空題，2個(gè)選擇題，5個(gè)解答或證明題，內(nèi)容幾乎均為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，個(gè)別題涉及矩陣正定或合同。本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略如下： (1) 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。 這是本章中最核心的內(nèi)容，考生一定

13、要熟練掌握。 (2) 正定矩陣的概念、性質(zhì)與判定。 這里，提出一個(gè)“高檔”問(wèn)題：如何判定矩陣間的等價(jià)、相似、合同，如何理解這三個(gè)概念間的關(guān)系？ 上述問(wèn)題27年來(lái)僅考過(guò)2個(gè)選擇題，但若你通過(guò)努力搞清三個(gè)概念的本質(zhì)含義、判定方法、聯(lián)系與區(qū)別，相信你的線代水平提高的不是一點(diǎn)點(diǎn)。 2013年考研線代中的第2個(gè)大題是二次型，這在意料之中。但此題是證明二次型的矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形，而不是計(jì)算二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并且要用到許多考生不太熟悉的秩的相關(guān)結(jié)論(r(a+b)r(a)+r(b), r(abt)= 1)，題目新穎，有一定難度，無(wú)法預(yù)測(cè)。 例例5 設(shè)二次型21231 12 23 321 12 23 3,2f x xx

14、a xa xa xb xb xb x(1) 證明二次型f 對(duì)應(yīng)的矩陣為 ；(2) 若,正交且均為單位向量，證明二次型f 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 。 112233,ababab2tt 22122yy三、概率重點(diǎn)內(nèi)容與復(fù)習(xí)策略三、概率重點(diǎn)內(nèi)容與復(fù)習(xí)策略1. 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率 本部分在考研概率中不太重要，近11年考過(guò)3個(gè)填空題, 2個(gè)選擇題, 1個(gè)解答題，內(nèi)容涉及全概率公式以及用加法、乘法公式求簡(jiǎn)單概率。 考生只須熟悉加法公式、乘法公式、全概率公式及古典概型、幾何概型即可。2. 一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布 本部分在考研概率中不太重要，近11年考過(guò)3個(gè)填空，4個(gè)選擇，1個(gè)解答

15、題，涉及密度函數(shù)的性質(zhì)，正態(tài)分布、指數(shù)分布概率的計(jì)算，隨機(jī)變量函數(shù)的分布(*)。 考生要熟悉7種常用分布，分布函數(shù)和密度函數(shù)的性質(zhì)，特別是正態(tài)分布的性質(zhì)與計(jì)算，還應(yīng)熟悉隨機(jī)變量函數(shù)的分布的計(jì)算方法。3. 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布 本部分是考研概率中最重要的兩個(gè)內(nèi)容之一，近11年考過(guò)2個(gè)填空題, 5個(gè)選擇題，7.5個(gè)解答題，內(nèi)容包括二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，二維隨機(jī)變量概率的計(jì)算。本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略如下： (1) 二維均勻分布和二維正態(tài)分布。 (2) 聯(lián)合分布和邊緣分布。 (3) 二維隨機(jī)變量概率的計(jì)算。 這是本章考生必須熟練掌握的技能。 (4) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨

16、機(jī)變量函數(shù)的分布。 這是本章中最重要的內(nèi)容，考生一定要熟練掌握。要特別注意非獨(dú)立連續(xù)隨機(jī)變量線性組合的分布，離散隨機(jī)變量和的分布，離散和連續(xù)隨機(jī)變量和的分布。此外，還要熟記最大(小)值的分布。4. 數(shù)字特征數(shù)字特征 本部分是考研概率中較重要的內(nèi)容，近11年考過(guò)3個(gè)填空題, 5個(gè)選擇題，2.5個(gè)解答題，內(nèi)容包括二維分布協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，常用分布的期望和方差。本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略如下： (1) 7種常用一維分布的期望和方差。 (2) 期望和方差的性質(zhì)與計(jì)算公式。 (3) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算。 (4) 隨機(jī)變量獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系。 本部分要特別注意二維離散分布的協(xié)

17、方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算。此外，還要注意二維正態(tài)隨機(jī)變量獨(dú)立與不相關(guān)的特殊關(guān)系。5. 大數(shù)定律，中心極限定理，統(tǒng)計(jì)分布大數(shù)定律，中心極限定理，統(tǒng)計(jì)分布 本部分是概率中不太重要的內(nèi)容，近11年單獨(dú)考過(guò)4個(gè)選擇題, 1個(gè)解答題，包括三大統(tǒng)計(jì)分布及正態(tài)分布的抽樣分布。 考生應(yīng)熟悉切比雪夫不等式，三大分布的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，正態(tài)分布的某些常用抽樣分布。 需要提醒各位的是，上述內(nèi)容往往與參數(shù)估計(jì)和無(wú)偏性綜合考查。6. 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 本部分是考研概率中最重要的內(nèi)容，近11年考過(guò)2個(gè)填空題，9個(gè)解答題，主要包括矩估計(jì)和最大似然估計(jì)，無(wú)偏性。 本章的重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)策略如下： (1) 矩估計(jì)和最大似然估計(jì)矩估計(jì)和最大

