定積分的概念上課

1、 xy0直線直線xy0幾條線段連成的幾條線段連成的折線折線xyo曲線曲線探究思考問題問題1：你能求出下面圖像的面積嗎？：你能求出下面圖像的面積嗎？問題問題2：第三幅圖的面積應(yīng)該怎么求呢？：第三幅圖的面積應(yīng)該怎么求呢？ 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。圖形叫做曲邊梯形。ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積x=ax=b 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線l來代替點(diǎn)來代替點(diǎn)p附附近的曲線，也就是說：在點(diǎn)近的曲線，也就是說：在點(diǎn)p附近，曲

2、線可以看附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍作直線（即在很小范圍“內(nèi)以直代曲內(nèi)以直代曲” ）p放大放大再放大再放大pp“以直代曲以直代曲,無限逼近無限逼近 ”的數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)思想 y = f(x)bax yo a1a a1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積a a1 1近似代替曲邊梯形近似代替曲邊梯形的面積的面積a a，得，得a a1+ a2用兩個(gè)矩形的面積用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形近似代替曲邊梯形的面積的面積a，得，得 y = f(x)bax yoa1a2a a1+ a2+ a3+ a4用四個(gè)矩形的面積用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形近似代替曲邊梯形的面積的面積a， 得得 y = f

3、(x)bax yoa1a2a3a4 y = f(x)bax yoa a1+ a2 + + an 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩個(gè)小曲邊梯形，并用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積，形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯于是曲邊梯形的面積形的面積a a近似為近似為a1aian 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 2 2曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 求曲邊梯形的面積即求曲邊梯形的面積即求求 下的面積下的面積)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲邊梯形，分成很窄的小曲邊梯形， 然后用矩形面積代后求和。然后用矩形面積代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似

4、地用矩形面積代替可近似地用矩形面積代替在不很窄時(shí)怎么辦？在不很窄時(shí)怎么辦？ 以直代曲以直代曲 oabxy)(xfy oabxy)(xfy例例1.1.求拋物線求拋物線y y= =x x2 2、直線、直線x x=1=1和和x x軸所圍成的曲邊軸所圍成的曲邊梯形的面積。梯形的面積。 n1n2nknnxoy解析解析: :把底邊把底邊0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線線, , 這樣曲邊三角形被分成這樣曲邊三角形被分成n n個(gè)窄條個(gè)窄條, , 用矩形來近似代替用矩形來近似代替, ,然后把這些小矩形的面積加起來然后把這些小矩形的面積加起來, , 得到一

5、個(gè)近似值，再取得到一個(gè)近似值，再取其極限值。其極限值。2xy 探究思考把區(qū)間把區(qū)間00，11等分成等分成n n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 每個(gè)區(qū)間的長度為ii-11ii-11 x =-=x =-=nnnnnn過各區(qū)間端點(diǎn)作過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個(gè)小個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.s,s,s,sni21 1 1n n2 2n nknnnxoy2yxi-1iffnni-1ninifni-1fn 如圖，當(dāng)如圖，當(dāng)n n很很大時(shí)，即大時(shí)，即x x很小很小時(shí)，在區(qū)間時(shí)，在區(qū)間 上可以認(rèn)為函數(shù)上可

6、以認(rèn)為函數(shù) 的值變化很小的值變化很小. .i - 1i,nn2y = x 把曲邊梯形分成把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形面積記個(gè)小曲邊梯形面積記做做 .用小矩形的面用小矩形的面積積 近似地替代近似地替代 即局部小范圍內(nèi)即局部小范圍內(nèi)“以以直代曲直代曲”.2ii2i-1i-1ss = fx =xnni-11=i =1,2,n .nnisi i s sis則陰影部分面積則陰影部分面積ns 2nni = 1i = 1nnii = 12222233s= s=111n - 11= 0+nnnnn1=1+ 2+n - 1nn - 1n2 n - 11=n6111=1 -i - 1i - 11f x =1 -3

