等比數(shù)列前n項和教學(xué)設(shè)計

1、-作者xxxx-日期xxxx等比數(shù)列前n項和教學(xué)設(shè)計【精品文檔】等比數(shù)列的前n項和 河北祁州中學(xué) 高麗一、教學(xué)內(nèi)容分析等比數(shù)列的前n項和是高中數(shù)學(xué)人教A版必修5第二章第五節(jié)的內(nèi)容，分兩個課時完成，第一課時側(cè)重于公式的推導(dǎo)及記憶，第二課時側(cè)重于公式的靈活應(yīng)用。等比數(shù)列前n項和是教材中很重要的一塊內(nèi)容，是“等差數(shù)列”，“等差數(shù)列前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)，具有承上啟下的作用。它對學(xué)生進(jìn)一步理解等比數(shù)列以及數(shù)列的知識有很重要的作用。此公式的推導(dǎo)過程中所滲透的類比，分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)二、學(xué)情分析從學(xué)生的思維特點看，很難想到變加為減。在學(xué)完

2、等差數(shù)列的前n項和的基礎(chǔ)上，大部分學(xué)生會容易把本節(jié)內(nèi)容與其從公式的形成、推導(dǎo)、特點等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。但其實本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這其中需要學(xué)生強(qiáng)烈的探究及觀察能力。另外對于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在使用公式的過程中容易出錯。三、教學(xué)設(shè)計意圖等比數(shù)列的前n項和公式這一節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識和解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具。（1）對這節(jié)教材的理解和根據(jù)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維特征，確定的教學(xué)模式和教學(xué)方法以及要實現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。（

3、2）在教學(xué)過程中，要注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，調(diào)動學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)積極性，啟迪學(xué)生的思維，突破教材難點。利用問題探究式的教學(xué)方法對該課程進(jìn)行教學(xué)，在師生的交流合作中，滲透數(shù)學(xué)知識。四、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能目標(biāo)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生會用方程的思想認(rèn)識等比數(shù)列前n項和公式，會用等比數(shù)列前n項和公式及有關(guān)知識解決現(xiàn)實生活中存在著的大量的數(shù)列求和問題，將等比數(shù)列前n項和公式與等比數(shù)列通項公式結(jié)合起來解決有關(guān)的求解問題。2、過程和方法目標(biāo)：通過啟發(fā)、引導(dǎo)、分析、類比、歸納，并通過嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的解題思想和解題方法的訓(xùn)練，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生分類與整合的數(shù)學(xué)思想及學(xué)生的邏輯思維。 3、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)

4、：通過解決生產(chǎn)實際和社會生活中的實際問題，了解社會，認(rèn)識社會，形成科學(xué)的世界觀和價值觀。五、教學(xué)的重點與難點重點：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及靈活應(yīng)用，及生產(chǎn)和社會生活中有關(guān)的實際問題。難點：建立等比數(shù)列模型，用等比數(shù)列知識解決有關(guān)生產(chǎn)實際及社會生活中的熱點問題。六、教學(xué)過程問題與情境學(xué)情預(yù)設(shè)設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情境：在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚為什么呢？學(xué)生開始討

5、論，分析：數(shù)學(xué)建模生：的和，用計算器一項一項加。（學(xué)生笑）師：可以?。〉沁@樣工程非常浩大，計算相當(dāng)繁瑣。師：注意觀察每項的特征，及其項與項間的聯(lián)系。生：由于從第二項起每項與前一項的比值是同一個常數(shù)2，所以可以把它看成一個等比數(shù)列，因此我們要求出這個等比數(shù)列的前64項和 。師： 對！可是這要怎么加？探討: 我們觀察發(fā)現(xiàn)：若將等式右邊的每一項乘以一個2，就得到他后面相鄰的一項。所以：（學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同項）將兩個式子錯位對齊發(fā)現(xiàn)有相同的部分，可以通過減法消去，-得：（生：原來要變加為減）麥子質(zhì)量超過7000億噸！國王不可能滿足西薩的要求。師：我們將這樣的求和方法叫做“錯位相減法”。你們有沒有發(fā)現(xiàn)其中的