18、似然估計(jì)。 這是本章中最重要的內(nèi)容，考生一定要熟練掌握離散和連續(xù)兩種類(lèi)型的估計(jì)方法以及最大似然估計(jì)的非常規(guī)題型。 (2) 估計(jì)量的無(wú)偏性。 考慮到試題的覆蓋面和綜合性，參數(shù)估計(jì)和無(wú)偏性有時(shí)會(huì)與三大分布和正態(tài)分布的抽樣分布綜合考查。此類(lèi)綜合題往往計(jì)算量較大，有一定難度，屬壓軸題。 下面給出2013年考研概率的5個(gè)題目： 例例6 設(shè)x1,x2,x3是隨機(jī)變量，且則( )。a.p1p2p3 b.p2p1p3 c.p3p1p2 d. p1p3p2 此題僅涉及正態(tài)分布，較簡(jiǎn)單。 例例7 設(shè)隨機(jī)變量 ，給定 ，常數(shù)c滿足 , 則221230,1 ,0,2,5,3,221,2,3 ,iixnxnxnppxi

19、 ,1,xt nyfn00.5p xc ( )。a. b. 1- c. 2 d. 1-2 本題涉及到t分布和f分布，且要熟悉結(jié)論“若xt(n)，則x2f(1,n)”，有難度。 例例8 設(shè)隨機(jī)變量y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a0為常數(shù)，則 此題可用常規(guī)條件概率計(jì)算，也可用指數(shù)分布的無(wú)記憶性計(jì)算，難度不大。 例例9 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為2p yc1p yaya 令隨機(jī)變量 (1) 求y的分布函數(shù)；(2) 求概率 。 本題表面為二維分布，其實(shí)可轉(zhuǎn)化為一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，有一定難度。 例例10 設(shè)總體x的概率密度為 2, 03,40,xxf x其它,p xy2,1,12,1,2.xyxxx 23,

20、0,0,xexf xx其它其中為未知參數(shù)且大于零， 為總體x的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。(1) 求的矩估計(jì)量；(2) 求的最大似然估計(jì)量。 本題為常規(guī)題型，容易預(yù)測(cè)，且比較簡(jiǎn)單。12,nxxx四、四、2014年線代概率預(yù)測(cè)年線代概率預(yù)測(cè) 下面根據(jù)歷年特別是近幾年考題，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，對(duì)2014年考研線代概率的題型內(nèi)容做大膽預(yù)測(cè)。若差之毫厘，純屬偶然；若謬之千里，權(quán)做笑談。1. 2014考研線代題型預(yù)測(cè)考研線代題型預(yù)測(cè) (1) 第一個(gè)解答題毫無(wú)疑問(wèn)是線性方程組，題型推斷為含參數(shù)方程組解的討論，且與向量組的線性相關(guān)性相綜合。 (2) 第二個(gè)解答題應(yīng)該是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的似對(duì)角化。 (3) 填空題是關(guān)于二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

21、。 (4) 第一個(gè)選擇題一定是矩陣，題型為初等變換與初等矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系或由矩陣等式判定可逆性。 (5) 第二個(gè)選擇題應(yīng)該是向量，內(nèi)容可能與秩有關(guān)。2. 2014考研概率題型預(yù)測(cè)考研概率題型預(yù)測(cè) (1) 第一解答題必是二維分布，題型為二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布與概率的計(jì)算。 (2) 第二個(gè)解答題應(yīng)該是參數(shù)估計(jì)，內(nèi)容可能是無(wú)偏性與方差的計(jì)算。 (3) 填空題可能是第一章中簡(jiǎn)單概率的計(jì)算。 (4) 第一個(gè)選擇題可能是一維分布的性質(zhì)或概率的計(jì)算。 (5) 第二個(gè)選擇題應(yīng)該是協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)的計(jì)算。 需要指出的是，上述僅僅是根據(jù)歷年考題和經(jīng)驗(yàn)給出的統(tǒng)計(jì)推斷，只具有參考意義。即使預(yù)測(cè)全部正確，也不可能保證在考試中取得好成績(jī)，因?yàn)橥?/p>