格林函數(shù)以及拉普拉斯方程

1、格林函數(shù) 格林函數(shù)的概念及其物理意義格林函數(shù)法是求解導熱問題的又一種分析解法。從物理上看，一個數(shù)學物理方程是表示一種特定的"場"和產(chǎn)生這種場的"源"之間的關(guān)系。例如，熱傳導方程表示溫度場和熱源之間的關(guān)系，泊松方程表示靜電場和電荷分布的關(guān)系，等等。這樣，當源被分解成很多點源的疊加時，如果能設(shè)法知道點源產(chǎn)生的場，利用疊加原理,我們可以求出同樣邊界條件下任意源的場，這種求解數(shù)學物理方程的方法就叫格林函數(shù)法.而點源產(chǎn)生的場就叫做格林函數(shù)。 物體中的溫度分布隨時間的變化是由于內(nèi)熱源、邊界的熱作用以及初始溫度分布作用的結(jié)果。這些熱作用都可以看做廣義上的熱源。從時間的

2、概念上說，熱源可以使連續(xù)作用的，如果作用的時間足夠短，則可以抽象為瞬時作用的熱源。同樣的熱源在空間上是有一定分布的，但如果熱源作用的空間尺度足夠小，也可以抽象為 點熱源 、線熱源和面熱源。在各種不同種類的熱源中，瞬時點熱源 雖然僅是一種數(shù)學上的抽象，卻有著重要的意義，因為在其他的各種熱源都可以看作是許多瞬時熱源的集合，即把空間中的熱源看成是在空間中依次排列著的許多點熱源，在特定的幾何條件的導熱系統(tǒng)中，在齊次邊界條件和零初始條件下單位強度的瞬時點熱源所產(chǎn)生的溫度場稱為熱源函數(shù)，或稱格（Green)函數(shù)。對于二維和一維導熱問題，也把由線熱源和面熱源引起的溫度場稱為相應的格林函數(shù)。對于線性的導熱問題

3、，由各種復雜的熱源引起的溫度場可以由許多這樣的瞬時熱源引起的溫度場疊加得到，數(shù)學上即成為某種幾分。這就是熱源法，或稱格林函數(shù)法，求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的基本思路。采用格林函數(shù)法可以求解帶有隨時間變化的熱源項且具有非齊次邊界條件的導熱微分方程，對于一維、二維和三維問題的解在形式上都可以表示的非常緊湊，而且解的物理意義比較清楚。格林函數(shù)法可以來求解不同類型的偏微分方程，包括線性的橢圓形的偏微分方程（如帶有熱源項的穩(wěn)態(tài)導熱問題）以及雙曲型偏微分方程（如力學中的震動問題）。在此僅討論用格林函數(shù)法求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題。用格林函數(shù)法求解的困難在于找到格林函數(shù)，而格林函數(shù)的形式取決于特定問題的具體條件，包括幾何條

4、件（即有限大、半無限大或無限大）、邊界條件和坐標系的選取。因此用格林函數(shù)法求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題首先需要對特定定解條件的導熱系統(tǒng)確定其格林函數(shù)。本方法的第二個要點是確定有內(nèi)熱源和非齊次邊界條件的一般導熱問題的溫度分布與格林函數(shù)的關(guān)系。本節(jié)從幾個較簡單的例子開始介紹格林函數(shù)法在解決穩(wěn)態(tài)導熱問題中的應用，再推廣到更為一般的情況。“瞬時”和“點”熱源的概念在數(shù)學上都可用狄克拉分布函數(shù)，簡稱函數(shù)，來表示。函數(shù)的定義為空間變量的三維函數(shù)在直角坐標系中等同于三個坐標量的函數(shù)的乘積，即。這樣，´時刻作用在空間某一點r´、強度在數(shù)量上等于cJ的瞬時點熱源可寫作或在直角坐標系中表示為因此，作用在

5、處的強度為c的瞬時面熱源應為c（´）。由這樣的熱源在齊次邊界條件和零初始條件下引起的溫度分布稱為格林函數(shù)。其中自變量第一部分表示該溫度分布是空間坐標r和時間的函數(shù)，第二部分r´和´表示瞬時點熱源的位置和釋放時間。大平壁中的非穩(wěn)態(tài)導熱首先從一個簡單的一維穩(wěn)態(tài)問題來介紹格林函數(shù)法的思路。設(shè)一維平壁有初始溫度分布F(x）和內(nèi)熱源，平壁的一個邊界維持絕熱，另一個邊界受到熱流的作用。該問題的數(shù)學描述為首先該導熱系統(tǒng)的格林函數(shù)G，它滿足以下的輔助問題：´時刻以前平壁中沒有熱源的作用，溫度分布應維持為0，而´時刻的瞬時熱源的作用等同于´時刻的初始溫度分布，則以上問題可轉(zhuǎn)化為 一半空間閾中的格林函數(shù)法 拉普拉斯變換求解非穩(wěn)態(tài)導熱拉普拉斯變換的基本概念定義 為函數(shù)的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換，記為：稱為拉氏變換的原函數(shù)，稱為的象函數(shù)。式中s可以是重復變量。拉普拉斯變換存在的基礎(chǔ)就是：拉普拉斯變換的基本性質(zhì)由拉普拉斯變換法求解導熱問題時，首先得到的是象函數(shù)，要通過反變換才能得到溫度分布的表達式。許多象函數(shù)的反變換可以從拉普拉斯變換中查得。為了充分發(fā)揮已有變換表的作用，要注意應用拉普拉斯變換的有關(guān)定理。 由于象函數(shù)的多樣性和復雜性，有時不可能從變換表中直接求得所需的反變換。這時，就得自己進行反變換運算，部分分式法和回路積分