7、n2nnnnn111ss =1-1-3n2n得到得到s s（曲邊梯形面積）（曲邊梯形面積）的近似值的近似值：當(dāng)當(dāng)分分割割的的份份數(shù)數(shù)無無限限增增多多, ,即即n n, ,x x0 0時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng)n趨向于無窮大，即趨向于無窮大，即 趨向于趨向于0時(shí)，時(shí)， 趨向于趨向于s.從而有從而有xxn111s =1-1-3n2n nni = 1nnns = lim s=1111= lim1 -11-=3n2i - 1limfnnn3 分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積。 n1n2nknn21112222

8、223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiissfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xoy解解把底邊把底邊0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線, , 這樣曲邊三角形被分成這樣曲邊三角形被分成n n個(gè)窄條個(gè)窄條, , 用矩形來近似代替用矩形來近似代替, ,然后把然后把這些小矩形的面積加起來這些小矩形的面積加起來, , 得到一個(gè)近似值得到一個(gè)近似值: :2xy 因此因此, , 我們有理由相我們有理由相信信, , 這個(gè)曲邊三角形這個(gè)曲邊三角形的面積為的面積為: :

9、lim111lim1261.3nnnssnn求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi 1, xi，第，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用個(gè)小曲邊梯形的面積用高為高為f(x xi)而寬為而寬為 x的小矩形面積的小矩形面積f(x xi) x近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積s為為 取取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積s的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yobaxi+1xix1lim( )ninisfxx1( )niisfxx (1)

10、分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn),將它等分成將它等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度每個(gè)小區(qū)間寬度xban 11211,iina xx xxxxb引入引入 如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t t的速度為的速度為 (t(t的單位：的單位：h h，v v的單位：的單位：km/h)km/h)，那么它在，那么它在 這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s s（單位：（單位：kmkm）是）是多少？多少？2v(t)=-t +20t1 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程探究思考nnss lim 結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為結(jié)

11、合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程汽車行駛的路程s和由直線和由直線t=0，t=1,v=0和和曲線曲線 所圍成的曲邊梯形的面所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？積有什么關(guān)系？2v(t)=-t +2 在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將它等分成個(gè)分點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：112n - 10 , 1nnnn 記第記第i i個(gè)區(qū)間為個(gè)區(qū)間為 ，其長度為：其長度為：i-1 i,i =1,2,nnnii-11t =-=nnn 當(dāng)當(dāng)n很大，即很大，即 很小時(shí)，在區(qū)間很小時(shí)，在區(qū)間 上，函數(shù)上，函數(shù) 的變化值很小，的變化值很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)近似地等于

12、一個(gè)常數(shù). 從物理意義上看，就是汽車在從物理意義上看，就是汽車在時(shí)間段時(shí)間段 上的速度上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻刻 處的速度作處的速度作勻速行駛勻速行駛.i - 1i,nnt2v(t)=-t +2i - 1ni -1i,i = 1,2,nnn2ii2i-1i-11s = s = vt = -+2nnni-112= -+i =1,2,nnnn在區(qū)間在區(qū)間 上，近似地認(rèn)為速度為上，近似地認(rèn)為速度為 即在局部小范圍內(nèi)即在局部小范圍內(nèi) “以勻速代變速以勻速代變速”.i - 1i,nn2i - 1i - 1v=-+ 2nn 由近似代替求得：由近似代替求得： 2

13、nnnii = 1i = 122233ni = 122i - 112-+nnn111n - 11-0-i - 1ss= s=v tn=1= -1+ 2+n - 1+ 2n1(n - 1 )n (2 n - 1 )= -+ 2nn+ 2n6111= -1 -1n-+ 232 nnnnnnnni=1n1i-1s = lims = limvnn1115= lim -1-1-+2 =3n2n3 當(dāng)當(dāng)n趨向于無窮大，即趨向于無窮大，即 趨向于趨向于0時(shí)，時(shí)， 趨向于趨向于s，從而有，從而有n111s =-1-1-+23n2nt一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)