6、關(guān)鍵？誰能說說這種計算的關(guān)鍵是什么？生：它的關(guān)鍵在于等式兩邊要同時乘以公比。還要錯位相減。師：那么我們可以從特殊到一般，得出等比數(shù)列的前n項和嗎？以一個故事做為切入點，該故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課主題及重點，又便于引起學(xué)生的注意，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的趣味性和積極性。學(xué)生主動思考回答問題，教師給予肯定。通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)該問題為求和，求和就用加法。但是要怎么加？問題提出，形成繁難的情境，激起了學(xué)生的求知欲。探討幫助學(xué)生充分感受等比數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”。兩個式子對其了書寫，便于學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)相同項。利用減法消去相同項，得到答案。這讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，

7、從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。對特殊題目的歸納小結(jié)，有助于學(xué)生鞏固理解新的方法。二、提出問題：1、一般地，等比數(shù)列的前n項和即求： 師：設(shè)等比數(shù)列，首項為，公比為，如何求前項和？（學(xué)生眾說紛紜，躍躍欲試。此時由學(xué)生表達(dá)，教師書寫）推導(dǎo)過程：生：即等式左右兩邊同乘公比得： 利用錯位相減，把兩個式子錯位對齊發(fā)現(xiàn)：、的右邊有很多相同的項。用式兩邊分別減去式兩邊得 問題的提出的水到渠成，順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，情境為等比數(shù)列前n項和的提出及其證明做好鋪墊。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生體驗從特殊到一般，利用錯位相減法，自己探究公式，從而獲得學(xué)習(xí)的快樂。證明過程的關(guān)鍵是在于讓學(xué)生明白錯位相減法，以及它

8、的關(guān)鍵在于等式兩邊要同時乘以公比。書寫時錯位對齊，給予視覺沖擊，加深印象。2、由得到對不對？這里能不能等于1？要是等于1，這是個什么數(shù)列，前項和等于什么？（提醒引導(dǎo)學(xué)生注意的取值，如果為0，是不能直接除掉的，所以當(dāng)所給數(shù)列的公比是一個字母時，一定要討論）生：當(dāng)時，這個等比數(shù)列變成一個常數(shù)列，也可看成一個等差數(shù)列，所以 師：當(dāng)時，等比數(shù)列的前n項和的公式為因此等比數(shù)列前n項和公式 師：等差數(shù)列前n項和公式不唯一，至少我們學(xué)了兩個表達(dá)形式，那等比數(shù)列前n項和公式也有不一樣的表達(dá)形式嗎？生：可以用等比數(shù)列的通項公式因為，所以公式還可以寫成師：很好！公式中我們要注意幾點：（1）、n為等比數(shù)列的項數(shù)；（

9、2）、， ， ， “知三求二”；（3）、等比數(shù)列求和要對“”與“”分類討論；（4）等比數(shù)列前n項和公式的特征：，即形式，其中，。若等比數(shù)列前n項和，則通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。教師再次追問，推動學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)，營造一個讓學(xué)生主動思考、觀察、討論的學(xué)習(xí)氣氛。公式得出后，教師幫助學(xué)生強(qiáng)調(diào)注意事項，有助于學(xué)生正確理解記憶，公式特征的歸納有助于加快學(xué)生的解題速度。三、課堂演練例1、求下列等比數(shù)列前8

10、項的和：例2. 已知等比數(shù)列的前4項和是公比q=3,求首項練習(xí)：已知是等比數(shù)列完成下表題號（1）326（2）35242（學(xué)生自主解答，再請同學(xué)到黑板上演示）解解：例1通過直接套用公式、變式運(yùn)用公式、這兩個層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。深刻體會“知三求二”，強(qiáng)調(diào)方程與函數(shù)的思想。等比數(shù)列涉及到指數(shù)問題，有時解題計算很繁瑣，要注意計算化簡中的技巧，靈活運(yùn)用性質(zhì)。通過學(xué)生板書演示，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識和競爭意識。例3 某制糖廠今年制糖5萬噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從今年起，幾年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸（保留到個位）.（教師引導(dǎo)學(xué)生探究，