14、為數(shù)為 vv t， 那么我們也可以采用分割、 近似代， 那么我們也可以采用分割、 近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在的方法及無限逼近的思想，求出它在a atb b內(nèi)內(nèi)所作的位移所作的位移s 結(jié)論結(jié)論 從求曲邊梯形面積以及變速直線運(yùn)動(dòng)路程從求曲邊梯形面積以及變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過程可知，它們都可以通過的過程可知，它們都可以通過“四步曲四步曲”：分分割、近似代替、求和、取極限割、近似代替、求和、取極限得到解決，且都得到解決，且都可以歸結(jié)為求一個(gè)特定形式和的極限可以歸結(jié)為求一個(gè)特定形式和的極限.曲邊梯形面積變速直線

15、運(yùn)動(dòng)路程niinniixfnxfs110)(1lim)(limxxniinniitvntvs110)(1lim)(limxx 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一、定積分的概念一、定積分的概念bxxxxxabaxfnii110上連續(xù)，用分點(diǎn)，）在區(qū)間（一般地，如果函數(shù)，）（）（），作和式，（上任取一點(diǎn)，間個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)等分成，將區(qū)間niniiiiiifnabxfnixxnba11121xxx.上的定積分，）在區(qū)間（叫做函數(shù)某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)時(shí)，上述和式無限接近當(dāng)baxfn.lim1niinbabafnabdxxfdxxf）（）（，即）（記作x 概念概念定積分的定義： 定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分

16、號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即oabxy)(xfy sbaf (x)dx； 按定積分的定義，有 (1) 由連續(xù)曲線yf(x) (f(x)0) ，直線xa、xb及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間a, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為 sbav(t)dt。 oab( )vv ttv定積分的定義

17、：1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即112001( )3sf x dxx dx根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yof(x)=x213s 1sd2sd2( )2v tt= -+o ov t t12gggggg3sdjsdnsd1n2n3njn1nn-4sd112005( )(2)3sv t dttdt 根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為正確理解定積分的概念正確理解定積分的概念(),dt();( )( )( )bbbaaaf x dxf u duf t (1)定積分是一個(gè)數(shù)值 極限值 它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上下限 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) 即稱為積分形式的

18、不變性 120320a,b,.( ) ( )(1)(1)baf x d xxdxxdx (2)定積分與積分區(qū)間息息相關(guān) 不同的積分區(qū)間定積分的積分限不同 所得的值也就不同 例如與的值就不同1lim.nbianibaf xdxfnx（ ）（ ）（3 3）. .規(guī)定：規(guī)定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾何意義：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) ab 時(shí)，有baf (x)d

19、x0。 當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 soabxyy=f(x)y=f(x)探究根據(jù)定積分的幾何根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積意義，你能用定積分表示圖中陰影部分表示圖中陰影部分的面積嗎？分的面積嗎？12( )( )bbaasf x dxfx dx 探究探究三三: : 定積分的

20、基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x( g)x(fba babadx)x( gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf badx)x(fk 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fox yab yf (x) 性質(zhì)性質(zhì) 3 不論不論a，b，c的相對(duì)位置如何都有的相對(duì)位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx

21、f (x)dxbcf (x)dx。 cox ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 130.x dx利用定積分的定義，計(jì)算的值例1: 3f xx解：令 在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間0,1等分成等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 每個(gè)小區(qū)每個(gè)小區(qū)間的長度為間的長度為i -1 i, i = 1,2,nin（）ii -11x =-=nnn (1)分割分割 例題例題（2）近似代替，作和）近似代替，作和1n3nnn133n40i=1i=1i=12224ii1x dxs =fx =innn1111 =nn+1=1+n44n213n0nn111x dx

22、 = lim s = lim1+=4n4（3）取極限）取極限ii =(i = 1,2,n)n取，回顧回顧以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f f (x(x0 0) )或或

23、y y|xx|xx0 0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)

24、的形式.回回顧顧p1p2p3p4pttttpp( )yf x=( )y=f x( )y=f x( )y=f xoyxoyxoyxoyx211 .圖圖()1( )2( )3( )4再觀察再觀察-直線和直線和p附近的曲線的貼近程度！附近的曲線的貼近程度！在點(diǎn)在點(diǎn)p附近，曲線附近，曲線f (x)可以用在點(diǎn)可以用在點(diǎn)p處的切線處的切線pt近近似代替似代替 。pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線逐漸向點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)p接近時(shí)接近時(shí),割線割線pq繞著繞著點(diǎn)點(diǎn)p逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無限接近點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)p即即x0時(shí)時(shí),割線

25、割線pq有一個(gè)確定位置有一個(gè)確定位置pt.則我們把直線則我們把直線pt稱為曲稱為曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)p處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線pq的斜的斜率率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個(gè)概念這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲處的導(dǎo)數(shù)的

26、幾何意義，就是曲線線 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率. 即即:0( )kf x切線 故曲線故曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy 例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率

27、 ，得到曲線在點(diǎn)得到曲線在點(diǎn)(x0,f(x0)的的。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的）根據(jù)直線方程的，即即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：例例:高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中， 秒秒 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是對(duì)于水面的高度是 （單位：（單位： ），求運(yùn)動(dòng)員在），求運(yùn)動(dòng)員在 時(shí)的瞬時(shí)時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 06 . 1) 5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 .

28、6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落這說明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約這說明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/ .,.,.附近的變化情況附近的變化情況在在述、比較曲線述、比較曲線請(qǐng)描請(qǐng)描據(jù)圖象據(jù)圖象根根圖象圖象的的數(shù)數(shù)時(shí)間變化的函時(shí)間變化的函示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨它表它表如圖如圖例例

29、21021056943112tttthttth 0l1l2ltho0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)附附近近利利用用曲曲線線在在動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線 .,變化情況在上述三個(gè)時(shí)刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210 1.在函數(shù)在函數(shù) 的的圖像上，圖像上，(1)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義的幾何意義. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0ot (2)請(qǐng)描述，比較曲線分別在請(qǐng)描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減

30、）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thto3t4t0t1t2t (2)請(qǐng)描述，比較曲線分別在請(qǐng)描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（減增（減):增（減）增（減）快慢：快慢：=切線的斜率切線的斜率附近：附近：瞬時(shí)瞬時(shí)變化率變化率（正或負(fù)）（正或負(fù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）畫切線畫切線即：導(dǎo)數(shù)即：導(dǎo)數(shù) 的絕對(duì)值的大小的絕對(duì)值的大小=切線斜率的絕對(duì)值的切線斜率的絕對(duì)值的 大小大小切線的傾斜

31、程度切線的傾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象(2) 曲線在曲線在 時(shí)，切線平行于時(shí)，切線平行于x軸，曲線在軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降附近比較平坦，幾乎沒有升降 0t曲線在曲線在 處切線處切線 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲線附近，曲線 ，函數(shù)在，函數(shù)在 附近單調(diào)附近單調(diào)0t,1t,1t2t如圖，切線如圖，切線 的傾斜程度大于切線的的傾斜程度大于切線的傾斜程度，傾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升遞增遞增2l1l3l4l3t4t上升上升這說明曲線在這說明曲線在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t遞減遞減下降下降小于小于下降下降,3t4t .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時(shí)當(dāng)00001ttxltthtt .,.,附近單調(diào)遞減在即函數(shù)降附近曲線下在所以的斜率處的切線在曲線時(shí)當(dāng)11111102ttthttthltthtt .,.,單調(diào)遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時(shí)當(dāng)12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