11、根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列模型，并明確這是一個已知首項和公比求前n項和的問題。）解：由題意可知，這個糖廠從今年起，平均每年的產(chǎn)量（萬噸）組成一個等比數(shù)列，記為于是得到整理的答：5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸.例3是等比數(shù)列前項和在實際生活中的典型應(yīng)用。通過身邊的例子，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力和應(yīng)用知識解決實際問題的能力。例4、等比數(shù)列的前項和為，則生：先求，利用等比中項求出師：很好，這種方法利用了方程的思想，一個未知數(shù)，只需要一個方程。教師板書：   生：把通項公式求出來，再利用是等比數(shù)列，就可以了。師：那我們試試看，已知求

12、要注意分兩個情況教師板書：當(dāng)時，當(dāng)時，是等比數(shù)列，所以也滿足上式，生：等比數(shù)列的前項和為，則師：沒錯！這是很簡潔的方法。直接利用等比數(shù)列前項和的性質(zhì)得到。例題4的設(shè)置，活躍了學(xué)生的思維，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，通過本題學(xué)習(xí)，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗，還幫助學(xué)生感受等比數(shù)列前n項和公式的特征，提高解題速度。思考題遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增。其燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？生：可以看成是數(shù)學(xué)建模：已知等比數(shù)列an，公比q=2，n=7, S7=381,求a1 由學(xué)生探究回答例4是公比的討論問題，解題時，以學(xué)生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型

13、思想。提醒學(xué)生解題嚴(yán)謹(jǐn)。四、課堂小結(jié)1、等比數(shù)列前n項和公式（知三求二）2、公式的推導(dǎo)方法3 、應(yīng)用題：等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用。師生小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。給學(xué)生充分的時間獨立思考、應(yīng)用公式解決問題。五、布置作業(yè)1、 1、知識小結(jié)：等比數(shù)列前n項和公式；等比數(shù)列的前n項和的簡單運(yùn)用；知三求二；2、方法小結(jié)：從特殊到一般的方法；錯位相減法；方程與函數(shù)的思想方法3、作業(yè)布置：課本58頁思考：求和鼓勵學(xué)生積極回答，以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力，也為了加深印象。作業(yè)布置幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，思考題的給出有助于學(xué)生克服疲

14、倦及自滿心理，繼續(xù)探究。六、教學(xué)反思本節(jié)教學(xué)設(shè)計重視“過程與方法”。符合新課標(biāo)理念，把重點放在公式的推導(dǎo)及應(yīng)用上。一、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引起學(xué)生的興趣情境創(chuàng)設(shè)是為了發(fā)展學(xué)生的心理機(jī)能，激發(fā)學(xué)生的興趣、求知欲等來增強(qiáng)教學(xué)效果而營造的課堂氛圍。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生“觸境生情”，既可以掌握數(shù)學(xué)知識和技能，又可以體驗教學(xué)內(nèi)容中的情感，使原本枯燥抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動有趣。本節(jié)課通過數(shù)學(xué)史料引進(jìn)課題，即可以擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，又能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認(rèn)識。 二、不斷探索討論，激活學(xué)生的思想高中數(shù)學(xué)新課程的基本理念是要豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。在教學(xué)中，教師鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，教授過程中要有教師的講授和指導(dǎo)，更要有學(xué)生的自主探索與合作交流。鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)用了錯位相減法，這種方法學(xué)生很難想到，求和都是用加，怎么會變成減法了呢？如果課上有足夠的時間，可以讓學(xué)生充分思考，說不定可以得到其他解答方法。比如： 即或者： 三、例題設(shè)計層層深入，有效地幫